高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练24

必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练(24)

1.如图在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，44BB1=120。，平面

44/$J■平面ABC,M、N分别为A3、的中点，AC=BC=y/2.

(1)证明：BG〃平面&CM；

(2)求二面角M—4C一N的余弦值.

2.如图，在四棱锥P-48CD中，底面四边形ABC。为矩形，PA1平面A8C£>,PA=AB=\AD,

M,N分别是PC,AO的中点.

(1)求证：MN〃平面PAB；

(2)求二面角4-MN-C的正弦值.

3.如图，已知AFJ■平面ABC。，四边形ABE/为矩形，四边形ABC。为直角梯形，^DAB=90°,

ABHCD,AD=CD=2,AB=4.

(1)求证：4/7/平面BCE;

(2)求证：平面ACF1平面8CE.

4.如图，在五边形ABC7JQ中，AD=2AB=2BC,^BAD=^ABC=90%△QAD为等边三角形,

将AQaD沿AO翻折，使点Q落在点P位置，旦PC=4D.

(1)求证：平面24。，平面ABCD；

(2)设M是棱PC上一点，直线BM与底面ABC。所成角为45。,求二面角M—4B-。的正弦值.

5.如图，在三棱锥P-4BC中，P4_L平面ABC,481BC,点。，E分别在棱AC,PC上，且QE

垂直平分PC,PA=AB=2,PB=BC.

p

B

(1)证明：BDL平面PAC.

(2)点F为BP的中点，动点做在直线所上运动，记平面PBC与平面M4c所成的锐二面角为。,

求cos。的最大值.

6.如图，在正方体4BCD-4/165中，E为B名的中点.

(1)求证：BG〃平面AD1E；

(2)求直线与平面ADiE所成角的正弦值.

7.如图，在直四棱柱4BCD-必%的5中，AB//CD.DC=2,AA1=3,AB=BC=DA=1,点E

和尸分别在侧棱44i，CQ上，且&E=CF=1.

(1)求证：BC〃平面

(2)求直线AO与平面£>iE尸所成角的正弦值

8.如图，已知三棱柱的所有棱长均为2,^BrBA=p

4

(1)证明：8停1平面ABCi；

(2)若平面4B/A「平面ABC,M为41cl的中点，求二面角C一4当一M的余弦值.

9.如图，在四棱锥S—4BC。中，底面A8CD为矩形，△SAD为等腰直角三角形，SA=SD=2a,

AB=2,F是BC的中点，二面角S-4D-B的大小等于120。.

(1)在AO上是否存在点E,使得平面SEFJ•平面ABC。，若存在，求出点E的位置：若不存在,

请说明理由.

(2)求直线SA与平面SBC所成角的正弦值.

10.如图所示，三棱锥P-ABC中，P力平面ABC,AB1BC,平面a经过棱PC的中点E,与棱PB,

AC分别交于点F,。，且〃平面a,PA〃平面a.

(1)证明：4BL平面a；

(2)若AB=BC=PA=2,点M在直线防上，求平面MAC与平面P8C所成锐二面角的余弦值

的最大值.

11.如图，在三棱锥P—ABC中，平面P4C1平面ABC,PCLAC,BC1

AC,AC=PC=2,CB=4,M是PA的中点.

(I)求证：PA_L平面MBC：

(II)设点N是PB的中点，求二面角N-MC-B的余弦值.

12.如图，在四面体ABCO中，与AC,8。都平行的截面与AB,BC,CD,D4分别交于点E,F,

G,H.

A

(1)求证：四边形为平行四边形;

(2)若AC=BD=a,求证：四边形EFGH的周长为定值.

13.如下图，四棱锥P-4BCD的底面ABC。为菱形，AABC=60°,PAJ■平面ABC。，且E,M分

别为BC,PQ的中点，点尸为棱尸C上一动点.

(1)证明：平面4EF1平面PAD

(2)若48=PA,在线段PC上是否存在一点F,使得二面角F-4E-"的正弦值为甯?若存在,

试确定尸的位置；若不存在，说明理由.

