流体力学第一章 绪 论 第二章 场论与正交曲线坐标

流体力学

退出中国科学文化出版社前言退出目录流体力学根底第一篇第二篇流体动力学根本原理及流体工程退出第三篇计算流体动力学

第一篇流体力学根底

绪论场论与正交曲线坐标流体静力学流体运动学第一章第二章第三章第四章退出返回第二篇

流体动力学根本原理及流体工程流体动力学微分形式根本方程流体动力学积分形式根本方程伯努利方程及其应用量纲分析和相似原理流动阻力与管道计算边界层理论流体绕过物体的流动气体动力学根底第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章第三篇计算流体动力学计算流体动力学数学物理根底流体动力学问题的有限差分解法流体动力学问题的有限元解法第十三章第十四章第十五章退出返回第一章绪论流体力学的研究对象和开展历史 流体力学的研究方法第一节第二节退出返回第三章流体静力学作用于流体上的力静止流场中的应力静止流体的根本微分方程重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力重力场中静止气体的压力分布非惯性坐标系中的静止流体外表张力与毛细现象流体静压力的测量原理第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节退出返回第四章流体运动学流体运动的描述

迹线、流线、流管环量和旋度、通量和散度的物理意义微元流体线的运动流体微团的运动

第一节第二节第三节第四节第五节退出返回第五章

流体动力学根本原理及流体工程

连续性方程理想流体运动方程实际流体运动方程第一节第二节第三节退出返回第六章

流体动力学根本原理及流体工程连续性方程

动量方程动量矩方程能量方程第一节第二节第三节第四节退出返回第七章伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其限定条件

实际流体的伯努利方程式实际流体的总流伯努利方程式相对运动的伯努利方程式伯努利方程式的应用

第一节第二节第三节第四节第五节退出返回第八章量纲分析和相似原理

量纲分析和

定理

相似理论流体力学模型研究方法第一节第二节第三节退出返回第九章流体阻力与管道计算流动状态与阻力分类

圆管中的层流圆管中的紊流圆管中的沿程阻力第一节第二节第三节第四节退出返回第十章边界层理论

边界层特性边界层微分方程平板层流边界层的微分方程解边界层积分〔动量〕方程平板层流边界层的积分方程解平板紊流边界层计算平板混合边界层计算第一节第二节第三节第四节第五节退出返回第六节第七节第十一章流体绕过物体的流动

平面势流流体绕过圆柱体的流动流体绕过球体的流动

第一节第二节第三节退出返回第十二章气体动力学根底压力波的传播，音速运动点扰源产生的扰动场，马赫数与马赫角一元稳定等熵流动的根本方程理想气体一元稳定等熵流动的根本特性气流参数与流道截面积的关系渐缩喷管和拉伐尔喷管第一节第二节第三节第四节第五节退出返回第六节第十三章

计算流体动力学数学物理根底流动问题数值求解的根本步骤流动控制方程离散方程的建立方法差分方程特性分析第一节第二节第三节第四节退出返回第十四章

流体动力学问题的有限差分解法

势流问题的数值计算回流流动问题的数值计算

第一节第二节退出返回第十五章

流体动力学问题的有限元解法

有限元法的根本思想与区域离散化有限元法中代数方程的建立二维边值问题有限元法求解举例有限分析法介绍第一节第二节退出返回第三节第四节第一章绪论第一节流体力学的研究对象和开展历史退出返回第一章绪论第一节流体力学的研究对象和开展历史退出返回第一章绪论第一节流体力学的研究对象和开展历史退出返回第一章绪论第二节流体力学的研究方法

退出返回第一章绪论第二节流体力学的研究方法

解决流体流动问题有三种根本方法：1.

控制体分析法，即积分方程法；2.

微元体分析法，即微分方程法；3.

实验研究，即量纲分析法。流体流动必须满足三大力学守恒定理以及热力学状态方程和相关的边界条件：1.

质量守恒定理，即连续性条件；2.

动量守恒定理，即牛顿第二定理；3.

能量守恒定理，即热力学第一定理；4.

状态方程，如ρ＝ρ〔P,T〕;5.

