等腰三角形与等边三角形-2021年《三步冲刺中考数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析）

*第一步小题夯基础

考点22等腰三角形与等边三角形

真题回顾

1.（2020•呼伦贝尔）如图，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,若NT=65"，则/DBC

的度数是（）

A.25°B.20°C.30°D.15°

2.（2019・南充）如图，在AABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则

△ACE的周长为（）

B.11C.16D.17

3.（202。南充）如图,在等腰三角形ABC中，BD为NABC的平分线，ZA=36°,AB=AC=a,BC=b,则

CD=()

n-h

C.a-bD.b-a

4.（2019•苏州）如图，在AABC中，点D在BC上，AB=AD=DC,ZB=80°,则NC的度数为（）

A

B.40°C.450D.60°

5.（2018.雅安）如图所示，底边BC为2百，顶角A为120。的等腰AABC中，DE垂直平分AB于D,则

A.2+2y/3B.2+V3C.4D.3V3

6.（2019•连云港）如图，在RtZ\ACB中，ZC=90°,BE平分/ABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,

则£AE的值是（）

A.6百B.4V3C.6D.4

7.（2017海南）已知AABC的三边长分别为4、4、6,在AABC所在平面内画一条直线，将aABC分割成

两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条.

A.3B.4C.5D.6

8.（2018・镇江）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一

个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，

记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如

图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）

A-x（±）5aB-x《）5aC.-x（-）6aD.1x（-）6a

9.（2018•苏州）如图，AAOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2,遍）,底边OB在x轴上.^AAOB

绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A，O，B,点A的对应点A，在x轴上，则点0,的坐标为（）

Z2010x

AA.（—,—）BY,乎）C.（—,这）D.（三，4y/j）

3333

10.（2018•六盘水）如图，已知AB=A1B,AB=A1A2,A2B2=A2A3A3B3=A3A4…，若NA=70。，则

ZAn的度数为（）

4

cED3

»»n-lcI：一二

11.（2020•十堰）如图，在△4BC中，DE是AC的垂直平分线.若AE=3,△ABD的周长为13,则

△ABC的周长为.

12.（2013•无锡）如图，AABC中，AB=AC,DE垂直平分AB,BE±AC,AF1BC,则NEFC='

13.（2018・株洲）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,且BD=CD,过点A作AMJ_BD于点M,过

点D作DNJ_AB于点N,且DN=30，在DB的延长线上取一点P,满足/ABD=/MAP+/PAB,则

AP=.

14.（2019・番禺模拟）如图，ZViBC为等边三角形，AB=2.若P为△ABC内一动点，且满足

则线段PB长度的最小值为.

15.（2017•抚顺）如图，等边△AiCG的周长为1,作CID」AIC2于Di,在C1C2的延长线上取点C3,

使D|C3=D|C|,连接D1C3,以C2c3为边作等边AA2c2c3；作C2D2，A2c3于D2,在C2c3的延长

线上取点使,连接,以为边作等边…且点

C4,D2c4=D2c2D2c4C3c4AA3c3c4；A],A2,

A3,…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△AlGCz,AA2C2C3,4A3c3c4,△AnCnCn+l

的周长和为.（n>2,且n为整数）

模拟预测

1.（2020•杭州模拟）如图，AABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD

上的一个动点，当PC+PE最小时，/CPE的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2020•西安模拟）如图，AABC内有一点D，CD平分/ACB,AD1CD,=^BAD,若

BC=5,AC=3,则AD等于（）

A.1B.V2C.2D.、尽

3.（2019・桥东模拟）在等腰AABC中，AB=AC,D、E分别是BC,AC的中点，点P是线段AD上的一个

动点，当4PCE的周长最小时，P点的位置在aABC的（）

A.重心B.内心C.外心D.不能确定

4.（2017・游仙模拟）如图，在AABC中，AB=AC,ZA=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,

交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为（）

A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm

5.（2019•兰州模拟）如图，坐标平面内一点A（2,-1）,O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、

0、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（)

