河北省2020届高三冲刺模拟数学试卷含解析《附15套高考模拟卷》

河北省邢台市第二中学2020届高三冲刺模拟数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.函数f(x)的导函数f'(x)满足f’(x)〉《X)在R上恒成立，且式l)=e,则下列判断一定正确的是()

A.式0)<1B.式-1)<式0)C.式0)>0D.KT)>式0)

2.已知函数/(幻是定义域为R的奇函数，当X..0时，/(x)=In(1+f)+x,则不等式/(2x+l)>l+ln2

的解集为()

A.{x|x>0}B.{x|x<0}

{x|x>l}D[x\x<l}

3.设向量a=(m,0),b=(l,l),且|b「=|a|2—|a—b『，则m等于()

A.1B.2C.3D.4

4.将函数/(力=而(2%+0)(0<夕<兀)的图象向右平移：个单位长度后得到函数

g(x)=sin2x+看的图象，则函数的一个单调减区间为

4547T571715万乃2乃

」15.一C.

5.在等差数列｛凡｝中，若4+%+/+%+%=55,S3=3,则为等于()

A.9B.7C.6D.5

6.下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是()

A.y=cosxBy=4xcy=""Dy=|lgx|

7.等差数列伍“｝中，前〃项和为S,，公差Q<0,且5'=%,若(-d-则怎=

A.0B.C.%。的值不确定D.4。=6

8.已知/(x)是定义在R上的奇函数，且在［0,+8)上单调递增.若实数/"满足

./(log3|m-l|)+/(-l)<0,则〃?的取值范围是()

A(-2,1)51,4)B(-2,1)c(-2,4)D(1,4)

9.在AABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,3BC=60。，々ABC的平分线交AC于点D,且BD=招,

则a+2c的最小值为()

A.4B.5C.2+2亚D.3+2也

10.已知/（X）是定义在R上的奇函数，且满足/（幻=/（2-x）,当x40,1］时，/（X）=4'-1,则在（1,3）

上，/（为〈1的解集是（）

35]3

（玲彳，彳[-,3)

L22Jc.2D.[2,3)

11.已知函数出幻=11«-*3+26*2-1+62》在定义域内有零点，则实数a的取值范围为（）

D（-8』则匕+00）

A.'B.'eJC.''e」D.'

12.在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=苧，a=3,$4^©=2啦，贝!|b的值为（）

A.6B.3C.2D.2或3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=Atan(6t>x+^)(69>0,d，y=/（x）的部分图像如下图，则

0（a,b为正实数）上任意一点关于直线1：x+y+2=0的对称点都在圆

13

C上，贝II：+b的最小值为.

22

———=l（a>0,b>0）

15.已知双曲线矿"，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的

和为“，则双曲线的离心率为.

/、x4—3x2-cvc,x>0,

j尤4_%2Y<0

16.已知函数1无公土依'”<U，有四个零点，则实数。的取值范围是__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设函数*如.若外力在（。，斗⑹上存在单调递减区间，求加的取值范围；

若为=-1是函数的极值点，求函数,3在［0'5］上的最小值.

18.（12分）已知数列｛a,J满足旬=1,且点P（an,an+l）在函数f（x）=x+2上；数列｛b,J的前n项和为

Sn,满足Sn=2b12,I1GN*求数列伯力、｛、｝的通项公式；设数列｛酬｝满足Cn=anbn,求数列｛g｝的前n项和

为Tn

19.（12分）已知/㈤士-2a|+|2x+a|,g（x）=2x+3.当。=1时，求不等式/（x）<4的解集；若

0<«<3,且当.一5'时，/（x）<g（x）恒成立，求〃的取值范围.

20.（12分）已知等比数列｛%｝,其公比4>1,且满足4+%=12,出和4的等差中项是10.求数列｛凡｝的

通项公式；若a=，T"是数列物"｝的前”项和，求使T'~n'2，，+l+M=0成立的正整数n的值.