固体外表、交界面、流道进出口的边界条件。第2页退出返回在解决某一具体的流体力学问题之前需要弄清流动属于哪一种类型，流体流动如何分类最为合理迄今并无共识。通常的做法是按照流动分析时所作的假设来划分，即假定流动为：1.

稳定的〔定常的〕或不稳定的〔不定常的〕；2.

无粘性的或粘性的；3.

不可压缩的或可压缩的；4.

气体或液体。

第3页

第一章绪论第二节流体力学的研究方法

退出返回第二章场论与正交曲线坐标退出返回

第2页

第一节矢量的根本运算退出返回一、矢量运算符号规定〔一〕爱因斯坦〔Einstein〕求和符号数学式子任意一项中如出现一对符号相同的指标，称为爱因斯坦求和符号，它是哑指标，表示求和。例如：采用了爱因斯坦求和符号后线性代数方程组

第二章场论与正交曲线坐标

第3页

第一节矢量的根本运算退出返回可简写成：

式中左端项中j出现两次，代表求和指标；i在左、右两项各只出现一次，代表指定指标。〔二〕克罗内克尔〔Kronecker〕符号任意两个正交单位矢量的点积用表示，称为克罗内克尔

式中i，j是自由指标，〔2.1〕式表示，。显然，，i表示重复求和。第二章场论与正交曲线坐标

第4页

第一节矢量的根本运算退出返回第二章场论与正交曲线坐标的定义亦可写成

〔三〕置换符号任意两个正交单位矢量的叉积可表示为

式中称为置换符号，又称利西〔Ricci〕符号，其数值如下：中有2个或3个自由指标值相同。中按12312顺序任取3个排列。中按13213顺序任取3个排列。

上式表示，，其余分量为零。

第5页

第一节矢量的根本运算退出返回第二章场论与正交曲线坐标

由此可知，中任意两个自由指标对换，对应分量值相差一个负号，如，故称为置换符号。二、矢量运算的常用公式

〔2.3〕

〔2.4〕

〔2.5〕

第6页

第一节矢量的根本运算退出返回第二章场论与正交曲线坐标

〔2.6a〕

〔2.6b〕

〔2.7〕

〔2.8〕

第7页

第一节矢量的根本运算退出返回第二章场论与正交曲线坐标

三、矢量分量的坐标变换矢量是一个物理量，它独立于坐标系的选取。当坐标系发生改变时，矢量本身不发生变化，仅是它的分量随坐标变换按一定规律发生改变。按矢量定义：

〔2.9〕，和，分别为在两个不同的正交坐标系中的分量和坐标轴单位矢量。各单位矢量间夹角的余弦〔即方向余弦〕为lj，mj，nj〔j=1,2,3〕如表2.1所示，那么对应的矢量分量的坐标变换关系有：表2.1坐标轴间方向余弦

第8页

第一节矢量的根本运算退出返回第二章场论与正交曲线坐标

〔2.10〕

例如：

第1页

第二节张量及其根本性质退出返回第二章场论与正交曲线坐标

一、张量的定义在正交坐标系中张量可以定义为：设有正交坐标系在其上定义有个函数，假设坐标系线性变换时，即

〔2.11〕作如下式中为常系数，与此相应，函数〔式中重复下标表示对该下标求和〕作如下变换

〔2.12〕

第2页

第二节张量及其根本性质退出返回。第二章场论与正交曲线坐标

那么定义为一个张量，记为

〔2.13〕例如设坐标数，在空间任一点规定三个矢量，和如果按式〔2.11〕把直角坐标系变换到另一个直角坐标系中，得到另一组矢量，和，它们满足系式：

〔2.14〕

第3页

第二节张量及其根本性质退出返回第二章场论与正交曲线坐标

式中是坐标轴和显然，矢量，，的分量与矢量，，的分量有如下关系

上述关系式即式〔2.12〕，因此分量定义一个张量之间夹角的方向余弦。〔2.15〕

〔2.16〕由于在上述张量的定义中，其分量的数目为坐标数的平方，因此上述张量称为二阶张量。张量在三维空间中的分量数可用来表示，n为张量的阶。于是，标量为零阶张量，矢量为一阶张量，流体微团的变形速率为二阶张量，应力场梯度为三阶张量。