6.（2020,三明模拟）如图，在AABC中，AB=20cm,AC=12cm,点P从点B出发以每秒3cm的速度向点

A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，，另一个动点也随

之停止运动，当4APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）

A.2.5B.3秒C.3.5秒D.4秒

7.（2017•资中模拟）如图，已知等腰aABC中，AB=AC,NBAC=120。，ADJ.BC于点D,点P是BA延

长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC,下面的结论：①NAPO+NDCO=30。；②△OPC是等边三

角形；③AC=AO+AP；@SAABC=SBSBAOCP,其中正确的个数是（）

8.（2020•柘城模拟）如图，等腰4ABC中，AB=AC=5,BC=8,点F是边BC上不与点B,

C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF,垂足为D,当△ACF是直角三角形时，BD的长为

BDiFC

9.（2017•黄冈模拟）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点C出发，按C—B—A

的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，AACP是等腰三角形.

A

10.（2017•黄岛模拟）如图放置的△OABi，ABIAIB2，AB2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,

点A在x轴上，点O,Bi,B2,B3，…都在正比例函数y=kx的图象1上，则点B2017的坐标是

第一步小题夯基础

考点22等腰三角形与等边三角形

真题回顾

1.（2020.呼伦贝尔）如图，AB=AC.AB的垂直平分线MN交AC于点D,若々=65°,则CBC

的度数是（）

A.25°B.200C.30°D.15°

【答案】D

【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：・・・AB=AC,ZC=ZABC=65°,

.".ZA=180°-65°x2=50°,

•；MN垂直平分AB,

，AD=BD,

ZA=ZABD=50°,

ZDBC=ZABC-ZABD=15°,

故答案为：D.

【分析】根据等要三角形的性质得到NABC,再根据垂直平分线的性质求出NABD,从而可得结果.

2.（2019•南充）如图，在AABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则

△ACE的周长为（）

【答案】B

【考点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】

解：：DE垂直平分AB,

AE=BE,

.,.△ACE的周长=AC+CE+AE

=AC+CE+BE

=AC+BC

=5+6

=11.

故答案为：B.

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE,则AACE的周长=EC+AE+AC=BC+AC,因而得解。

3.（2020・南充）如图，在等腰三角形ABC中，BD为NABC的平分线，NA=36。，AB=AC=a,BC=b,则

CD=()

B.IC.a-bD.b-a

【答案】C

【考点】等腰三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：:在等腰^ABC中，BD为NABC的平分线，ZA=36°,

ZABC=ZC=2ZABD=72°,

AZABD=36°=ZA,

ABD=AD,

.・・ZBDC=ZA+ZABD=72°=ZC,

.\BD=BC,

VAB=AC=a,BC=b,

・・・CD=AC-AD=a-b,

故答案为：C.

【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD,进而解答即可.

4.（2019•苏州）如图，在AABC中，点D在BC上，AB=AD=DC,ZB=80°,则NC的度数为（）

B.400C.45°D.60°

【答案】B

【考点】等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：:△ABD中，AB=AD,ZB=80°,

AZB=ZADB=80°,

・・・ZADC=180°-ZADB=100°,

VAD=CD,

./c=W-4DC_--2。。'=40。

故选：B.

【分析】先根据等腰三角形的性质求出NADB的度数，再由平角的定义得出NADC的度数，根据等腰三角

形的性质即可得出结论.

5.（2018•雅安）如图所示，底边BC为2百，顶角A为120。的等腰AABC中，DE垂直平分AB于D,则

△ACE的周长为（）

A.2+2V3B.2+V3C.4D.36

【答案】A

【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：过A作AFLBC于F,

VAB=AC,ZA=120°,

.\ZB=ZC=30o,

，AB=AC=2,

VDE垂直平分AB,

/.BE=AE,

.•.AE+CE=BC=2V3,

.二△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+20，

【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三

角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力.过A作AFLBC于F,根据等腰三角形的性质得

至叱B=/C=30°,得到AB=AC=2,根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE,即可得到结论.

6.（2019•连云港）如图，在RtZ\ACB中，ZC=90°,BE平分NABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,

则AE的值是（）

A.6、5B.45/3C.6D.4

【答案】C

【考点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：-BE平分NABC,

/.ZCBE=ZABE,

VED垂直平分AB于D,

，EA=EB,

.\ZA=ZABE,

.,.ZCBE=30°,

，BE=2EC,即AE=2EC,

而AE+EC=AC=9,

，AE=6.