14.如图所示，四面体A8CO的顶点都在圆柱的上、下底面圆周上，且是下底面圆的直径，BC

是圆柱的母线.

D

C

代…一…小

(I)求证：AD1CD-,

(11)若48=8。，异面直线A8与C£＞所成的角为30。，求二面角4一8。一C的余弦值.

15.已知正方体4BCD-&当前/和平面a,直线4cl〃平面a,直线BD〃平面a.

(1)证明：平面a_L平面当。。1；

(2)点尸为线段4G上的动点，求直线8尸与平面a所成角的最大值.

16.如图，在四棱锥P—4BC0中，。是AO边的中点，POIJg®ABCD,P。=1.在底面ABCO中,

BC//AD,CDLAD,BC=CD=1,AD=2.

(1)求证：4B〃平面POC;

(2)求二面角B-AP-。的余弦值.

17.如图1,正方形ABC。，边长为a,E,F分别为AO,CD中点.现将正方形沿对角线AC折起,

折起过程中D点位置记为T,如图2.

图1图2

(1)求证：EFLTB；

(2)当47MB=60。时，求半平面ABC与半平面所成二面角的余弦值.

18.如图所示,三棱柱ABC-&B1C1中,侧面8B1GC为菱形，4CB4=60。，A在侧面BB©。上的

投影恰为BiC的中点O,E为AB的中点.

(1)证明：0E〃平面ACG4；

(2)若AC与平面BBiGC所成角为45。，且BC=2,求E到平面ACG/h的距离.

19.如图，已知A8是圆锥SO的底面直径，。是底面圆心，SO=2V3.AB=4,P是母线S4的中

点，C是底面圆周上一点，ZAOC=60°.

(1)求圆锥的侧面积；

(2)求直线PC与底面所成的角的大小.

20.如图，在多面体A8CAEF中，底面A8CO是边长为2的菱形，^BAD=60°,四边形由江万是

矩形，BF=3,平面BDEFJL平面ABC。，G和，分别是CE和C尸的中点.

(1)求证：平面8£>GH〃平面AEF；

(2)求二面角H-BD-C的大小.

【答案与解析】

1.答案：(1)证明：连接4cl交41c于点P,连接MP,如图,

在三棱柱ABC-481cl中，

因为四边形ACC1是平行四边形，所以点P是4Q的中点，

因为点M是AB的中点，所以在AABCi中，MP〃BC[,

因为MPu平面&CM,BGC平面41cM,

所以BG〃平面

(2)侧面4BB14是菱形,且44881=120。，M是AB的中点，_L4B,

因为侧面44止避1底面ABC,侧面44/iBn底面ABC=AB,

ArMu侧面44/18,所以_L平面ABC,

因为4C=BC,M是A8的中点，所以MBJ.MC,

所以以点M为原点，以方向为x轴正方向，以MC方向为y轴正方向，

以方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系M-xyz,如图,

则点M(0,0,0),C(0,l,0),4(-1,0,0),W(|,0,y),

而=(1,1,0)，丽=(|,0净，

因为平面MAC是底面xOy,所以平面M4C的一个法向量设为元=(0,0,1),

设平面MAC的法向量为记=(x,y,z),

贝您远=o,即，+：京°,

-AN=0(2X+TZ=

令％=-1,解得y=l,z=—,

3

则平面NAC的法向量为记=(-1,1,^2),

__5V3,-

>—>、n-m5v31

cosm,m)=——=——।§=----

阿阳1、万诏31

所以二面角M—AC-N的余弦值为旭.

31

解析：本题考查空间直线与平面平行的判定以及二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力.

(1)连接AG交&C于点P,连接MP,证明MP〃BG，由线面平行的判定定理即可证得BCi〃平面

&CM；

(2)证明MBJ.MC,以点M为原点，以MB方向为x轴正方向，以MC方向为y轴正方向，以方

向为z轴正方向，建立空间直角坐标系M-xyz,易得平面MAC的一个法向量为元=(0,0,1),求出

平面NAC的法向量记=(一1,1,卓)，由向量的夹角公式求得cos即可得到二面角M-4C-N

的余弦值.

