河北省石家庄市2022-2023年九年级中考数学圆综合

圆中计算

1、如图，点0为AB中点，分别延长0A到点C,0B到点D,使

OC=OD.以

点0为圆心，分别以OA,0C为半径在CD上方作两个半圆.点P为

小半圆上任一点（不与点A,

B重合），连接0P并延长交大半圆于点E,连接AE,CP.

（1）①求证：AAOE之△POC；

②写出Nl,Z2和NC三者间的数量关系，并说明理由.

（2）若OC=2OA=2,当NC最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系,

并求此时S扇形EOD（答案保留兀）

2、如图，已知AB=AC=BE=CD,AD=AE,点F为4ADE的外心，若NDAE=40°,

则NBFC=°.

3.如图，A8为。。的直径，C为半圆的中点，。为上的一点，且C,。两点分别在

A8的异侧，则的度数为（）

A

A.30°B.45°C.60°D.75°

4.“已知点和直线y=^+%,求点P到直线y=的距离d可用公式

）=性。-%了1计算，，.根据以上材料解决下面问题：如图，OC的圆心C的坐标为（1,1）,

\J\+k

半径为直线/的表达式为y=-2x+5,〃是直线/上的动点，N是OC上的动点，

则MN的最小值是（）

V

5.如图，一块直角三角板的3(r角的顶点P落在上，两边分别交。。于A、8两点,

A.8B.4C.2啦D.2>/3

6.如图，在平面直角坐标系中，。。的半径为4,弦A8的长为3,过。作OC_LAfi于

点C,则0C的长度是；。。内一点。的坐标为(-2,1),当弦AB绕。点顺时针

7.如图，AB=\6,0为AB中点，点C在线段0B上(不与点0,8重

合)，将0C绕点0逆时针旋转

270。后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD与点P,Q,且点P,。在

AB异侧，连接OP.

(1)求证：AP=BQ；

(2)当80=43时，求弧Q。的长(结果保留兀)；

(3)若△AP。的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.

8.如图1和图2,点A在数轴上对应的数为16,过原点。在数轴的上方作射线08,且

4

tan408=§.点E从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点。运动，同时

点尸从点。出发，沿0B方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点E到达点。时，点

E,F都停止运动.以点尸为圆心，。F为半径的半圆与数轴正半轴交于点C,与射线0B

交于点O,连接。E,设运动时间为f秒点E在数轴上对应的数为x.

图①图②

(1)用含f的式子表示0C的长为,当点E与点C重合时，x=；

(2)若与半圆F相切，求x；

(3)如图2,当/=¥时，半圆厂与OE的另一个交点为G,求NO。的度数及CG的

长；

(4)若半圆尸与线段OE只有一个公共点，直接写出工的取值范围.

9.如图，半圆。的直径AB=4,以长为2的弦P。为直径，向点。方向作半圆其

中产点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.

发现AP的长与QB的长之和为定值/，求/;

思考点M与AB的最大距离为,此时点P,A间的距离为；点M与

的最小距离为,此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为.

探究当半圆”与AB相切时，求AP的长.

（注：结果保留万，cos35'=近■,cos55=—）

33

10.如图，在RtMMB中，ZAOB=90°,OA=OB=4,以点O为圆心、2为半径画圆,

过点A作O。的切线，切点为P,连接。P.将。P绕点。按逆时针方向旋转到。”时,

连接设旋转角为。（0。＜。＜360。）.

（1）当a=90。时，求证：8”是的切线；

（2）当3”与。。相切时，求旋转角a和点H运动路径的长；

（3）当AA/汨面积最大时，请直接写出此时点，到48的距离.

11.如图1,扇形AOB的半径为6,弧长为2n.

(1)求圆心角NAOB的度数；

(2)如图2,将扇形AOB绕点。逆时针旋转60。，连接AB,BC.

①判断四边形OABC的形状并证明：

②如图3,若NPOQ=60。，将ZPOQ绕点O旋转，与AB,8c分别交于点M,N(点

M,N与点A,B,C均不重合)，判断M8+NB的值是否为定值.如果是定值请求出；

如果不是，请说明理由

图1图2

图3

12.已知，在半圆0中，直径AB=6,点C,。在半圆AB上运动，(点C,。可以与A,

B两点重合)，弦8=3.

(1)如图1,当/D4B=NCBA时，求证：△C4B丝△054；

(2)如图2,若ND4B=15。，求图中阴影部分(弦AD、直径A8、弧8。围城的图形)

的面积；

(3)如图3,取CD的中点M,点C从点A开始运动到点。与点B重合时结束，在整

个运动过程中，

①点M到AB的距离的最小值是:

②直接写出点M的运动路径长.

0

AI

13.如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角C处，此时BC为1米，当A点下滑至A'

处并且A'C=1米时，AABC的外心运动的路径长为（）

c万

A.2-土D.—

242

14.如图，。。的半径为6,直径AB垂直平分圆内的线段CD,ZCAO=30°,OC=3V2,

以点。为圆心0C为半径画扇形，则以下说法正确的是（）

A.ZCOD是120°

B.线段AD的长为6+连

C.弧CD的长是5n

D.阴影部分的面积是7.5"

15.如图，在△ABC中，/C=90°,AB=10cm,BC=6cm,点M从C点开始以1cm/s的速

度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同

时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动.

（1）2秒时，△MCN的面积是;

（2）求经过几秒，aMCN的面积是3crn2；

（3）试说明aMCN外接圆的半径能否是V5cm.

MB

16.如图，在aABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=2.AD_LBC于D.E为边BC上的一个

(不与B、C重合)点，且AE1.EF于E,ZEAF=ZB,AF相交于点F.

(1)填空：AC=；ZF=.