故选C.

【分析】由角平分线的定义得到NCBE=NABE,再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB,则NA=N

ABE,可得NCBE=30。，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC,即AE=2EC,由AE+EC=AC=9,

即可求出AC.

7.（2017海南）已知AABC的三边长分别为4、4、6,在AABC所在平面内画一条直线，将AABC分割成

两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【考点】等腰三角形的判定

【解析】【解答】解：如图所示:

当AC=CD,AB=BG,AF=CF,AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形.

故选B.

【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边得出符合题意的图形即可.

8.（2018・镇江）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一

个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形,

记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如

图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）

A-x(2)5aB-x(&)5aC」x(»aD-x(二)6a

【答案】A

【考点】等边三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：连接AD、DF、DB.

二•六边形ABCDEF是正六边形，

；.NABC=NBAF=NAFE,AB=AF,NE=NC=120°,EF=DE=BC=CD,

，ZEFD=ZEDF=ZCBD=ZBDC=30°,

VZAFE=ZABC=120°,

；.NAFD=NABD=90。，

在RtAABD和RtAFD中

rAF=AB

{AD=AD

ARtAABD^RtAAFD(HL),

AZBAD=ZFAD=-xl20°=60°,

二NFAD+/AFE=60°+120°=180°,

，AD〃EF,

；G、I分别为AF、DE中点，

；.GI〃EF〃AD,

/.ZFGI=ZFAD=60°,

0

•••六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，

.\ZEDM=60o=ZM,

，ED=EM,

同理AF=QF,

即AF=QF=EF=EM,

•••等边三角形QKM的边长是a,

二第一个正六边形ABCDEF的边长是-a,即等边三角形QKM的边长的-,

33

过F作FZ_LGI于Z,过E作EN_LGI于N,

则FZ〃EN,

VEF/7GI,

四边形FZNE是平行四边形，

；.EF=ZN=-a,

3

VGF=1AF=ixi=-a,ZFGI=60°（已证）,

223a6

JZGFZ=30°,

1

/.GZ=eGF=—1ra,

同理IN=—a,

12

/.GI=±a+三a+二a=±a,即第二个等边三角形的边长是-a,与上面求出的第一个正六边形的边长

1231222

的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是；X1a；

32

同理第第三个等边三角形的边长是iXia,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第

三个正六边形的边长是xixia；

322

同理第四个等边三角形的边长是ix1x1a,第四个正六边形的边长是ix1x1x1a；

第五个等边三角形的边长是x1xix1a,第五个正六边形的边长是；x1xixixia；

第六个等边三角形的边长是ix1xix1xia,第六个正六边形的边长是ix1xix1x1x1a,

即第六个正六边形的边长是;x6)5a,

故选：A.

【分析】连接AD、DB、DF,求出NAFD=NABD=90。，根据HL证两三角形全等得出NFAD=60。，求出

AD〃EF〃GL过F作FZ1GL过E作ENJ_GI于N,得出平行四边形FZNE得出EF=ZN=-a,求出GI

的长，求出第一个正六边形的边长是;a,是等边三角形QKM的边长的i；同理第二个正六边形的边长

是等边三角形GHI的边长的i；求出第五个等边三角形的边长，乘以-即可得出第六个正六边形的边长.

33

9.（2018•苏州）如图，AAOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2,若），底边OB在x轴上.将AAOB

绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△AXYB,点A的对应点A，在x轴上，则点0,的坐标为（）

0Z\BAA:X

…，手）B.普，容）C.-,")D.(-,4V3)

333”

【答案】C

【考点】等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：如图，过点A作ACLOB于C,过点0作ODLAB于D,

VA（2,y/S）,

.,.OC=2,AC=y/S，

由勾股定理得，OA=yjOCz+AC2=J2=+（V5）-=3

•.•△AOB为等腰三角形，OB是底边，

；.OB=2OC=2x2=4,

由旋转的性质得，B0，=0B=4,ZA'BO^ZABO,

.•.O，D=4x违=及，

33

BD=4x=■=-,

3

•♦•°D=0B+BD=4+；若，

点。，的坐标为（去乎）.

故选：C.