2.答案：(1)证明：取PB的中点为E,分别连接EM,AE,

又因为M为尸C的中点，

所以EM〃BC,且EM=^BC,

因为四边形ABC。为矩形，N为A。中点，所以4V〃BC,AN=\BC,

所以EM〃4V,EM=AN

所以四边形AEMN是平行四边形，

所以MN〃AE,

又因为4Eu平面PAB,MNff-平面PAB,

所以MN〃平面PAB.

(2)解：因为PAJ■平面ABCQ,AB,ADcWABCD,

所以24_L48,PAVAD,

又A8CO为矩形，

所以ABJ.AD,

所以H4,AB,AQ两两垂直，

建立坐标系如下图，

z

设P4=48=l,AD=2,则4(0,0,0),N(0,l,0),C(l,2,0),“C，l，m，

所以两=go,，而=&1，)配=(I/，。)，

设平面AMN法向量记=(a,瓦c),

NM-m=-a4--c=0

于是一一；21,

[AM-m=-a+b+-c=0

取Q=l,则沆=(1,0,-1),

设平面CMN法向量记=(%,y,z),

l,NM-n=-x+-z=0

于是]_,22,

NC-n=%4-y=0

令％=1,得元

所以cos〈沆，元〉=jSi=¥'

所以二面角A-MN-C的正弦值为更.

3

解析：本题考查线面平行的判定及利用空间向量求解求二面角，是中档题

(1)根据线面平行判定定理，只需MN〃平面PAB的一条线即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用法向量夹角求解即可.

3.答案：证明：(1)因为四边形ABE尸为矩形，所以”〃BE,

又BE呈平面BCE,平面BCE,所以4F〃平面8CE.

(2)过C作垂足为因为4。，DC,所以四边形AOCM为矩形.

因为AC=CD=2,AB=4,所以AM=MB=2,AC=2y[2,CM=2,BC=2A/2,

所以+BC2=AB2,所以ACIBC.

因为力F_L平面ABC。，AF//BE,

所以BEL平面ABC。，所以BE1AC.

又BE呈平面BCE,BC臬平面BCE,BECBC=B,

所以ACJ■平面BCE,

又4c是平面ACF,所以平面4CF1平面BCE.

解析：本题考查了空间线面平行、线面垂直的判定和性质，面面平行的判定，属于基础题.

(1)由4F〃8E,BEu平面BCE,4FU平面BCE,得AF〃平面

BCE.

(2)过C作CM1AB,垂足为M,由4c2+BC2=AB2t得4cj.BC；再证BE1AC,即可得到4c_1_平

面BCE.然后可以得到平面4CFL平面BCE..

4.答案：解析：(1)取A。中点E,连接PE,CE,

因为△P2D为等边三角形，则PE14D,CE1.AD,

又由4。=24B=2BC,^BAD=2.ABC=90s,可知CE=4B=BC,

设4B=CE=1,则4。=2,PE=,又PC=4。=2,

在APEC中，PE2+CE2=PC2,贝iJPE_LEC,

CE,ADu平面ABCD,ECQAD=E,贝IJPEJL平面ABCD,

又PEu平面PAD,故平面PAO，平面ABCD-,

(2)设4D=2,以E为坐标原点，前，前，邨分别为x,

y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

V3

则4(0,-1,0),8(1,TO)，C(1,O,0),

P(0,0,V3)，PC=(1,0,一VS),AB=(1,0,0),

BP=（-1,1.V3）.又点M在棱PC上，设雨=4定,

0</1<1,则的=丽+由=(一1,1,V3)+A(l,0,-V3)=(A-1,1,V3-V3A),

因为与底面ABC。所成的角为453

而元=（0,0,1）是底面ABCD的一个法向量,

_|6一例|_V2

所以|cos（而，元>|=sin453即._1产二潟一属）2=万，

解得2=1-当，则丽=（-芋,1,m,

设记=（x（）,yo，Zo）是平面ABM的法向量，则

x/2.V6_

m-BM=0,日「1—yxo+y。+yzo=n°，

zn-AB=0,

X。=°，

取z0=l,则、0=-争得平面ABM的一个法向量记=（0,-今1）,

_Vio

于是cos（记，元>=需高1

J(-郸+12一~，

设二面角M-AB-D的大小为。，贝iJsinO=dVis

1-(I--5--)，N=--5--»

故二面角M-AB-。的正弦值为叵.