第4页

第二节张量及其根本性质退出返回第二章场论与正交曲线坐标二、二阶张量的根本性质流体力学中经常遇到的张量为二阶张量，如应力、变形和转动，它们具有如下一些根本性质：

这种张量称为对称张量。1.张量元素具有对称性〔2.17〕2.张量的代数运算规那么〔1〕张量与张量相加是指其对应元素相加，其和仍为一张量，即

〔2〕张量与标量相乘仍为一张量，即〔为标量〕

〔2.19〕〔2.18〕〔3〕张量与矢量相乘〔内积〕为一矢量右乘定义为

〔2.20〕

第5页

第二节张量及其根本性质退出返回第二章场论与正交曲线坐标

左乘定义为

〔4〕张量与张量相乘仍为一张量，即

〔2.22〕〔2.21〕3.根据对称张量性质可知，在流体内任一点存在三个相互垂直的轴，沿着与该轴垂直的面上，张量的切向分量为零，只有法向分量。该轴称为主轴。在应力张量中称为主应力轴，在变形张量中称为主变形轴。

第1页

第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标xzijky=constx=constz=const图2.1直角坐标系xyo直角坐标系是最简单、最根本的一种坐标系，又称笛卡尔坐标系，如图2.1所示。首先在空间取一点作为原点，过此点分别作互相正交的直线，并分别命名为过原点的轴。〔1〕坐标面：由三族分别过原点的与轴垂直的平面所组成。其方程为〔2〕坐标轴：不同族的坐标面的交线组成坐标轴。轴是两坐标面的交线；，一、直角坐标系，

第2页

第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标轴是两坐标面的交线；轴是两坐标面的交线。〔3〕单位矢量：通常分别以表示沿并遵循右手法那么。直角坐标系中一点的三个单位矢量互成正交，各点的同类单位矢量方向不变。坐标轴的单位矢量，〔4〕空间点的表示：以三个坐标面的交点表示空间点〔5〕矢径表示法：由原点至空间某点而连成的矢量线称为矢径，

第3页

第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标二、柱坐标系首先在空间取一点作为原点，以此点作直角坐标系。〔1〕坐标面：分别由以下三族曲面所组成。以过原点的轴为对称轴的圆柱面族；以与z轴相；以通过轴的子午面族垂直的平面族。

〔2〕坐标轴：由不同族的坐标面相交而成。轴是两坐标面的交线；轴是两坐标面的交线。轴是两坐标面的交线；〔3〕单位矢量：通常分别以，，表示沿，，，的方向可能变化。

，，轴的单位矢量，并规定遵循右手法那么。柱坐标系中一点的三个单位矢量互成正交，在不同点上

第4页

第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标〔4〕空间点的表示：以三个坐标面的交点表示空间点〔5〕矢径表示法：e

erezx

z=const

=constr=const图2.2柱坐标系rzyo

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第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标图2.3球坐标系e

e

eRzyx

=constR=const

=const

Ro三、球坐标系首先在空间取一点作为原点，过此点作直角坐标系。〔1〕坐标面：分别由以原点为中心的球面族，以原点为顶点轴为对称轴的圆锥面族

和子午面族

以三族曲面所组成，，确定了三个特定的坐标面，如图2.3所示。

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第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标

〔2〕坐标轴：由不同族的坐标面相交而成。轴是，两坐标面的交线；轴是，两坐标面的交线；轴是，两坐标面的交线。

〔3〕单位矢量：通常分别以，，表示沿，，，，的方向是坐标轴的单位矢量，并规定遵循右手法那么。球坐标中一点的三个单位矢量互成正交，一般情况下，不同点上同族单位矢量不同的。〔4〕空间点的表示：以三个坐标面的交点表示空间点〔5〕矢径表示法：。

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第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标

四、直角坐标系、柱坐标系和球坐标系间的坐标变换关系直角坐标系和柱坐标系间的坐标变换关系:

〔2.23〕

直角坐标系和球坐标系间的坐标变换关系:

〔2.24〕

第1页

第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标

柱坐标系、球坐标系均属曲线坐标系。坐标系的根本功能是识别空间位置，为了便于应用可人为地规定某种曲线坐标系。一、曲线坐标系首先在空间取一点作为原点，以此点作直角坐标系。〔1〕坐标面：取三族曲面,,作为坐标面族，其反函数为,,。,确定了三个特定的坐标面，如图2.4所示。〔2〕坐标轴：不同族的坐标面的交线组成坐标轴。轴是,