【分析】过点A作ACLOB于C,过点0,作O，D，AB于D,根据点A的坐标求出0C、AC,再利用勾股

定理列式计算求出0A,根据等腰三角形三线合一的性质求出0B,根据旋转的性质可得BOMDB,ZA'B0'=

ZAB0,然后解直角三角形求出O'D、BD,再求出0D,然后写出点0'的坐标即可.

10.（2018•六盘水）如图，已知AB=AiB,AiB产A1A2,A?B2=A2A3,A?B3=A3A4…，若NA=70°,则

NAn的度数为（）

【答案】C

【考点】等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：•••在aABAi中，NA=70。，AB=AiB,

.♦.NBAiA=70。，

VAIA2=A1BI,/BA|A是AAIAZBI的外角，

/.ZB|A2A1=寺贮=35°；

同理可得,

NB2A3A2=17.5。，NB3A4A3=-xl7.5°=—，

24

.70。

/.ZAn-lAnBn-l=布•

故选：c.

【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出/B|A2Al,/B2A3A2及NB3A4A3的度数,

找出规律即可得出NA»iA„Bn।的度数.本题考查的是等腰三角形的性质及一角形外角的性质，根据题意

得出NBiC2Al,NB2A3A2及NB3A4A3的度数，找出规律是解答此题的关键.

11.（2020・十堰）如图，在4ABC中，DE是AC的垂直平分线.若AE=3,△ABD的周长为13,则

△ABC的周长为.

【答案】19

【考点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：••­DE是AC的垂直平分线.4E=3,

：.AC=2AE=6.AD=DC.

AB+BD+AD=13,

ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC

=13+6=19.

故答案为：19

【分析】由线段的垂直平分线的性质可得AC=2AE,AD=DC,从而可得答案.

12.(2013・无锡)如图，AABC中，AB=AC,DE垂直平分AB,BE±AC,AF±BC,则NEFO

【答案】45

【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：〈DE垂直平分AB,

：.AE=BE,

VBE1AC,

•♦.△ABE是等腰直角三角形,

.\ZBAE=ZABE=45°,

XVAB=AC,

・・・ZABC=(180°-ZBAC)==(180°-45°)=67.5°,

，ZCBE=ZABC-ZABE=67.5°-45°=22.5°,

VAB=AC,AF1BC,

ABF=CF,

VEF==BC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）,

:.BF=EF=CF,

AZBEF=ZCBE=22.5°,

JZEFC=ZBEF+ZCBE=22.5°+22.5°=45°.

故答案为：45.

【分析】根据线段垂宜平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE,然后求出4ABE是等腰直角三

角形，根据等腰直角三角形的性质求出/BAE=/ABE=45。，再根据等腰三角形两底角相等求出NABC,然

后求出NCBE,根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半可得BF=EF,根据等边对等角求出NBEF=NCBE,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和列式计算即可得解.

13.（2018•株洲）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,且BD=CD,过点A作AM_LBD于点M,过

点D作DN_LAB于点N,且DN=3在，在DB的延长线上取一点P,满足/ABD=/MAP+/PAB,则

AP=.

【答案】6

【考点】等腰三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：VBD-CD,AB=CD,

；.BD=BA,

又•.•AMJ_BD,DN_LAB,

DN=AM=3y/2>

XVZABD=ZMAP+ZPAB,ZABD=ZP+ZBAP,

.\ZP=ZPAM,

.•.△APM是等腰直角三角形，

/.AP=y12AM=6,

故答案为：6.

【分析】根据平行四边形的性质及BD=CD得出BD=BA,根据等腰三角形两腰上的高相等得出

DN=AM=3V2,根据三角形的外角的定理，及NABD=NMAP+NPAB得出NP=NPAM,从而判断出4APM

是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系得出AP的长。

14.（2019・番禺模拟）如图，匕ABC为等边三角形，AB=2.若P为△ABC内一动点，且满足,

则线段PB长度的最小值为.

B

【答案】基

3

【考点】等边三角形的性质

【解析】【解答】•­­△月BC是等边三角形，

二/ABC=NBAC=60',AC=AB=3,

■：々AB=NACP,

NPAC+^ACP=60",

NAPC=120",

•••点P的运动轨迹是企，

当。、P、B共线时，PB长度最小，设OB交4c于D,如图所示:

此时PA=PC,OBLAC,

则AD=CD=：,^PAC=ZACP=30°,^ABD=^ABC=30",

•••PD=AD•tan30"=立4D=立，BD=43AD=—.