5

解析：本题考查了空间中线线，线面及面面的垂直关系，利用空间向量解决空间线面角及二面角的

方法，属中档题.

(1)通过证明PE1AD,PE1EC,证出PEJJP向ABCO,根据面面垂直的判定可得平面P4D上平面

ABCD.

(2)首先空间直角坐标系，根据与底面ABCC所成的角为45。，求得丽，然后求出平面ABM和

面A3。的法向量，利用数量积即可求得二面角M-4B-D的余弦值，进而求得正弦值.

5.答案：解：(1)证明：如图，连接BE.

因为OE垂直平分PC.所以DE1PC.且E为尸C的中点，

又因为PB=BC,所以BE1PC,

又DECBE=E,DE,BEu平面BOE,

所以PC_1_平面BDE,

又BDu平面BDE,所以PC1BD.

又PA_L平面ABC,BDu平面ABC,

所以241BD,

又P4nPC=P,PA,PCc5p®PAC,

所以BDJ_平面PAC.

(2)如图：以8为坐标原点，分别以8C,BA所在直线为x,y轴，过点8且与AP平行的直线为z轴

建立空间直角坐标系，

由PA=PB=2,PB=BC,易求得BC=2/，

则8(0,0,0)71(0,2,0)C(2V2,0,0)P(0,2,2),

AC=(2V2,-2,0)BC=(2V2,0,0)丽=(0,2,2),

设1),则宿=(t,一1,1)

设平面AMC的一个法向量为访=(%i，yi，Zi),

则(沅-AC=2V2xx-2yl=0,

(fn-AM=tXj—%+Z]=0,

=1,则yi=V2,Zi=>/2—t，

设平面P8c的一个法向量为元=(%2，乃*2)，

则0•=2\[2X2=0,

则x?—0.^y2=l.z2=-1.

(n•BP=2y2+2z2=°,

则同=(0,1,-1)

则cos。=Icos<m,n>\=I乃-出t)l=IH

|rn||n|V2xJl+2+(V2-t)2yf2Xy/t2-2y/2t+5,

当t=0时，cos0=0:

当丑。时，

当且仅当点=?,即t=±争寸，5*—()2+1取得最小值I，

1V30

cos。取得最大值.最大值为两i=V.

故cos。的最大值为叵.

6

解析：本题主要考查线面垂直的判定，利用空间向量求二面角问题，属于中档题.

(1)根据线面垂直的判定定理直接判定即可..

(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面MAC和平面P8C的法向量根据公式求解即可，然后根据二

次函数性质求得最值，

6.答案：(1)证明：由正方体的性质可知，AB//GD],且4B=G5,

四边形4BQD1是平行四边形，・•.BCJ/AD\,

又BC[<4平面也E,ADru平面也E,；.BC"平面也E.

(2)解：以A为原点，AD,AB,441分别为x、y和z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为a,

则A(0,0,0),4(0,0,a),£)i(a,0,a),E(0,a,|a),

・•・AAt=(0,0,a),AD1=(a,0,a)，AE=(0,aja),

设平面/DiE的法向量为沆=(x,y,z),

则网砧=0a(x+z)=0

Im-4E=0,即a(y+：z)=O'

令z=2,则％=-2,y=-1,/.m=(-2,—1,2),

设直线44I与平面出所成角为氏

则。=m,

sin1|cos<441i>1|=1|i1|=—=

\m\-\AAr\a-33

故直线4&与平面所成角的正弦值为|.

解析：本题考查空间中线面的位置关系和线面夹角问题，熟练掌握线面平行的判定定理和利用空间

向量求线面夹角是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力.

(1)根据正方体的性质可证得BCJ/4D1，再利用线面平行的判定定理即可得证；

(2)以A为原点，AD,AB,441分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，设直线441与平面4。亚所

成角为。，先求出平面的法向量记，再利用sin。=|cos<m,丽>>|=|,二鬻|以及空间向量

1小卜|4必1

数量积的坐标运算即可得解.

