广东省肇庆市加美学校2024届高三上学期数学模拟卷（一）

高三年级数学模拟卷（一）班级______姓名______分数______一、单选题1.已知集合，.若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可求得集合，由并集结果可求得结果.【详解】由得：或，即，，，，即实数的取值范围为.故选：B2.已知复数，，若，则实数（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的定义结合复数的乘法运算化简，再由相等复数的定义即可得出答案.【详解】因为，所以，，解得．故选：C．3.已知角的顶点是坐标原点，始边是轴的正半轴，终边是射线，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义可求得，由二倍角和两角和差正切公式可求得结果.更多优质资源可进入/【详解】角的终边是射线，，，.故选：B.4.已知向量，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对两边平方化简可得答案.【详解】，，，解得，又，，即与的夹角为.故选：D.5.已知，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得到，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，则，对于A中，由，所以，所以A不正确；对于B中，由，且，则，所以B不正确；对于C中，由，且，当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时，所以C不正确；对于D中，由，因为，可得，所以，可得，所以D正确.故选：D.6.函数的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】函数是由函数向左平移1个单位得到的，而是偶函数，所以得的图像关于直线对称，再取值可判断出结果.【详解】解：因为是由向左平移一个单位得到的，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，所以的图像关于对称，故可排除A，D选项；又当或时，，，所以，故可排除C选项.故选：B.【点睛】此题考查函数图像的识别，利用了平移、奇偶性，函数值的变化情况，属于基础题.7.已知锐角的内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合式子的特点，联系余弦定理，以及，表示出三角形ABC的面积，，结合三角函数的图像求出范围.【详解】由于，，，且，所以，那么外接圆半径为，由于，所以，，故.故选：A.8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】a和b的大小比较，利用作差法判断；b和c的大小比较，通过构造函数，利用其单调性判断；a和c的大小比较，通过构造函数，利用其单调性判断.【详解】解：因为，所以．设，则，故在上单调递增．因为，所以，即．设，则，当时，，则在上单调递减．因为，所以，即．综上．故选：B二、多选题9.设z为复数，则下列命题中正确的是（）A.z2＝|z|2 B. C.若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2 D.若|z﹣1|＝1，则0<|z|<2【答案】BC【解析】【分析】设，则，通过计算可证明选项A错误选项B正确；利用数形结合可以证明选项C正确选项D错误.【详解】解：设，则，对A：，故A错误；对B：，故B正确；对C：若，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，而表示复数对应点到的距离，故当且仅当对应点为时，取得最大值2，故C正确；对D：若，其表示复数对应的点是以为圆心，为半径的圆上的点，又表示复数对应点到原点的距离，显然，故D错误.故选：BC.10.设函数，则（）A.在上单调递增B.在内有个极值点C.的图象关于直线对称D.将的图象向右平移个单位，可得的图象【答案】BC【解析】【分析】利用代入检验法可知AC正误；利用整体对应的方式可确定当时，的极值点位置，知B正确；根据三角函数平移变换知D错误.【详解】对于A，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，A错误；对于B，当时，，则当或或或或或时，取得极值，在内有个极值点，B正确；对于C，当时，，图象关于对称，C正确；对于D，将向右平移个单位可得：，D错误.故选：BC.11.函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论正确的是（）A.B.函数的最小正周期为C.函数在区间上单调递增D函数关于点中心对称【答案】BC【解析】【分析】根据图象先分析出的取值范围，然后根据分析出的可取值，然后分类讨论的可取值是否成立，由此确定出的取值，则A可判断；根据图象平移确定出的解析式，利用最小正周期的计算公式，则B可判断；先求解出的单调递增区间，然后根据的取值确定出是否为单调递增区间，则C可判断；根据的值是否为判断D是否正确.【详解】由图可知：，所以，所以，又因为，，所以或，又因为，所以，又因为，所以，所以，当时，，解得，这与矛盾，不符合；当时，，解得，满足条件，所以，所以，A．由上可知A错误；B．因为，所以的最小正周期为，故B正确；C．令，所以，令，此时单调递增区间为，且，故C正确；D．因为，所以不是对称中心，故D错误；故选：BC.【点睛】方法点睛：已知函数，若求函数的单调递增区间，则令，；若求函数的单调递减区间，则令，；若求函数图象的对称轴，则令，；若求函数图象的对称中心或零点，则令，．