贵州省遵义市凤冈二中2024届高一数学第二学期期末达标检测试题含解析

贵州省遵义市凤冈二中2024届高一数学第二学期期末达标检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，某人在点处测得某塔在南偏西的方向上，塔顶仰角为，此人沿正南方向前进30米到达处，测得塔顶的仰角为，则塔高为（）A．20米 B．15米 C．12米 D．10米2．已知数列的前项和为，且，，则()A．127 B．129 C．255 D．2573．已知是第二象限角，且，则的值为A． B． C． D．4．已知点，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．5．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(1，1)，(-3，3).若动点P满足，其中λ，μ∈R，且λ+μ=1，则点P的轨迹方程为()A． B． C． D．6．已知函数的零点是和（均为锐角），则（）A． B． C． D．7．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状一定是()A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形8．数列为等比数列，若，，数列的前项和为，则A． B． C．7 D．319．若，则（）A．－ B． C． D．10．中，，则（）A． B． C．或 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的方差是______12．若，且，则是第_______象限角.13．底面边长为，高为的直三棱柱形容器内放置一气球，使气球充气且尽可能的膨胀（保持球的形状），则气球表面积的最大值为_______．14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________.15．若数列满足,,则______．16．若的面积，则=三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆过点，且与圆关于直线：对称．（1）求圆的标准方程；（2）设为圆上的一个动点，求的最小值．18．已知圆内有一点，过点作直线交圆于两点.（1）当直线经过圆心时，求直线的方程；（2）当弦被点平分时，写出直线的方程.19．某高中非毕业班学生人数分布情况如下表，为了了解这2000个学生的体重情况，从中随机抽取160个学生并测量其体重数据，根据测量数据制作了下图所示的频率分布直方图.（1）为了使抽取的160个样品更具代表性，宜采取分层抽样，请你给出一个你认为合适的分层抽样方案，并确定每层应抽取的样品个数；（2）根据频率分布直方图，求的值，并估计全体非毕业班学生中体重在内的人数；（3）已知高一全体学生的平均体重为，高二全体学生的平均体重为，试估计全体非毕业班学生的平均体重.20．已知三棱锥中，，.若平面分别与棱相交于点且平面.求证:（1）；（2）.21．同时抛掷两枚骰子，并记下二者向上的点数，求：二者点数相同的概率；两数之积为奇数的概率；二者的数字之和不超过5的概率．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

设塔底为，塔高为，根据已知条件求得以及角，利用余弦定理列方程，解方程求得塔高的值.【题目详解】设塔底为，塔高为，故，由于，所以在三角形中，由余弦定理得，解得米.故选B.【题目点拨】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于基础题.2、C【解题分析】

利用迭代关系，得到另一等式，相减求出，判断数列是否为等比数列，利用等比数列求和公式可得.【题目详解】因为，，所以，相减得，，，又，所以，，所以数列是等比数列，所以，故选C.【题目点拨】本题考查等比数列的求和，数列通项公式的求法，考查计算求解能力，属于中档题.3、B【解题分析】试题分析：因为是第二象限角，且，所以．考点：两角和的正切公式．4、A【解题分析】

，，向量在方向上的投影为，故选A．5、C【解题分析】

设点坐标，代入，得到即，再根据，即可求解.【题目详解】设点坐标，因为点的坐标分别为，将各点坐标代入,可得，即，解得，代入，化简得，故选C.【题目点拨】本题主要考查了平面向量的坐标运算和点的轨迹的求解，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理运算能力，属于基础题.6、B【解题分析】

将函数零点转化的解，利用韦达定理和差公式得到，得到答案.【题目详解】的零点是方程的解即均为锐角故答案为B【题目点拨】本题考查了函数零点，韦达定理，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.7、A【解题分析】

利用平方化倍角公式和边化角公式化简得到，结合三角形内角和定理化简得到，即可确定的形状．【题目详解】化简得即即是直角三角形故选A【题目点拨】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．8、A【解题分析】

先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果.【题目详解】数列为等比数列，，，，解得，，数列的前项和为，．故选．【题目点拨】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9、B【解题分析】

首先观察两个角之间的关系：，因此两边同时取余弦值即可．【题目详解】因为所以所以，选B.【题目点拨】本题主要考查了三角函的诱导公式．解决此题的关键在于拼凑出，再利用诱导公式（奇变偶不变、符号看象限）即可．10、A【解题分析】

根据正弦定理，可得，然后根据大边对大角，可得结果..【题目详解】由，所以由，所以故，所以故选：A【题目点拨】本题考查正弦定理的应用，属基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1.1【解题分析】