7.答案：解：(1)证明：如图所示，分别取CD,FDi的中点M,N,

连接MN,AM,EN.

--M,N分别是C£>,F£>i的中点，

MN是梯形CFDiD的中位线，

MN/ICFI/D^D,且MN=*CF+OiD)=2.

ArE=1,A\A"D\D,

EA=2=MN,B.EA//MN,

四边形AENM是平行四边形,

EN//AM.

易证四边形AMCB是平行四边形，

•••BC//AM//EN,

又ENu平面。出尸，BC0平面。花尸,

•••BC〃平面DiEF.

(2)连接4尸,得到三棱锥尸一ADE,连接AC,

易知4C_L4D,且4c=百，EF=2,DE=V2>D、F=2a,

又4遇1AC,AAXC\AD=A,AAr,ADu平面4DE,

则AC1平面4DE,

那么三棱锥F-&DE的体积V=ixixlxlxV3=—.

326

（司+眨时一223

cos乙DEF=-9

2x72x2724

则siPDEF=?,

设&到平面DiE尸的距离为h,

由匕i-5EF=可彳区X|XV2X2V2X'X/l=

解得h=手，

设直线AD与平面O[EF所成角为仇

解析：本题重点考查线面平行的判定和线面角的求法，属于一般题.

⑴通过求证BC〃EN,由线面平行的判定定理即可求证：

(2)由%LD】EF=述求4到平面QEF的距离h,由sin9=焉;即可求解.

8.答案：证明：(1)如图取AB中点。，连接当。，CD.

•••四边形BCG以为菱形，•••BiCIBCi，

又•••三棱柱的所有棱长均为2,:,

••.△ABC和AABBi是等边三角形，•••Bi。14B,CD1AB,

u平面

"B1D,CD/CD,B、DCCD=D,

■■ABJL平面&CD,

又•••u平面

BrC4CD,

而

BrC1AB,BGnAB=B,

BQABu平面ABG

B[C_L平面ABC1.

⑵•••平面ABBA_L平面ABC,平面ABB遇1n平面ABC=AB,

由（1）知Bi。_L4B,当。u平面4BB1&,

•••B]DL平面ABC.

则。B,DBi，0c两两垂直，则以。为原点，DB为x轴，0c为y轴，为z轴，建立空间直角坐

标系.

则D(0,0,0),4(一1,0,0),8式0,0,遍)，C(0,V3,0),^(-1,73,73)，①(一2,0,6),

♦.•”为41（；1的中点，.・.时（一|片,75）,

■■■AC=(1,A/3,0),ABl=(1,0,V3)，而7=(一泻，何,

设平面ABi”的法向量为诟=（x,y,z）,

AB1-n^=x+V3z-0

则奇石=寸+枭+恁=。'取z=l'得司=—.

同理设平面力B]C的法向量为五=（%2，丫2*2），

AB-n^=x+>/3z=0

则r取z=l,得荻=（一如,1,1）.

AC-n^=x+V3y—0

所以3〈席的=磊(―3,1)(—V3,l,l)_V65

V13XV5-65

所以所求二面角C-ABr-"的余弦值为度.

65

解析：本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求面面的夹角，考查空间想象能力与

思维能力，是中档题.

（1）取48中点。，连接BiD,C£>,可得当。14B,CD1AB,得到ZB1平面&CD.进一步得到281B1C,

再由已知可得B1C1BG，利用直线与平面垂直的判定可得BiC1平面28G；

（2）以。为原点，为x轴，QC为），轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得

二面角C-ABX-M的余弦值.

9.答案：解：（1）在线段AO上存在点E满足题意，且£为4。的中点.

如图，连接EESE,SF,

s，

•••四边形ABCD是矩形，AB1AD.

又E,尸分别是AdBC的中点，

EFHAB,AD1EF.

为等腰直角三角形，SA=SD,E为的中点，

•••SELAD.

■：SEC\EF=E,SEu平面SEF,EFu平面SEF,

•••AD，平面SEF.