21.（12分）已知数列他"的前〃项和S"满足且％=1,数列｛'J中，伉=1,4=9,

2b.=*1+b*n>2）.求数列｛叫和电｝的通项公式；若%=an-bn,求｛%｝的前〃项的和T„.

x=2+V3cosa

<_

22.（10分）在直角坐标系x°）‘中，曲线C的参数方程为〔丁=百sina（a为参数），直线/的方程为

y=kx,以坐标原点为极点，》轴正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线C的极坐标方程；曲线C与直线/交

于Al两点，若3|+|困=26,求左的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、A

2、A

3、B

4、A

5、B

6、C

7、B

8、A

9、D

10、C

11、B

12、D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、G

15、2

16、（一2，。）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)(-l,+oo)；(2)-9.

【解析】

【分析】

(1)由题可知，/'(%)=%2在(0,+a5)上有解，

所以根>/一2］，由此可求〃z的取值范围；因为/'(-1)=1+2-加=0,所以〃2=3.

(2)因为=可得加=3.

所以/'(x)=d-2%-3,令/'(x)=0,解得：％=-1或%=3.

讨论单调性，可求函数/(x)在［0,5］上的最小值.

【详解】

(1)/'(x)=x2-2x-m,

由题可知，尸(%)=X2-2%-〃2<()在(0,+8)上有解，

所以m>x2-2x»

则机>—1,即心的取值范围为(—1,+8).

(2)因为/1)=1+2—m=0,所以加=3.

所以尸(％)=/一2兀一3,令尸(力=0,解得:无=—1或x=3.

所以当xe((),3)时，/'(x)<0,函数/(x)单调递减：当xe(3,5)时，/'(x)>0,函数/(力单调递

增.

所以函数“X)在［0,5］上的最小值为〃3)=9-9—9=—9.

【点睛】

本题主要考查了导数与函数的单调性，极值的关系，以及再给定区间上的最值问题，属基础题..

nn+1

18、(1)an=2n-l,bn=2?(2)Tn=6+(2n-3)»2.

【解析】

【分析】

(1)由题意可得an+「an=2,由等差数列的定义和通项公式可得an,运用数列的递推式和等比数列的和通

项公式可得“：

(2)求得Cn=(2n-l)»2S由数列的错位相减法求和和等比数列的求和公式，计算可得所求和.

【详解】

⑴点P(an,an+i)在函数f(x)=x+2±,

可得ag-an=2,即有{a-}为以1为首项，2为公差的等差数列，

可得an=2n-l,XSn=2bn-2,可得bi=Si=2bi-2,即bi=2,

n>2时,Sn-i=2bn.i-2,又Sn=2bn-2,

两式相减可得bn=2bn-2-2bn-l+2,即bn=2bn-l»

可得d=2"；

(2)cn=anbn=(2n-l)*2">

前n项和为Tn=l・2+3・4+…+(2n-l)・2",

2Tn=l・4+3・8+…+(2n-l)*2n+1,

作差可得-Tn=l・2+2(4+8+...+2n)-(2n-l)«2n+1

=2+2・4(T)⑵

1-2

化简可得Tn=6+(2n-3)«2n+1.

【点睛】

等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，数列的递推式的运用，数列的错位相减法求和，

考查化简运算能力，属于中档题.

19、(1){x|-l<x<l}(2)(0,1)

【解析】

【分析】

(1)当a=l时，根据零点分段法去掉绝对值，建立不等式组，解不等式组取并集即可；

⑵根据xe-化简函数“X),将〃x)<g(x)恒成立，问题转化为<3—a恒成立，解

绝对值不等式，令-1,1)为其子集，即可求得。的取值范围.

【详解】

(1)当a=l时，不等式/(x)<4即为卜―2|+|2x+l|<4,

①当》<一；时，不等式化为—(工一2)-(2x+l)<4,解得一1<%<一(；

②当一时，不等式化为—(x—2)+(2x+l)<4,解得一;Mx<l：

③当x>2时，不等式化为(x-2)+(2x+l)<4,无解；

综上，不等式/(力<4的解集为{刈-1<%<1}.

