高中数学：3-3幂函数教案

3.3寨函数

考纲要求

1.了解幕函数的基本概念.

2.掌握嘉函数y=x,y=x2,y=Y,y=x5和y=x-l的图象和性质.

刍I知识解读

知识点①嘉函数的定义

一般地，函数y=x«叫做幕函数，其中X是自变量，a是常数.

知识点②常见的五种‘幕函数的图象

知识点③事函数的性质

1.辱函数在(0,+8)上都有定义；

2.当a>0时，基函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+oo)上单调递增：

3.当a<0时，塞函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

知识点④事函数的常用结论

1.基函数的图象吧不经过第四象限

2.第一象限内，在直线x=l右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.

〃

3.对于形如兀(其中mGN*,"6Z,"2与〃互质)的幕函数：

(1)当〃为偶数时，/U)为偶函数，图象关于)，轴对称；

(2)当机，〃都为奇数时，兀o为奇函数，图象关于原点对称；

(3)当机为偶数时，x>0(或后0),/(X)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处).

।题型讲解

题型一、事函数的图象和性质

例1.已知塞函数<x)=M(kCR,aCR)的图象过点Q,也)，则Z+a=()

A.2D.1

C.ID.2

【答案】A

【解析】I•帮函数孔c）=AA"（kGR,aCR）的图象过点（J,6），,6）=（0=6即。

+a斗

例2.基函数丫=_/0）的图象过点（4,2）,则事函数丫=火》）的图象是（）

【答案】C

【解析】设＞U）=K，则4。=2,r.a=£,

.../U）=/，对照各选项中的图象可知c正确.

例3.若累函数的图象经过点（2,；）,则它的单调递增区间是（）

A.(0,+oo)B.[0,+oo)

C.(-00,+oo)D.(-00,0)

【答案】D

【解析】设外尸K，则2。=；,a=-2,即於）=x?它是偶函数，单调递增区间是（一8,0）.

例4.已知幕函数_/（x）=x""2"35eN*）的图象关于y轴对称，且在（0,+8）上是减函数，则m的值为

【答案】1

【解析】因为丸x）在（0,+8）上是减函数，所以而―2〃?一3V0,解得一

又,“GN*,所以加=1或,”=2.由于凡r）的图象关于），轴对称.所以“2—2加一3为偶数,

又当用=2时，//—2m—3为奇数，所以加=2舍去，因此"?=1.

例5.若应i）=/，则不等式/U）次8x—16）的解集是（）

A.2,坍B.（0,2]

c-(一孙竽)

D.[2,+oo)

【答案】A

【解析】因为函数«x)=炉在定义域［(),+8)内为增函数，且/(X)：次8x—16),

x>0,

所以<8A—16>0,即2<v<y,

X>8x—16,

所以不等式的解集为［2,y).

例6.如图所示，曲线Ci与C2分别是函数y=丁和在第一象限内的图象，则下列结论正确的是()

A.n<m<0

C.n>m>0D.m>n>0

【答案】A

【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故"<0,〃<0.当x=2时，2〃>2〃，所以〃<〃?<().

题型二、基函数比较大小问题

例1.若〃<0,则0.5。,5。,0.2。的大小关系是()

A.0.2"<5〃<0.5"B.5yo.5〃<0.2"

C.0.5"<0.2"<5"D.5"<0.2"<0.5°

【答案】B

【解析】因为4<0,所以函数y=寸在(0,+oo)上是减函数，又因为0.2<0.5<5,所以0.2">0.5">5〃，即5"vO.5y).2〃.

42

例2.已知4=2"6=33,c=25、,则()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

42LI1222

【解析】因为〃=2§=4"C=253=53,而函数)，=/在(0,+s)上单调递增，所以如v"<5?,即b<a<c.

232

例3.若c=(|)，则下列正确的是(

)

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>hD.b>c>a

【答案】B

22223

【解析】因为在第一象限内为增函数，所以a=(|j>c.=(|j,因为b=(gj>l,所

以b>a>c.

例4、已知点(m,8)在基函数段)=(%—1)/的图象上，设“=娟，。=*),。=负2《)，则a,b,c的大

小关系是()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.h<a<c

【答案】A

【解析】由于_/(x)=(m-D炉为六函数,

所以,“一1=1,则"7=2,贝x)=『.

又点(2,8)在函数人》)=/的图象上,

所以8=2",知〃=3,故_/U)=V，且在R上是增函数,

T79.近1

乂,>1>22_2>3，

所以/g)次2一$刁(；)，则

例5.已知人x)=/，g(x)=x2,h(x)=x~2,当0<x<l时，凡0，g(x),/i(x)的大小关系是.

【答案】/z(x)>g(x)次X)

【解析】分别作出|x)，g(x)，〃(x)在(0,+8)上的图象如图所示,

可知h(x)>g(x)>j(x).