又4。u平面ABCD,

平面SEFL平面ABCD.

故A力上存在中点E,使得平面SEF_L平面ABCD.

(2)解法一由(1)可知4SEF就是二面角S-AD-B的平面角,

ASEF=120°.以E为坐标原点，EA,前的方向分别为尤，y轴正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,

由△S4C为等腰直角三角形，SA=SD=2V2,

得=J(2V2)2+(2V2)2=V16=4-SE==2.

可得S(O,-1,百)，4(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),

.-.S^=(2,1,-V3).SB=(2,3,-V3)，SC=(-2,3,-V3).

设五=(x,y,z)是平面瓯的法向量，贝晒吧=6即+可取元=(0,1,何

(九•SC=0,(-2%+3y—V3z=0,

设直线SA与平面S3C所成的角为。，则sinJ=|cos(^4n)|=|

l1篇32A|l=i|N:V/X/\=£4

直线SA与平面S3C所成角的正弦值为涯.

4

解法二过点E作EG1SF于点G,由(1)知，平面SE凡贝IJBC_1_平面SEF,BCLEG,

又SFCBC=F,：.EG，平面SBC,易知AE〃平面SBC,

则点A到平面SBC的距离等于EG.

由(1)可知NSEF就是二面角S-AD-B的平面角，

Z.SEF=120°.由ASA。为等腰直角三角形，SA=SD=2垃,

得AC=J(2夜产+(2或》=同=4,SE=2衿=2.

又EF=4B=2,AEG=1.

设直线SA与平面SBC所成的角为

则加"符=壶=¥

即直线SA与平面SBC所成角的正弦值为四.

4

解析：【试题解析】

本题考查的知识是点、直线、平面之间的位置关系，能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、

平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.考查逻辑思维能力、

空间想象能力与运算求解能力.

(1)取的中点E,连接EF,SE,$尸£2£空工四边形48C。为矩形可得4DJ.4D,进而得出

AD1EF,再由AS力。为等腰三角形得出SE1AD,利用线面垂直的判定定理得出4。1平面SEF,

进而由面面垂直的判定定理得出平面SEF_L平面ABCD-

(2)法一：由(1)知NSEF就是二面角S—4D-B的平面角-NSEF12(1-建立空间直角坐标系

Ejyz一相关点及向量的坐标一平面SBC的一个法向量同期7的公」,直线SA与平面S8C所成

角的正弦值.

法二：作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可.

10.答案：解：(1)因为BC〃平面a,BCu平面PBC,平面afl平面PBC=EF,

所以BC〃EF,因为E为PC中点，

所以尸为棱尸8的中点，因为BC14B,所以EF1AB.

因为PA〃平面a,P4u平面PAC,平面an平面P4C=DE,所以P4〃DE.

因为PA1平面ABC,AB在平面ABC内，

所以2414B,所以OE_L4B.

又。EPIEF=E,OEu平面。EF,EFu平面QE凡所以4BL平面。EF,即ABL平面a.

(2)如图，以点B为坐标原点，分别以8A,BC为x,)，轴，过点8且与AP平行的直线为z轴建立空

间直角坐标系，

p

则8(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),P(2,0,2),£*(1,1,1),F(1,0,1),

AC=(-2,2,0)，~BC=(0,2,0),~BP=(2,0,2).

设M(l»,1)，平面MAC的法向量为沆=(%i，yi，Zi),则RW=(-

fm-AC=-2%i+2yl=0,人...

则nil{———>令与=1，则niIyi=1，为=1-3

(m•AM=-%i+ty1+z1=0,

所以沆=(1,1,1一。为平面MAC的一个法向量.

设平面P3C的法向量为记=(%2，先以2)，

则］/・££-2乃-0,得y=o,令%=1,则Z2=-1,

(记•8P=2右+2Z2=0,

所以元=(1,0,—1)为平面PBC的一个法向量.