(2)当无£一£』)时，/(X)=|X-2〃|+2X+Q,

/(%)<8(%)即为,-24<3-。恒成立，

0<。v3,即3-。>()

:.a-3<x-2a<3-ay即3。一3VxV3+Q,在-上恒成立，

所以，只需3a—3<—解得a<9,

27

所以的取值范围为

【点睛】

本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法.

函绝对值的不等式的解法：

(1)定义法；即利用去掉绝对值再解

(2)零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；

(3)平方法：通常适用于两端均为非负实数时(比如)；

(4)图象法或数形结合法；

(5)不等式同解变形原理。

国<a(a>0)<=>—M>4a>0)o或x<-

|ox+Z?|<c(c>0)<=>-c<or+/?<(?\ax¥卜〉£cO)oa后C由I

|/(x)|<g(x)o-g(x)</(x)<g(x)|/(4>4卜o(/)^>(©或(y«()

a<|/(x)|<b[h>a>0)oa</(x)<b或—b<<—a

20、(I)a„=2n.(II)〃=3.

【解析】

【分析】

(I)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；

(U)d=na„=n-2",由数列的错位相减法求和可得Tn,解方程可得所求值.

【详解】

(I)等比数列｛凡｝,其公比4>1,且满足4+%=%吗和%的等差中项是10

即有%q+a/=12,20=4+。4=。⑼+弓炉

解得：4=9=2an=T

(II)由(I)知：b.=na“=n-2"

则7；=L2+2-22+3-23+―+〃.2"

27；,=l-22+2-23+3-24+---+n-2n+,

23nn+I22n+

相减可得：一7=2+2+2+---+2-n-2=0)_n.2'

"1-2

化简可得:7；,=2+(n-l)-2n+1

7；-n-2n+l+14=0,即为16—2川=0

解得：〃=3

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，

属于中档题.

21、(1)。“=2"」也=2〃-1；(2)2=(2〃-3>2"+3.

【解析】

【分析】

(1)通过S“=a,川-1,当〃之2时，可以求出S,-的表达式，两式相减，得到

。,用=2。“，这样可以判断出数列｛4｝是等比数列，再求出数列｛4｝的通项公式.

(2)观察。“=4,也,，它是一个等差数列乘以一个等比数列，这样可以采用错位相减法为求｛%｝的前“项

的和(,。

【详解】

(1)由S,,=a“+「1得(/?>2).两式相减得氏=。,用一。“，即。,用=2。“(/?>2),又

H=/T得4=2=2%,所以数列｛%｝是等比数列，公比为2,首项为1,故4=2"。由

处“=匕+1+2T(〃22),可知/是等差数列,公差d=^=2,

则bn=2«-l.

n

(2)cn=an-bn=(2n-l)-2-',

7；,=1-2°+3-2'+5-22++(2〃-1>2"T①，

27；=12+3"+5"++(2/?-3)-2,,-|+(2n-l)-2n②.

①-②得—1=l+2.(2i+22++2"-|)_(2〃—1)-2"=1+2--^~一(2〃—1>2"=-3—(2〃一3>2”

故<=(2〃-3>2"+3.

【点睛】

本题考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、用错位相减法求数列和的方法.

22、(1)p2-4pcos^+l=0；(2)土叵

【解析】

【分析】

(1)先将曲线C的参数方程化为普通方程(x-2)2+V=3,然后再化为极坐标方程

22-4pcos6+l=0；

(2)由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出

|Q4|+\OB\=tA+tB=7X干=2求得结果即可.

yjl+k

【详解】

x=2+&cosa

(1)由题，曲线C的参数方程为(a为参数),

y=y/3sina

化为普通方程为：(x—2)2+V=3

所以曲线C的极坐标方程：p2-4pcos^+l=0

x=t

叫"《为参数),

(2)直线/的方程为丁="，的参数方程为〈

k

y=t-

Jl+公

然后将直线/得参数方程代入曲线c的普通方程，化简可得:

24［八4

厂一/J+l=°,fA+tB=1,^A'fB=1

yjl+k2Jl+22

所以q>0,右>0

故|。4|+|03|=^+4=姆7T=2百解得左=±且

W+A3

【点睛】

本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于

基础题.2019-2020高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

nS2

1.设s“是数列｛4｝的前〃项和，且％=1,an+i=-SnS,l+｝,则使丁_^取得最大值时〃的值为（）

1+10S,,

A.2B.5C.4D.3

2.抛物线丁=2勿5>0）的焦点为F,准线为/,A、B是抛物线上的两个动点，且满足NAEB=§.