两坐标面的交线；轴是,两坐标面的交线；轴是两坐标面的交线。

,

第2页

第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标坐标轴的单位矢量，以

〔3〕单位矢量：沿坐标线的切线，且方向的单位矢量称为，，在曲线坐标系中，它们随空间位置而表示，它们遵循右手法那么。改变，即这是曲线坐标系与直角坐标系的一个主要差异。〔4〕空间点的表示：以三个坐标面的交点表示空间点。〔5〕矢径表示法：

〔2.25〕式中，，与，，有关。，

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第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标

ods2ds3ds1q2xyq2=constq3=constq1=constq3q1re3e2e1M(q1,q2,q3)图2.4曲线坐标系z第二章场论与正交曲线坐标

第4页

第四节常见的几种坐标系退出返回

二、矢径由微分定义

〔2.26〕点到点引起的增量为的微分从

〔2.27〕，因而由于 〔2.28〕

〔2.29〕令，那么上式可写成

〔2.30〕 〔2.31〕

第5页

第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标〔2.32〕

同理可得

，， 〔2.33〕

，，上式中、、因此矢径的微分可写成

、称为拉梅系数。 〔2.34〕

第6页

第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标

假设坐标面族方程那么可求得上式中的拉梅系数和单位矢量。

因此拉梅系数可写成

〔2.36〕〔2.35〕单位矢量可写成

在正交曲线坐标系中，三个单位矢量满足：，即〔2.37〕

〔2.38〕

第7页

第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标

它适用于，，利用梯度性质，正交条件也可写成：，即

它适用于的情况。的情况。〔2.39〕例题2.1求柱坐标系中的拉梅系数和坐标轴单位矢量，并证明其正交。

，，，其反函数为，，。解：对于柱坐标系，，，，，，，，第二章场论与正交曲线坐标

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第四节常见的几种坐标系退出返回

因此拉梅系数为

由〔2.37〕式，并注意到，那么可求得单位矢量为

显然

第二章场论与正交曲线坐标

第9页

第四节常见的几种坐标系退出返回

其实拉梅系数亦可用几何的方法确定。因为，即其几何意义为：坐标值的单位增量引起的对应弧长的单位增量。按照该定义不难直接由几何关系求得上例中的拉梅系数〔请读者自行求解〕。三、坐标轴单位矢量的偏导数在曲线坐标系中坐标轴单位矢量的偏导数可按下式计算第二章场论与正交曲线坐标

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第四节常见的几种坐标系退出返回

柱坐标系中单位矢量的偏导数：

球坐标系中单位矢量的偏导数：

第二章场论与正交曲线坐标

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第五节物理量的梯度、散度、旋度退出返回

一、物理量的梯度物理量的梯度可以用来描述该物理量在一点邻域内的变化情况。〔一〕方向导数的计算公式方向导数是函数在一点处沿某一方向对距离的变化率。在直角坐标系中，设函数在点处可微，

为l方向上在点M0处沿l方向的方向导数为：

的方向余弦，那么函数

式中是在点M0的偏导数。

〔2.43〕〔二〕标量梯度的定义、性质及其在直角坐标系中的表达式如有一矢量，处处满足。

这里为标量沿方向的方向定义为物理量的梯度，并表示为导数，那么。它在直角坐标系中第二章场论与正交曲线坐标

第2页

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标量梯度有两条常用的重要性质：〔2.44〕①，，式中。前式表示由梯度沿方向的方向导数，后式表示由梯度可以知道方向经过线段dl的增量。可以得到物理量该物理量沿②，这里为等值面法线指向增大方向的单位矢量，是沿方向的方向导数，所以由梯度可以求得等值面法线方向。的单位矢量显然，的方向一定与的面相垂直，是函数在空间的最大变化率。第五节物理量的梯度、散度、旋度的表达式为：

第二章场论与正交曲线坐标

第3页

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例题2.2求数量场在点处的梯度，以及沿矢量方向的方向导数。方向的单位矢量为解：