设平面MAC与平面尸BC所成的锐二面角为仇

则cos6=Icos(mn}I=阿川=—|1~~(iT)L

|COS〈m,几)|一向冈司―Ji2+i2+(­t)2x或Vt2-2t+3xV2

当七=0时，cos0=0；

当且仅当;='即t=3时，30—^2+2取得最小值g

t33/33

1V3

COS。取得最大值，最大值为2•

所以平面M4C与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大值为巴.

2

解析：本题考查线面垂直的判定，空间向量解决二面角问题，以及函数求最值，考查空间想象能力、

逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.

01由BC〃平面a可得BC7/EF求出E尸AB,P4〃平面。可得P4〃DE,所以DEJ.4B,结合线

面垂直的判定定理即可求解；

(2)以点8为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面MAC与平面PBC的法向量，根据向

量夹角公式求出两平面所成锐二面角的余弦值的表达式结合二次函数的性质即可求解.

11.答案：(I)证明：平面P4CJ■平面ABC,BC1AC,：.BC_L平面PAC,

vPAu平面PAC,：.BC1PA,

AC=PC,M是PA的中点，.'CM124,

vCMCBC=C,BCu平面MBC.CMu平面MBC.

•••PAL平面MBC.

(n)解：VPC1AC,平面PAC1平面ABC,PC1平面ABC,

•••BCu平面ABC,PC1BC,

建立如图所示的空间直角坐标系，4(2,0,0),B(0,4,0),C(0,0,0),

P(0,0,2),M(l,0，1),N(0,2,1),

则丽=(1,0,1),CN=(0,2,1).PA=(2,0,-2)，

由(I)知两=(2,0,-2)是平面MBC的一个法向量,

设五=(x,y,z)是平面MNC的法向量,

CM-n=X4-Z=0A..i个

则有—►_,令y=l,贝mi」z=-2Q,%=2,

CN-n=2y+z=0)

.-.n=(2,l,-2),

设二面角N-MC-B所成角为仇

~PAn,_12x2+0xl-2x(-2)2\f2

则cos。=|cos(PX,n>|=|

I的同V8-V93

A

H

解析：(I)证明BCJ■平面PAC,推出BC1.PA,结合CM_LP4证明P41平面M8C.

(II)建立空间直角坐标系，求出平面MBC的一个法向量，平面MNC的法向量，利用空间向量的数

量积求解二面角的平面角的余弦值即可.

本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思

想以及计算能力，学生的数学素养，是中档题.

12.答案：证明：(1)•；AC〃平面EFGH,平面4CDn平面EFGH=GH,且4c是平面ACQ,

：.AC//GH.

同理可证4C〃EF,BD//EH,BD//FG.

EF//GH,EH//FG,

四边形EFG”为平行四边形.

(2)设EH=x,GH=y,需=三.

“a.GHDHDH

••就=荷=^7

即】

am+n

n

・•・GH=y=CL.

m+n

同理可得EH=x=-^—a.

m+n

EH+GH=—a+—a=a,

m+nm+n

平行四边形EFGH的周长2=EH+HG+GF+FE=2(EH+GH)=2a,为定值.

解析：本题考查四边形为平行四边形的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题,

注意空间思维能力的培养.

(1)利用线面平行的性质定理，将己知的线面平行转化为线线平行，即可得证；

(2)根据平行线分线段成比例定理，设需=：，即可分别求出平行四边形两邻边的长度，然后验证四

边形的周长为定值.

13.答案：(1)证明：连接".因为底面48C。为菱形，〃BC=60。，所以△4BC为等边三角形.因

为E为3c的中点，所以4E18C.5LAD//BC,所以力El40.因为P4_L平面ABC。，u平面

ABCD,所以P41AE.因为P4n4D=A,PA,4。u平面尸A。，所以AE1平面PAD,因为4Eu

平面AEF,所以平面4EFJ■平面PAD

(2)解：由(1)知，AE,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点，以AE,AD,AP所在直线分别为x,g

z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设4B=2,则4(0,0,0),B(V3,-l,0).C(遍,1,0),0(0,2,0),P(0,0,2),M(0,l,1),E(73,0,0)，