\MN\

设线段AB的中点M在/上的投影为N,则J1的最大值是（）.

£2

A.1B.2c.3D.2

/、2x-2,x<lr⑶]

3.函数/x=J则=()

log2(x-l),x>ly2)_

A.2B.-1C.-5D.2

4.正整数〃除以加后的余数为「，记为r=nMODm,如4=19MQD5.执行如图的程序框图，则输出

的数〃是（）

A.19B.22c.27D.47

5.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）

A.21B.58C.141D.318

UUUUUtluuuuuu

6.在八43。中|48+40=依3_4€],43=3,4。=4,则3。在04方向上的投影为（）.

A.4B.3C.-4D.5

7,某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2:2:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容

量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为

j_23

A.3B.2C.3D.4

8.如图,AB是圆锥SO的底面。的直径，。是圆。上异于AB的任意一点，以A。为直径的圆与AD的另

一个交点为C,P为SD的中点.现给出以下结论:

①AS4C为直角三角形

②平面SAOL平面S3。

③平面Q钻必与圆锥SO的某条母线平行

其中正确结论的个数是

A.0B.1C.2D.3

9.在等差数列｛4｝中，若&<T,且它的前〃项和S“有最小值，贝I」当S”>0时，”的最小值为（）

A.14B.15c.16D.17

10.（尤2+2）（4-1）5的展开式的常数项是（）

x~

A.-3B.-2C.2D.3

x+y>0

11.若变量%）'满足约束条件，x-y>0,则3x+2y的最大值是（）

3x+y-4<0

A.0B.2C.5D.6

12.已知S、A、B、。是球。表面上的点，SAL平面ABC,AB±BC,S4=l,AB=BC=2,

则球S的表面积为（）

59

B.571c.971—n

A.5兀D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

b[

b7—____=I_____s_i_n_C____

13.在ABC中，内角AB,C的对边分别为&b,c,已知a+csinA+sinB,且

人=5,ACAB=5,则ABC的面积是.

14.我国古代数学家祖瞄提出原理：“鼎势既同，则积不容异”.其中“募”是截面积，“势”是几何体的高.该

原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的

两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xOy平面内，若函数

/（x）=3一厂G〔一1'°）的图象与X轴围成一个封闭的区域A,将区域A沿二轴的正方向平移8个单

e[0,1J

位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱

的体积为.

15.平行四边形ABC。中，A8=4,AO=2,A&AO=4,点p在边CO上，则APPC的取值范围是

2x-y+l>0

<x+y>0

16.若实数工,丁满足,则2=”一丁的最小值是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设定点/（"D,动圆£过点口且与直线y=T相切.求动圆圆心E的轨迹C的方程；设P为

直线y=T上任意一点，过点P作轨迹C的两条切线4和4,证明：C2.

18.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA±^ABCD,底面A8CD是平行四边形，若

AP=AB=-AD=1,AC=5

2

求证：平面PAC,平面PC。；求棱P。与平面P8C所成角的正弦值.

19.（12分）已知命题实数x满足/一4以+3/<0,命题4：实数x满足以一3|<1,若“=1,且八夕

为真，求实数x的取值范围；若。>（）且F>是F的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

20.（12分）如图，正三棱柱ABC-A百C中（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长44尸2,底

面边长N是CC的中点.求证：平面AN4,平面44,8田；求三棱锥8「AN8的高.

cosC2c+3/7八

,-----1-------=0

21.（12分）△48c的内角A，氏C所对的边分别为a/,c,且满足cosA2a.求cosA的值；若

小45。外接圆半径为3，"+c=,求AABC的面积.