达标训练

1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+oo)上单调递减的函数是()

A.y=x~2D.y=x

C.y=fD.y=x

【答案】A

【解析】所给选项都是寻函数，其中y=x2和），是偶函数，y=x।和），=/3不是偶函数，故排除选项B、

D,又在区间（0,+8）上单调递增，不合题意，y=xP在区间（0,+oo）上单调递减，符合题意，故选A.

2.（多选题）（2020・襄阳调研）已知点。，，在幕函数段）=3—1），的图象上，则函数段）是（）

A.奇函数

B.偶函数

C.（0,+8）上的增函数

D.（0,+8）上的减函数

【答案】AD

【解析】由题意得a—1=1,且因此。=2,且b=-1,故兀v）=》r是奇函数，且在（0,+8）上是减

函数.

42|

3.已知a=3§,6=4《，c=12\则mb,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【解析】因为〃=81二，3=165,c—12^,由幕函数、=/在（0,+co）上为增函数，知〃>0>c.

4.已知函数於）=%、,若〃=大0.6吟，人=人0.6°,4）,c=/（0.40-6）,则m4c的大小关系是（）

A.a<c<bB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【解析】•・,0.4°6<0.6°6<0.6(U,

又丁=/（幻=-3在（0，+8）上是减函数,

/.b<a<c.

5.若幕函数/）=（二一5。—5卜丁在（0,+8）上单调递增，则。等于（

A.1B.6

C.2D.-1

【答案】D

i

【解析】因为函数/«=(/—5。一5)x”“是'累函数，

所以—5〃-5=1,解得4=—1或4=6.

当a=—\时，

府)=/在(0,+oo)上单调递增；

当4=6时，

府)=/3在(0,+oo)上单调递减，

所以〃=-1.

6.已知基函数兀0=如是定义在区间［―2,网上的奇函数，设。=/(sin45。)，0=/(sin30。)，c=

/(sin60°),则()

A.h<a<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

【答案】A

【解析】根据'/U)=〃拄+"是基函数，且在区间1—2,网上是奇函数，

得，〃=1,且-2+"=0,解得〃=2,

且在定义域［-2,2］上是单调增函数.

Xsin300<sin450<sin60°,

，/(sin30°)</(sin45°)</(sin60°),即b<a<c.

p_

7.己知基函数y=X“S，qGZ且p,q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，贝女)

A.p,q均为奇数，且彳>0

B.q为偶数，p为奇数，且：<0

C.q为奇数，p为偶数，且%0

D.q为奇数,p为偶数，且：<0

【答案】D

p_p_

【解析】因为函数.丫=工”的图象关于），轴对称，于是函数y=x"为偶函数，即〃为偶数，

p_

乂函数尸x"的定义域为（一8,0）U（0,+00）,且在（0,+8）上单调递减，则有]<0,

又因为P，4互质，则“为奇数，所以只有选项D正确.

8.若四个嘉函数y=^,y=Z,y=/在同一坐标系中的图象如图所示，则a,b,c,d的大小关系

是（）

A.d>c>b>aB.a>b>c>d

C.d>c>ci>bD.a>b>d>c

【答案】B

1

【解析】观察图象联想y=『，y=x"y=x।在第一象限内的图象，可知c<0,d<0,0<b<\<a.

由图象可知2，>2",所以综上知a>6>c>d.

17

9.若（2m+1）2>（加2+加一1P，则实数机的取值范围是（）

A.（―co,B.肉,+j

C.（—1,2）D.[%12）

【答案】D

【解析】因为函数y=/在|0,+（»）是增函数，

且（2m+1）2>（tn2+m-\^,

2m+1>0,

所以<m2+m1>0,解得_<m<2.

,2m+\>nr+m~1,

10.塞函数y=/Q）经过点（3,啊,则以）是（）

A.偶函数，且在（0,+oo）上是增函数

B.偶函数，且在（0,+oo）上是减函数

C.奇函数，且在（0,+oo）上是减函数

D.非奇非偶函数，且在（0,+助上是增函数

【答案】D

【解析】设器函数的解析式为y=L,将（3,小）代入解析式得3"=正，解得a=3,.•.尸元.

11.（2022・延吉检测）若函数y=（机2一3根+3）犬八2吁4为基函数，且在①，十8）上单调递减，则实数m的值

为（）

A.0B.1或2

C.1D.2

【答案】C

【解析】由于函数y=（机2—+3）I"'?吁4为基函数，

所以，/-3/n+3=1,解得〃?=1或，"=2,

当,”=1时，在（0,+刃）上单调递减，符合题意.

当桁=2时，y=x4,在（0,+oo）上单调递增，不符合题意.

12.若基函数丫=（那-3m+3）«"?一成一2的图象不过原点，则根的取值是（）

A.—\<m<2D.m=1或加=2

C.m=2D.m=\

【答案】B

【解析】由嘉函数的定义，可得加2—3切+3=1,解得机=1或2.当团=1时，y=/2,其图象不过原点；当

"?=2时，y=/,其图象不过原点.故或2.