(2)当BD=DE时，证明：ZkABC段

(3)Z\EAF面积的最小值是.

(4)当4EAF的内心在^ABC的外部时，直接写出AE的范围.

1.（2021•湖北荆州•中考真题）如图，在菱形A8CD中，ZD=60°,AB=2,以B为圆

心、BC长为半径画AC，点P为菱形内一点，连接始，PB,PC.当△BPC为等腰

直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）

D.2%-史二

C.2万

2

2.（2021•湖北荆州•中考真题）如图，矩形0A8C的边。4,OC分别在x轴、N轴的正

半轴上，点。在的延长线上.若A（2,0）,0（4,0）,以。为圆心、长为半径的弧

经过点B,交V轴正半轴于点E,连接OE,BE、则N8£D的度数是（）

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

3.（2021・湖北荆州•中考真题）如图，AB是。。的直径，AC是＜30的弦，OZ）_LAC于

D,连接OC,过点。作。/〃OC交于尸，过点8的切线交AC的延长线于E.若

AD=4,DF=1,则BE=.

4.（2021•河南•中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,

。均在小正方形的顶点上，且点B,C在A£＞上，NBAC=22.5。，则BC的长为

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三、解答题

5.（2022•湖北荆州•中考真题）如图1,在矩形ABCQ中，AB=4,AO=3,点。是边

A6上一个动点（不与点A重合），连接OQ,将△OA。沿。。折叠，得到AOEQ；再以

。为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线48于G,连接4E并延长交射线BC于F,

连接EG,设OA=x.

DCDC

⑴求证：OE是半圆。的切线；

⑵当点E落在8。上时，求x的值；

（3）当点E落在BQ下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y,确定），与x之间的函数

关系式；

⑷自选与此当半圆。与△BC。的边有两个交点时，x的取值范围.

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6.(2022・河南•中考真题)为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏"滚铁环”列入了

校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了

研究，如图，滚铁环时，铁环。0与水平地面相切于点C,推杆A8与铅垂线4。的夹

角为NBA。，点O,A,B,C,。在同一平面内.当推杆AB与铁环。。相切于点8时，

手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果.

⑴求证：ZBOC+NBAD=90Q.

(2)实践中发现，切点8只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点8

是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cosNBAO=].已知铁环

。。的半径为25cm,推杆AB的长为75cm,求此时的长.

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8.（2021・河南•中考真题）在古代，智慧的劳动人民已经会使用"石磨"，其原理为在磨

盘的边缘连接一个固定长度的"连杆"，推动"连杆"带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学

上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构"，设

图1图2

计图如图1,两个固定长度的"连杆"AP,3P的连接点尸在上，当点尸在上转

动时，带动点A,8分别在射线。M,QN上滑动，OM1ON.当AP与。。相切时，

点B恰好落在。。上，如图2.

请仅就图2的情形解答下列问题.

（1）求证：NPAO=2NPBO；

20

（2）若。。的半径为5,AP=y,求8P的长.

9.（2021・天津）己知闻内接于。0,=AC,/84c=42。，点。是上一点.

（I）如图①，若8。为OO的直径，连接C。，求NZJBC和/4CD的大小；

（口）如图②，若CD”BA,连接A£>,过点。作。。的切线，与OC的延长线交于点

E,求NE的大小.

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10.（2020•河北•中考真题）有一题目：”已知；点。为MBC的外心,Z£OC=130°,求2A.”

嘉嘉的解答为:画AABC以及它的外接圆。，连接08,OC,如图.由NBOC=2ZA=130。,

得NA=65。.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，NA还应有另一个不同的值."，下列判

断正确的是（）

A.淇淇说的对，且NA的另一个值是115。

B.淇淇说的不对，NA就得65°

C.嘉嘉求的结果不对，NA应得50。

D.两人都不对，NA应有3个不同值

11.（2021•河北•中考真题）如图，等腰中，顶角NAOB=40。，用尺规按①到④

的步骤操作：

G）以。为圆心，04为半径1@1圆；

②在。。上任取一点尸（不与点A,8重合），连接AP；

③作A8的垂直平分线与G〉O交于M,N；

④作AP的垂直平分线与交于E,F.

结论I：顺次连接M,E,N,F四点必能得到矩形；

结论II：QO上只有唯一的点P）使得5质形OFM=S酎形0AB.

对于结论I和n,下列判断正确的是（）

B.I和IT都不对

C.I不对I［对D.I对II不对

4

12.（2019•河北•中考真题）如图1和2,YABCD中，AB=3,BC=15,痴ND4B=§.点

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P为AB延长线上一点，过点A作。。切CP于点尸，设8P=x.

(1)如图1,x为何值时，圆心。落在AP上？若此时交AD于点E,直接指出PE

与8c的位置关系;

(2)当x=4时，如图2,。。与AC交于点Q,求NC4尸的度数，并通过计算比较弦AP

与劣弧尸Q长度的大小；

(3)当。。与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围.

13.(2021・河北•中考真题)如图，的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型,

其中整钟点为4(〃为1~12的整数)，过点4作。。的切线交AAi延长线于点尸.

4

(1)通过计算比较直径和劣弧4、长度哪个更长；

(2)连接4A”，则4A“和尸片有什么特殊位置关系？请简要说明理由;

(3)求切线长P4的值.

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14.（2022・河北•中考真题）如图，某水渠的横断面是以4B为直径的半圆。，其中水面

截线MV〃池.嘉琪在A处测得垂直站立于8处的爸爸头顶C的仰角为14。，点M的

俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7m.

⑴求NC的大小及A8的长；

⑵请在图中画出线段。H,用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多

少米（结果保留小数点后一位）.（参考数据：tan76°IX4,J万取4.1）

试卷第15