22.（10分）为推进“千村百镇计划”，2018年4月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投

放200台。型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月。试用到期后，为了解男女试用者对

P型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为10（）分）。最后

该公司共收回有效评分表60（）份，现从中随机抽取4（）份（其中男、女的评分表各2（）份）作为样本，经统

计得到如下茎叶图：

女性试用者评分男性试用者评分

867889

521702234566789

866544333082448

32220091

求40个样本数据的中位数加；已知40个样本数据的平均数a=80,记〃?与〃的最大值为M。该公司规

定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于M的为“满意型”，评分小于M的为“需改进型”。

①请以4（）个样本数据的频率分布来估计收回的600份评分表中，评分小于M的份数；

②请根据40个样本数据，完成下面2x2列联表：

类型

满意型需改进型合计

性另

女性20

男性20

合计40

根据2x2列联表判断能否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关?

n(ad-bc)2

附:y=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)9

P(K?N幻0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、D

2、A

3、A

4、C

5、C

6、C

7、C

8、C

9、C

10、D

11、C

12、C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

5百

13、2

14、21+4

埒

15、L'」

16、1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)x2=4y(2)见证明

【解析】

【分析】

(1)根据抛物线的定义和题设中的条件可知E的轨迹是以6(0,1)为焦点，以直线y=-1为准线的抛物线,

焦点到准线的距离〃=2,进而求得抛物线的方程;

(2)首先判断过点过p与曲线C相切的直线斜率存在，设切线方程为y+l=Z(x-毛)，与抛物线的方

程联立，整理得出判别式等于0,从而求得％2-履°-1=0,利用韦达定理得出秘2=-1,从而得到41/2.

【详解】

(1)依题意知，点E的轨迹C是以b(O,l)为焦点，

以y=-l直线为准线的抛物线，方程为f=4y

⑵设P(跖1),显然过尸与曲线。相切的直线斜率存在，设切线方程为y+l=Z(x-x。)，

丫2

与曲线C:/=4)，联立得宁+1=小—％),即f-4米+45+4=0,

依题意(TA:)?-4(4fct0+4)=0,即二一5-1=0,

:.k、k,=—1

%,欠2分别是直线4和12的斜率，/阴2・

【点睛】

该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有利用定义求曲线方程，直线与抛物线的位置关系，

相切对应的条件，两直线垂直的条件，属于简单题目.

18、(I)见证明；(II)些叵

35

【解析】

【分析】

(I)先证明C£)_L平面PAC,再证明平面PAC_L平面PCD.(H)以A为原点，A8所在直线为x轴，

AC所在直线为丁轴，AP所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，利用向量法求棱PO与平面PBC

所成角的正弦值.

【详解】

解：(I)姑，平面ABC。，/M_LC£),

VAD=2,AC=5CD^AB^i,：.AD2=AC2+CD2,：.AC±CD,

二CD_L平面PAC,

又•••COu平面PC。，

.•・平面平面PCD.

(H)以A为原点，AB所在直线为x轴，4c所在直线为>轴，AP所在直线为z轴，建立如图空间直

角坐标系，

则8(1,0,0),C(0,V3,0),£>(-1,后0),P(0,0,l),于是

尸3=(1,0,-1),PC=(0,V3,-l),=(-1,73-1),

设平面PBC的一个法向量为n-(x,y,z),

则上P8=。,解得〃=（国,⑹,

n-PC=Q''

•••cos<〃,PQ>=—设与平面PBC所成角为。，贝iJsin6=®^.

3535

【点睛】

本题主要考查空间垂直关系的证明，考查线面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析

推理能力.

'4'

19,(1)(2,3)；(2)-.2

【解析】

【分析】

(1)当。=1时，分别求解出命题〃应为真时X取值范围，然后根据含逻辑联结词的复合命题的真假，判

断出命题。，4的真假，从而求解出X的取值范围；

(2)先分别求解出命题P，4为真时x取值范围，然后根据即是F的充分不必要条件得到-w对应的取

值集合为F对应的取值集合的真子集，从而求解出参数”的范围.