12.已知为所在平面内一点，则下列正确的是（）A.若，则点在的中位线上B.若，则为的重心C.若，则为锐角三角形D.若，则与的面积比为【答案】ABD【解析】【分析】设中点为，中点为，由可得，可知A正确；设中点为，由得，对应重心的性质可知B正确；由知为锐角，但无法确定，知C错误；根据平面向量基本定理可知，将面积比转化为，知D正确.【详解】对于A，设中点为，中点为，，，，即，三点共线，又为的中位线，点在的中位线上，A正确；对于B，设中点为，由得：，又，，在中线上，且，为的重心，B正确；对于C，，与夹角为锐角，即为锐角，但此时有可能是直角或钝角，故无法说明为锐角三角形，C错误；对于D，，为线段上靠近的三等分点，即，，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量在几何中的应用问题，涉及到三角形重心的表示、平面向量基本定理的应用等知识；本题解题关键是能够根据平面向量线性运算将已知等式进行转化，确定点的具体位置及其满足的性质.三、填空题13.记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.【答案】##【解析】【分析】利用表示出已知的等量关系，解方程组求得后，利用等差数列通项公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由得：，解得：，.故答案为：.14.已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为______．【答案】；【解析】【分析】首先求时，函数的解析式，再利用导数的几何意义求切线方程.【详解】设，，因为函数是偶函数，所以，当时，，，，所以在处的切线方程为，即.故答案为：15.已知函数，，当实数的取值范围为________时，的零点最多.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，由得，设，分，，分别讨论与的交点个数，当时，求得与相切时切线的斜率，与相切时切线的斜率，由此可求得实数的取值范围.【详解】解：作出函数的图象如图：由得，设，当时，与有2个交点；当时，与有2个交点；.当时，设与相切，切点为，则，所以切线的斜率为，其切线方程为：，又因切线恒过点，所以，解得，所以切线的斜率为，当时，设与相切，切点为，则，所以切线的斜率为，其切线方程为：，又因切线恒过点，所以，解得，所以切线的斜率为，所以当时，与有1个交点；当时，与有2个交点；当时，与有3个交点；当时，与有4个交点；所以实数的取值范围为时，的零点最多，故答案为：.16.已知函数的导函数为，则__________；若，则__________．【答案】①1；②.【解析】【分析】求出，令可求；利用对数的运算性质对变形可求.【详解】解：，，令，得；，，.故答案为：1；.五、解答题17.在中，角，，所对的边分别为，，，满足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）根据正弦定理转化条件为，再由，带入整理即可得解；（Ⅱ）利用余弦定理，再结合基本不等式即可得解.【详解】（Ⅰ）由得：，∴∴所以，∴，∵，∴.（Ⅱ）∵，，∴（当且仅时取等号）又，∴.18.已知数列满足，．（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；（2）由错位相减法求和即可得出答案.【小问1详解】因为，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．小问2详解】由（1）得数列，所以，则数列的前项和：①，所以②．由①-②，得，所以19.锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C的值；（2）若，D为AB的中点，求中线CD的范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解【小问1详解】由，，，，，．【小问2详解】，，，由余弦定理有：，，所以，，由正弦定理，，，，，，因为为锐角三角形，所以且，则，,则，．20.已知数列的前项和为，满足．（1）求；（2）令，证明：，．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用，结合条件可得，再利用等差数列的求和公式计算即可.（2）结合（1）可知，利用放缩，再结合裂项相消求和即可证明.【小问1详解】因为，所以由，可得，所以，，即，即.【小问2详解】，当时，．当时，，故．综上，，．21.在中，．（1）求；（2）如图，为平面上外一点，且，，若，求四边形ABDC面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用二倍角公式得到求解；（2）在中，利用余弦定理得到，易得为等边三角形，再由表示，然后由四边形的面积求解.【小问1详解】解：由，得，化简得，所以，故．又，所以．【小问2详解】在中，．由（1）知．又，所以为等边三角形，所以的面积．又的面积，故四边形的面积，，，当时，四边形的面积最大，最大值为．22.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）对任意的，都有，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出时的解析式并求出，利用导数的几何意义求出切线斜率，再求出切点坐标，然后利用点斜式即可求出切线方程；（2）构造函数，并求，结合题意至少可得，先证明在上单调递增，再证明时，成立即可．