13.已知基函数外）=片的图象过点（2,则函数g（x）=（x—2次外在区间仕，11二的最小值是（）

A.-1D.-2

C.-3D.-4

【答案】C

【解析】由已知得2〃芍1解得。=-1,.•*伏）=7r—=21—彳2在区间Er1，""I上单调递增，贝Ug（X）min=g（<j1\）=一

3.故选C.

14.(2022•张家口检测)已知幕函数式x)=my+么的图象过点(专，；)，则加一2〃+3A=.

【答案】0

【解析】因为《X)是幕函数，

所以m=1,k=0,

又/(x)的图象过点©,；),

所以㈤"4

解得〃=；,

所以加一2〃+3A=0.

15.已知2.4。>2.5。，则a的取值范围是.

【答案】(一8，0)

【解析】因为0V2.4V2.5,而2.4〃>2.5〃，

所以了=^在(0,+8)上为减函数，故aVO.

16.给出下面四个条件：①/(机+〃)=/("?)+火")；②汽机+〃)=,穴加)贝〃)；③/(〃?〃)=人根)贝")；@f(mn)=J(m)+

#〃).如果机,〃是事函数y=A幻定义域内的任意两个值，那么幕函数y=/U)一定满足的条件的序号为.

【答案】③

aaaa

【解析】设/(幻=炉\则.穴〃?+〃)=(加+〃)“，/("?)+,/(〃)=胴。+〃"，J(m)-J(n)=m-n=(mn)iJ(mn)=(mn)9所

以角切7)=逃"?)贸〃)一定成立，其他三个不一定成立，故填③.

17.己知基函数大犬)=(小一5m+7)xF「(m£R)为偶函数.

(1)求({)的值；

(2)若_/(2a+l)=/(a),求实数a的值.

【答案】(1)16(2)a=-1或。=一；

【解析】(1)由，层一5所+7=1,得，”=2或3.

当山=2时，40=/3是奇函数，.•.不满足题意，.•.〃?=2舍去；

当m=3时，加)=44,满足题意，

一4

，段)=/4,.•.0=(；)=16.

(2)由/U)=/4为偶函数和火2a+l)=/(a)可得|2a+l|=|a|,

即2a+I=a或2a+\=-a,.\a=~l或a=—?

(irT+nty1

18.已知基函数"x)=x(meN).

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若函数兀0的图象经过点(2,也)，试确定机的值，并求满足条件X2—1)的实数。的取值范围.

【答案】⑴［0,+8)增函数(2)m=111,|)

【解析】(1)因为nr+m=m{m-\-l)(/n^N*),

而加与〃?+1中必有一个为偶数，所以nr+m为偶数，

(m2+/n)-1

所以函数/(x)=xv(〃?WN*)的定义域为［0,+00),并且该函数在［0,+8)上为增函数.

(2)因为函数/U)的图象经过点(2,业,

所以能=2(/+M12"〃"〃z,up22=2而+小，

所以/+〃?=2,解得"?=1或6=—2.

又因为所以僧=1,於)=/，

又因为人2—〃)/4—1),

2-a>0,3

-

所以<a~\>0,2

.2—a>«-I>

故函数;(x)的图象经过点(2,6)时，，”=1.

满足条件人2—的实数a的取值范围为［1,1).

一课后提升

1.(多选)已知基函数7(X)=(相2一根_l)x，"，"，-3,对任意为,及右(0,+00),且X^X2,都满足西匕B^>0,

\/x}-x2

若a,且大。)+人力<0,则下列结论可能成立的有()

A.a+b>Q且ah<0

B.a+b<0Kab<0

C.a+b<0Eab>0

D.以上都可能

【答案】BC

【解析】因为/U）=（〃，一加一1）f吁3为基函数,

所以in2—m—1=1,

解得，”=2或m=-1.

依题意7（x）在（0,+8）上单调递增,

所以机=2,此时兀r）=V,

因为/（一'）=（-x）3=-V=—/（x）,

所以,危0=/为奇函数.

因为。，R且忌，）+火匕）<0,

所以加）勺（一匕）.

因为y=/U）为增函数,

所以a<一b,所以〃+〃<0.

2.对于基函数兀v）=x；若0<©<X2,则产/），；/.2）的大小关系是（）

Afi+xz）》/（XI）+F（X2）

B.隹可y5）

„/xi+Z/（XI）+/（X2）

c

-\T~r2

D.无法确定

【答案】A

【解析】某函数/U）="在（0,+8）上是增函数，大致图象如图所示.

设A（X|,0）,C（X2,0）,其中O<X|<X2,则AC的中点E的坐标为（吗*,0）,|AB|-Xxi）,\CD\=^x2）,|EF|

〃1+%2、1,f（Xl）+/（%2），…

=人一5一>・|防>手|明+3）,・《一万二），—Y—，故选A.

3.