【详解】

⑴由/_45+3/<。得(x-a)(x-3a)<0,当。=1时,1cx<3,即〃为真时，xe(l,3),

由以一3|<1得2Vx<4,即q为真时，xe(2,4),

若，Aq为真，则。真且q真，所以实数x的取值范围是(2,3).

(2)由/-4姓+3a②<0得(x-a)(x-3a)<0,因为。>0,所以a<x<3a,

由仅一3]<1得2cx<4,设A={x|xWa或xN3a},B={x|xW2或xN4},

若士是F的充分不必要条件，

(0<a<2「41

则A是B的真子集，故°,,所以实数的取值范围为-,2.

3a>4L3」

【点睛】

本题考查根据充分、必要条件求解参数范围以及根据含逻辑联结词的命题的真假求取值范围，难度一般.

已知命题〃对应的取值为A,夕命题对应的取值集合为8,若〃是q的充分条件，则有Au8；若p是q

的必要条件，则有B=A；若〃是4的充分不必要条件，则有AB；若/'是夕的必要不充分条件，则

有BA.

20、(1)见解析(2)名旦

7

【解析】

【分析】

(1)取AB中点O,AiBi中点M,连结OC、OM,以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OC为z轴,

建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ANBi，平面AAiBiB.

(2)求出平面ABN的法向量，利用向量法能求出三棱锥Bi-ANB的高.

【详解】

(1)取AB中点O,AiBi中点M,连结OC、OM,

•.•正三棱柱ABC-AIBICI中(底面为正三角形，

侧棱垂直于底面)，

侧棱长AAi=2,底面边长AB=LN是CCi的中点.

...以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OC为z轴，

建立空间直角坐标系，

1n

A0,0),N(0,1,以),

22

Bi(----,2,0),

2

iA

AN=(—,1,—)，AB.=(-1,2,0),

22

设平面ANB］的法向量〃=(x,y,z),

n-AB1=-x+2y=0

则，1百,

n-AN=——x+yn------z=0

、22

取y=L得〃=(2,1,0),

平面AA1B1B的法向量/〃=((),0,1),

二平面ANB」平面AAiBiB.

(2)B0,0),(-1,0,0),

设平面ABN的法向量机=(x,y,z),

m-AB=-x=0

则1V3，取z=2,得加=(0,—百，2),

m-AN=——x+yH-----z=0

22

\ABi_2^_2V21

•••点Bi到平面ANB的距离d=

p«|不7

，三棱锥Bi-ANB的高为冥H.

7

【点睛】

本题考查了利用空间向量解决面面垂直的证明及三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位

置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

2r-

21(1)cosA=——(2)J5

【解析】

【分析】

cos。2c+3b

(1)由-----+--------=0及正弦定理得2sinAcosC+2cosAsinC+3cosAsinB=0

cosA2a

从而2sin(A+C)+3cosAsinB=0，利用诱导公式结合sinB>0,可求出cosA的值；(II)由正弦定理得

a=2Rsim4=2不，再由余弦定理及匕+c=2"，配方化简可得8c=6,由三角形面积公式可得结果.

【详解】

cosC2c+3b

(I)由-----------1--------------=0及正弦定理得

cosA2a

2sinAcosC+2cosAsinC+3cosAsinB=0

从而2sin(A+C)+3cosAsinB=。即2siB+3c4sS4n

2

又AABC中sinB>0,cosA=——.

(n)AABC外接圆半径为3,sinA=好,由正弦定理得a=2RsinA=2布

3

再由余弦定理a2-h2+c2-IbccosA=(Z?+c)2-2(1+cosA)Z?c,及0+c=2瓜

得。c=6

:.AABC的面积S=—Z?csinA=—x6x^-=^5.

223

【点睛】

以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是

近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公

式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于

心.