322

PB=BD-PD=呼一竺=V5.

故答案为：V3.

【分析】根据等边三角形的性质及三角形的内角和可得出/APC=120。，可得点P的运动轨迹是企，当

0、P、B共线时，PB长度最小，设0B交AC于D,如图所示，此时PA=PC,OBLAC,

由等边三角形的性质，可得AD=CD=；,^PAC=^ACP=30e，

^ABD=^ABC=30",根据解直角三角形求出PD、BD的长，利用PB=BD-PD,即可求出PB的长.

15.（2017・抚顺）如图，等边△AiCiC2的周长为1,作CIDI，AIC2于Di,在C1C2的延长线上取点C3,

使D1C3=D|G,连接D1C3,以C2c3为边作等边4A2c2c3；作C2D2，A2c3于D2，在C2c3的延长

线上取点C4,使D2c4=D2c2，连接D2c4,以C3c4为边作等边4A3c3c4；...且点Al,A2,

A3,…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2,AA2c2c3,AA3c3c4，△AnGG+i

【考点】等边三角形的性质

【解析】【解答】•.•等边△AICIC?的周长为1,作CIDI!_AIC2于D|

A|D|=DIC2，

...△A2c2c3的周长=i△ACiCz的周长=7，

AA1C1C2,△A2c2c3,△A3c3c4…，△AnCnCn+1的周长分别为1,

AAICIC2,AA2c2c3，AA3c3c4…，AAnCnCn+l的周长和为1+=+力+…+-^-7=----:.

ccM-1rn-I

故答案为盘.

【分析】由已知周长是等比数列，公比是:，套用等比数列求和公式即可.

模拟预测

1.（2020.杭州模拟）如图，AABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD

上的一个动点，当PC+PE最小时，/CPE的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【考点】等边三角形的性质

【解析】【解答】解：如连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小,

•.•△ABC是等边三角形，AD1BC,

，PC=PB,

，PE+PC=PB+PE=BE,

即BE就是PE+PC的最小值,

VAABC是等边三角形，

，/BCE=60。，

VBA=BC,AE=EC,

.♦.BE_LAC,

BEC=90。，

...NEBC=30。，

VPB=PC,

.♦./PCB=NPBC=30。，

ZCPE=ZPBC+NPCB=60。，

故答案为：C.

【分析】连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小.根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分

BC,从而求出PC=PB,可得PE+PC=PB+PE=BE,即BE就是PE+PC的最小值.根据等边三角形的性质

及先打的中点可得NBCE=60。，BA=BC,AE=EC,从而可得BE,AC,/EBC=30。，利用等边对等角

可得NPCB=/PBC=30。，利用/CPE=NPBC+/PCB即可求出结论.

2.（2020•西安模拟）如图，AABC内有一点D,CD平分4CB,ADLCD,28=NBAD,若

BC=5,AC=3,则AD等于（）

A.1B.V2C.2D.小

【答案】A

【考点】等腰三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：延长AD交BC于点E

YCD平分NACB,AE1CD,

.\AC=CE.

又：NB=NBAE,

/.AE=BE.

，AD=-AE=-BE=-（BC-AC）.

222

VBC=5,AC=3,

AAD=；（5-3）=1.

故答案为：A.

【分析】延长AD交BC于点E,由已知条件判定AAEC为等腰三角形，且AC=CE；由等角对等边判定AE=BE,

则易求AD=^AE=^BE=^(BC-CE).

3.（2019•桥东模拟）在等腰4ABC中，AB-AC,D、E分别是BC,AC的中点，点P是线段AD上的一个

动点，当4PCE的周长最小时，P点的位置在AABC的（）

A.重心B.内心C.外心D.不能确定

【答案】A

【考点】等腰三角形的性质

【解析】【解答】连接BP,根据题意可知，三角形ABC为等腰三角形

：D为底边的中点

AAD1BC

，PB=PC

三角形PCE的周长=PE+PC+EC=PE+PB+EC

即点B,P,E三点共线时，距离最短，周长最小

ABE为三角形的重心。

故答案为：A.

