数学人教A版（2019）必修第二册6.2.3向量的数乘运算 课件

课时4向量的数乘运算新授课1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算.2.类比实数乘法运算律，推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义.3.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.任务：作出和向量，并结合所做向量，小组讨论解决下列问题.目标一：通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算.如图，已知非零向量

，作出向量

和

.问题1：观察图象，与初向量

相比，向量

长度和方向分别是怎样？问题2：向量

与初向量

相比，长度和方向又分别是怎样？如图，因为

，长度是原来的3倍，方向相同.如图，因为

，长度是原来的3倍，方向相反.一般地，我们规定实数

与向量

的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作

.它的长度与方向规定如下：归纳总结（1）

；（2）当

时，

的方向与

方向相同；当

时，

的方向与

方向相反；（3）

；

.注：数与向量的乘积仍是向量.如果把非零向量

的长度伸长为原来的3.5倍，方向不变，得到向量

，向量

该如何用向量

表示？它们之间的关系是怎样的？思考=3.5

，向量

与向量

方向相同，

长度是

的3.5倍练一练A．0B．

C．

D．B目标二：类比实数乘法运算律，推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义．任务1：类比实数乘法的运算律，探究向量数乘的运算律.(1)回顾下实数乘法的运算律有哪些？如何用数学语言表示？①交换律：

；②结合律：

；③分配律：

.(2)同学们猜想向量数乘运算律有哪些？试着用数学语言表示出来.结合律①：

分配律②：

，③

.证明：结合律①：当

或

或

时，结合律成立；当

，

且

时，可得,所以.当

同号时，结合律中等式两边的向量符号与

向量方向相同，当

异号时，结合律中等式两边的向量符号与

向量方向相反.因此，向量

是相等向量.(3)如何证明猜想的向量数乘运算律？结合律①：

分配律②：

，③

.证明：分配律②：当

或

或

时，②式显然成立；当

，

且

时，可分如下两种情况：

同号时，

、

的方向相同，所以

即

，由

同号，知②式两边向量的方向都与

方向相同，或都与

方向相反，即②式两边向量的方向相同.所以②式成立.

异号时，当

，知②式两边向量的方向都与

方向相同，当

，知②式两边向量的方向都与

方向相同，所以②式两边向量的方向相同.所以②式成立.证明：分配律③：当向量

共线，或

时，③式显然成立.当向量

不共线，且

时，可分为如下两种情况：当

时，如图，在平面内任取一点O，作

则由作法知,有

，

，

，所以

,因此

∽

，所以

，

，因此

在同一条直线上，

,

的方向相同，所以

，所以

.当

时，亦可证得

.综上：

.设

是实数，那么结合律：

；分配律：

，

.特别地，我们有

，.归纳总结练一练关于向量，下列结论错误的是（

）.

A.B． C．D．A任务2：根据向量数乘运算律，小组讨论下列运算律下，其向量数乘的几何意义.设

是实数，那么结合律：

①

分配律：②

③

以

为例：等式①的几何意义：将表示向量

的有向线段先伸长或压缩至原来的

倍，再伸长或压缩至原来的

倍，与将表示向量

的有向线段伸长或压缩至原来的

倍所得结果相同.等式②的的几何意义：将表示向量

的有向线段先伸长或压缩至原来的

倍，与将表示向量

的有向线段伸长或压缩至原来的

倍后，再与将表示向量

的有向线段伸长或压缩至原来的

倍相加，所得到的结果相同.等式③的的几何意义：将表示向量

的有向线段先相加，再伸长或压缩至原来的

倍，与将表示向量

的有向线段伸长或压缩至原来的

倍后再相加所得到的结果相同.结合律：①

分配律：②

③

1.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.2.对于任意向量

，以及任意实数

，恒有

.归纳总结练一练如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的靠近B的三等分点．那么

A．

B．

C．

D