22、(1)81；(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)取位于中间两个数，计算平均数，即可。(2)结合茎叶图，完善列联表，计算卡方值，判断，即可。

【详解】

QQ1QO

(1)由茎叶图知加="旦=81

2

(2)因为m=81,a=80,所以M=81。

①由茎叶图知，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5个,

所以在40个样本数据中，评分不小于81的频率为"乎=0.5

40

可以估计收回的600份评分表中，评分不小于81的份数为600x0.5=300；

②根据题意得2x2列联表：

满意型需改进型合计

女性15520

男性51520

合计202040

由于片=40x(15x15-5X5)1O>6.635,

20x20x20x20

查表得尸(*.6.635卜0.010,

所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关。

【点睛】

考查了中位数的计算，考查了卡方计算，关键结合茎叶图，完善列联表，套用卡方公式，即可，难度中等。

2019-2020高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.设xeR,对于使-/+214”成立的所有常数乂中,我们把”的最小值1叫做-/+2^的上确界.若

12

a,bGR+,且a+h=l,则-------的上确界为（）

2ab

99

A.一5B.-4C.2D.2

2.已知椭圆C的中心为原点。，F（-26,0）为C的左焦点，P为C上一点,满足IOPHOFI且

|产耳=4,则椭圆C的方程为（）

22

A,『AB工+工=1

=1

3616

3.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是:

设实数X的不足近似值和过剩近似值分别为|•和一（q,b,c,dGN*）,则b+d

是工的更为精确的不足近似

a+c

值或过剩近似值，我们知道"=3.14159，若令右〈乃＜正，则第一次用“调日法”后得不是九的更为

精确的过剩近似值，即〈学，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得乃的近似分数

105

为（）

227863109

A.VB.25C.20D.

4.某程序框图如图所示，若输出S=3,则判断框中M为（）

(**]

/愉IHS/

A.k<14?B.k<14?C.k<15?D.k>15?

5.已知函数/(x)=sin(23+9)(°>0,9>0)的最小正周期为兀，且/(")4/仁],则9的最小值

I4J

为（）

71n

A.4B.2c.兀D.2兀

6.在平面斜坐标系x0y中，Nx0y=45。，点P的斜坐标定义为“若0。=$4+为02（其中6，02分别为

与斜坐标系的x轴、）'轴同方向的单位向量），则点P的坐标为（毛,为）”.若耳（一1,0）,6（1,0）,且动点

M（羽y）满足|肛|=|叫|,则点M在斜坐标系中的轨迹方程为（）

Ax-y/2y=0nx+=0「\[2x-y=0n41x+y=0

x*•H•lx・u•

x-y+2>0

7.设X,y满足约束条件<x+yN0，则Z=（x+l）2+y2的最大值为（）

x<3

A.41B.5C.25D.1

8.已知抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为F,准线为/,O为坐标原点，点P在C上，直线PF与I

2|PF|

交于点T.若NP/兀，则局=

2

A.4B.3c.2D.3

9.已知向量a=(g,tana),b=(cosa,1),ae(奈万)，且allb，则sin(a—•1■)=()

_!1述2夜

A.3B.3c.3D.3

10.记mm{x,y}=飞1设f(x)=minL'H贝！］()

A4、y

A.存在t>O,|f(t)+f(-1)|>f(t)-f(-1)

B.存在t>O,|f(t)-f(-1)|>f(t)-f(-1)

C.存在t>0,|f(l+1)+Hl-1)|>瑁+1)+f(l-1)

D.存在t>0,|f(l+t)-f(l-1)|>f(l+t)-f(l-1)

11.已知椭圆C:七+工=1,直线1：x=4与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于

43

A,B两点，点C在直线I上，贝!|"BC//x轴”是“直线AC过线段EF中点”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.在正方体ABCD-A]BiC]Di中，E,F分别为棱BB「DD]的中点，G为侧面ABB^I内一点.若D】G“平面

AEC]F,则D】G与平面ABB]A]所成角正弦值的最大值为（）

-2■一廊

A.TB.TC.~6D.~6~

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

设S"为等差数列｛%｝的前"项和，若%=5,^=-55,则〃S“的最小值为