于是有

第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标

第4页

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例题2.3求曲面的法线单位矢量解：

。第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标

第5页

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〔三〕矢量梯度的定义、性质及其在直角坐标系中的表达式如果有一个二阶张量，处处满足，这里为矢量沿方向的方向导数，那么定义为矢量的梯度，并表示为。它在直角坐标系中的表达式为

类似于标量梯度，矢量梯度有下述性质：，。

〔2.45〕由这两个公式可求得矢量沿方向的方向导数和沿矢量线段的增量。由于矢量场没有等值面概念，因而。

第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标

第6页

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二、物理量的散度物理量的散度可用来判别场是否有源。〔一〕矢量散度的定义及其在直角坐标系中的表达式设有矢量场，于场中一点处作一包含点在内的任一闭曲面，设其所包围的空间区域为，体积为，以表示从其内部穿出的通量。假设当以任意方式缩向点时，下式

之极限存在，那么称此极限为矢量场在点处的散度，记作

〔2.46〕式中为边界曲面上微元面积的外法线单位矢量。第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标

第7页

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散度的定义是与坐标系无关的。在直角坐标系中，令，那么有：

〔2.47〕流体力学中常用的矢量散度为速度散度，令，那么

〔二〕二阶张量的散度及其在直角坐标系中的表达式与矢量散度相类似，可以定义二阶张量的散度为

〔2.48〕第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标

第8页

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在直角坐标系中，令，那么有：

〔2.49〕〔三〕有源场与无源场由散度定义可见，散度为一数量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处源的强度。当时，称矢量场为有源场；当时，其场为无源场。

三、物理量的旋度物理量的旋度可用来判别场是否有旋。〔一〕旋度的定义第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标

第9页

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设有矢量场中一点处存在一矢量，假设处处满足那么定义矢量为的旋度，并用来表示。这里为可缩封闭曲线，为以为周线包含点的任一曲面，为曲面向点缩小至零时的法线方向单位矢量，与满足右手螺旋法那么，为矢量沿的环量。〔二〕旋度在直角坐标系中的表达式在直角坐标系中，令，那么的旋度可表示为：

〔2.50〕第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标

第10页

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流体力学中常用的矢量旋度为速度旋度，令，那么

〔三〕有旋场与无旋场假设矢量的旋度处处为零，那么称矢量场为无旋场；否那么矢量场就是有旋场。第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标

第1页

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用一、哈密尔顿算子利用哈密尔顿算子可以方便地推导或证明一些公式并简化数学公式的书写。哈密尔顿算子是一个具有微分及向量双重运算的算子，适用于任意正交曲线坐标系，但其具体形式在不同坐标系中是不同的，哈密尔顿算子在直角坐标系中的表达式为：

运算时先进行微分运算，后进行向量运算，具体运算规定如下： 〔2.51a〕

〔2.51b〕

〔2.51c〕

〔2.51d〕第二章场论与正交曲线坐标

第2页

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用二、拉普拉斯算子物理量梯度的散度运算称为拉普拉斯运算，用算子表示，即，，这里称为拉普拉斯算子。按哈密尔顿算子的运算规那么， 〔2.52a〕

〔2.52b〕在直角坐标系中有三、哈密尔顿算子、拉普拉斯算子在流体力学中的应用下面给出流体力学中常用的，系、柱坐标系、球坐标系中的表达式，这里为任意矢量，也可看做速度，为任意标量，也可看做速度势。，，，，在直角坐标，第二章场论与正交曲线坐标

第3页

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用〔一〕直角坐标系

〔2.53a〕

〔2.53b〕

〔2.53c〕

〔2.53d〕 〔2.53e〕

〔2.53f〕第二章场论与正交曲线坐标

第4页

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用 〔二〕柱坐标系

〔2.54a〕

〔2.54b〕

〔2.54c〕

〔2.53g〕

〔2.54d〕

〔2.54e〕第二章场论与正交曲线坐标

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用

〔2.54f〕

〔2.54g〕〔三〕球坐标系

〔2.55a〕

〔2.55b〕第二章场论与正交曲线坐标

第6页

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用

〔2.55c〕

〔2.55d〕

〔2.55e〕

〔2.55f〕第二章场论与正交曲线坐标

第7页