先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【题目详解】八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的平均数为：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，∴这组数据的方差为：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝1.1．故答案为1.1．【题目点拨】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．12、三【解题分析】

利用二倍角公式计算出的值，结合判断出角所在的象限.【题目详解】由二倍角公式得，又，因此，是第三象限角，故答案为三.【题目点拨】本题考查利用三角函数值的符号与角的象限之间的关系，考查了二倍角公式，对于角的象限与三角函数值符号之间的关系，充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的规律来判断，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.13、【解题分析】由题意，气球充气且尽可能地膨胀时，气球的半径为底面三角形内切圆的半径

∵底面三角形的边长分别为，∴底面三角形的边长为直角三角形,利用等面积可求得∴气球表面积为4π.14、【解题分析】

根据奇偶性，先计算，再计算【题目详解】因为是定义在上的奇函数，所以.因为当时，所以.故答案为【题目点拨】本题考查了奇函数的性质，属于常考题型.15、【解题分析】

利用递推公式再递推一步,得到一个新的等式,两个等式相减,再利用累乘法可求出数列的通项公式,利用所求的通项公式可以求出的值.【题目详解】得,,所以有,因此.故答案为：【题目点拨】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,考查了累乘法,考查了数学运算能力.16、【解题分析】试题分析：,.考点：三角形的面积公式及余弦定理的变形.点评：由三角形的面积公式,再根据,直接可求出tanC的值，从而得到C.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

试题分析：（1）两个圆关于直线对称，那么就是半径相等，圆心关于直线对称，利用斜率相乘等于和中点在直线上建立方程，解方程组求出圆心坐标，同时求得圆的半径，由此求得圆的标准方程；（2）设，则，代入化简得，利用三角换元，设，所以.试题解析：（1）设圆心，则，解得，则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为．（2）设，则，且，令，∴，故的最小值为-1．考点：直线与圆的位置关系，向量．18、（1）（2）【解题分析】

（1）求得圆的圆心为，利用直线的点斜式方程，即可求解；（2）当弦被点平分时，，得此直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.【题目详解】（1）由题意得，圆的圆心为，因为直线过点，所以直线的斜率为2，直线的方程为，即直线的方程.（2）当弦被点平分时，，此时直线的斜率为，所以直线的方程为，即直线的方程.【题目点拨】本题主要考查了直线的方程的求解，以及圆的性质的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系和直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19、(1)见解析；(2)；1350人；(3)平均体重为.【解题分析】

（1）考虑到体重应与年级及性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生，高一女生，高二男生，高二女生，高一男44人，高一女52人，高二男34人，高二女30人，由此能求出结果．（2）体重在之间的学生人数的率，从而，体重在，内人数的频率为0.675，由此能求出估计全体非毕业班学生体重在，内的人数．（3）设高一全体学生的平均体重为：，频率为，高二全体学生的平均体重为，频率为，由此能估计全体非毕业班学生的平均体重．【题目详解】（1）考虑到体重应与年级及性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：高一男生、高一女生、高二男生、高二女生高一男：人,高一女：人高二男：,高二女：人可能的方案一:按性别分为两层，男生与女生男生人数：人,女生人数：人可能的方案二：按年级分为两层，高一学生与高二学生高一人数：人,高二人数：人（2）体重在70-80之间学生人数的频率：体重在内人数的频率为：∴估计全体非毕业班学生体重在内的人数为：人（3）设高一全体学生的平均体重为，频率为高二全体学生的平均体重为，频率为则估计全体非毕业班学生平均体重为答：估计全校非毕业班学生平均体重为.【题目点拨】本题考查频率分布直方图、频率、分层抽样、平均数等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）利用线面平行的性质定理可得线线平行，最后利用平行公理可以证明出；（2）利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线垂直，利用平行线的性质，最后证明出.【题目详解】证明（1）因为平面，平面平面,平面，所以有,同理可证出,根据平行公理，可得；（2）因为，，,平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.【题目点拨】本题考查了线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理、以及平行公理的应用.21、（1）（2）（3）【解题分析】

把两个骰子分别记为红色和黑色，则问题中含有基本事件个数，记事件A表示“二者点数相同”，利用列举法求出事件A中包含6个基本事件，由此能求出二者点数相同的概率．记事件B表示“两数之积为奇数”，利用列举法求出事件B中含有9个基本事件，由此能求出两数之积为奇数的概率．记事件C表示“二者的数字之和不超过5”，利用列举法求出事件C中包含的基本事件有10个，由此能求出二者的数字之和不超过