【分析】连接BP,根据等腰三角形的三线合一即可得到AD是线段BC的垂直平分线，根据三角形的周长

公式以及两点之间线段最短，即可求得答案。

4.（2017•游仙模拟）如图，在aABC中，AB=AC,ZA=120°,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,

交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为（）

A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm

【答案】c

【考点】线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质

【解析】【解答】解:

连接AM、AN、过A作AD_LBC于D,

\•在AABC中，AB=AC,ZA=120°,BC=6cm,

/.ZB=ZC=30°,BD=CD=3cm,

，AB=渭T=2V3cm=AC,

VAB的垂直平分线EM,

二BE==AB=y/3cm

同理CF=V3cm,

'BM=^7=2cm,

同理CN=2cm,

.\MN=BC-BM-CN=2cm,

故选C.

【分析】连接AM、AN、过A作ADJ_BC于D,求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值,

代入MN=BC-BM-CN求出即可.

5.（2019•兰州模拟）如图，坐标平面内一点A（2,-1）,。为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、

0、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【考点】等腰三角形的判定

【解析】【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一

条腰.

【解答】如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；

②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个.

综上所述，符合条件的点P的个数共4个.

故选C.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质：利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其

关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.

6.（2020・三明模拟）如图，在AABC中，AB=20cm,AC=12cm,点P从点B出发以每秒3cm的速度向点

A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随

之停止运动，当4APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）

【答案】D

【考点】等腰三角形的性质

【解析】

【分析】设运动的时间为X,则AP=20-3x,当APQ是等腰三角形时，AP=AQ,则20-3x=2x,解得x即可.

【解答】设运动的时间为x,

在AABC中，AB=20cm,AC=12cm,

点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，

当AAPQ是等腰三角形时，AP=AQ,

AP=20-3x,AQ=2x

即20-3x=2x,

解得x=4.

故选D.

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔

高难度，属于中档题.

7.（2017•资中模拟）如图，已知等腰AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD_LBC于点D,点P是BA延

长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC,下面的结论：①/APO+/DCO=30。；②AOPC是等边三

角形；③AC=AO+AP；④SAABC=S四.AOCP,其中正确的个数是（）

【答案】D

【考点】线段垂宜平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：如图1，连接OB,

D

图1

VAB=AC,AD±BC,

；.BD=CD,ZBAD=-NBAC=-xl20°=60°,

AOB=OC,ZABC=90°-ZBAD=30°

VOP=OC,

AOB=OC=OP,

AZAPO=ZABO,ZDCO=ZDBO,

，ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=ZABD=30°；

故①正确；

•/ZAPC+ZDCP+ZPBC=180°,

・・・/APC+NDCP=150。，

VZAPO+ZDCO=30°,

.\ZOPC+ZOCP=120°,

.•.ZPOC=180°-(ZOPC+ZOCP)=60°,

VOP=OC,

•••△OPC是等边三角形；

故②正确；

如图2,在AC上截取AE=PA,

,/ZPAE=180°-ZBAC=60°,

**.AAPE是等边三角形，

AZPEA=ZAPE=60°,PE二PA,

AZAPO+ZOPE=60°,

*：ZOPE+ZCPE=ZCPO=60°,

AZAPO=ZCPE,

TOP二CP,

在aOPA和4CPE中，

PA=PE

{^APO=NCPE，

OP=CP

.•.△OPA^ACPE(SAS),

，AO=CE,

二AC=AE+CE=AO+AP：

故③正确；

如图3,过点C作CHLAB于H,

图3

VZPAC=ZDAC=60°,AD±BC,

；.CH=CD,

/.SAABC=；AB・CH,

S叫边用AOCP=SAACP+S/、AOC=;AP«CH+；OA«CD==AP«CH+:OA«CH==CH«(AP+OA)==CH«AC,

SAABC=S㈣巡心AOCP；

故④正确.

故选D.

【分析】①利用等边对等角，即可证得：ZAPO=ZABO,ZDCO=ZDBO,则/APO+/DCO=NABO+N

DBO=ZABD,据此即可求解；

②证明/POC=6。。且OP=OC,即可证得AOPC是等