AE=(V3,0,0),AM=(0,1,1),9=(0,0,2),PC=(V3.1.-2),设前=4定=(遮;1,尢-24),A6

(0,1),则而:=9+而=(GX/l,2—24).设平面AEM的一个法向量为沅=Qi，%,zi),则

(m-AE=V3X1=0,=

1m-AM=%+Z]=0,、1

则yi=1,沆=(0,1,—1).设平面AE尸的一个法向量为4=(%2，力*2)，则

(n-AE^=V3X2=0,令、2=22—2,z2=A,则元=(0,24—2").因为二面角

(n-AF=>/32X2+Ay2+(2-2A)z2=0,

F-AE-M的正弦值为邈，所以二面角F-AE-M的余弦值为亚，

1010

即|cos你，孙=嘉|2A—2-A|京翳布=誓.所以1。"-134+4=。，解得”

V2XV(2A-2)2+A2

或％=?

故F为线段PC的中点或F为线段PC靠近点C的五等分点.

解析：本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求面面的夹角

(1)连接AC,由线面垂直的判定和面面垂直的判定定理进行证明即可；

(2)由(1)知，AE,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点，以4E,AD,AP所在直线分别为x,y,z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法进行求解.

14.答案：(/)证明：如图，过点。作圆柱的母线。E,连接AE,BE.

因为母线。E与底面垂直，所以DE1BE,

因为A8是底面圆的直径，所以AE1BE,

又AEnDE=E,所以BE_L平面

由DE〃BC且DE=BC,可知CC〃BE,所以CDJ■平面AED,

又4。u平面AED,

所以4D1CD.

(〃)解：如图所示，以B为坐标原点，以立X.灵的方向为x轴，

z轴正方向建立空间直角坐标系.

设AB=BC=2.

因为异面直线AB和CO所成的角为30%所以乙4BE=30。.

所以B(0,0,0),4(2,0,0),C(0,0,2),F(-,-y,0)，

D(|,-今2),所以丽=(2,0,0)，BD=(|,-y,2),

BC=(0,0,2),设平面ABO的法向量为记=01，%,2力，

BA•沅=2x1-0,_

则5H一3V3,„八令Zi=8，可得记=(0,4,V3).

(BD-m=-xt--yx+2z1=0,

设平面CBD的法向量为亢=(x2,y2,z2),

=2Z2=0,

则《

Kt34A令X2=1，可得完=(1,8,0}

13ID-n=512—r疆+2%2=(),

所以cos<m,n>=离=普=红亘，

'|7n||n|V19X219

结合图形可知二面角4-BD-C的余弦值为—返.

19

解析：本题主要考查的是线线垂直的证明及二面角的求法，属于中档题.

(I)借助线面垂直证明线线垂直即可；

(n)以B为坐标原点，以而，配的方向为x轴，z轴正方向建立空间直角坐标系.利用平面的法向量夹

角余弦值求解即可.

15.答案:解：(1)证明：连接4G，则B1D11&C1，因为A41平面Q81GD1，

BRu平面4B1C15,所以A41Bi%；

又因为441nAic1=4,所以&劣L平面A&Ci；

因为AGu平面441G，所以BiDiLZG；

同理BiC_L4Ci；因为B/inB]C=Bi，所以4QJ■平面/。/；

因为4G〃平面a,过直线4cl作平面0与平面a相交于直线I,则ACJ/A

所以1平面BiCDi；又1u平面a,

所以平面a_L平面&CD1；

(2)设正方体的棱长为1,以A为坐标原点，AB,AD,441分别为x,

y,z轴正方向建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),8(1,0,0),0(0,1,0),6(1,1,1),

所以宿=(1,1,1),丽=(-1,1,0).

设平面a的法向量为元-(x,y,z),

则卜垣=0,即z_=0,取丫=1,则记=QI,.2),

In-BD=0(r+y-U

设屈=1宿(0Wt〈1),则弄=(tj,t)，因为丽=(-1,0，0),

所以丽=萌+布=(t-1/，t)；

设直线BP与平面a所成的角为仇

贝/mJ一而画一面京"~闻;(T+I'

所以当t=决寸，sin。取到最大值为土

此时。的最大值为2

6

解析：本题考查线面垂直及空间向量法求线面角，属中档题目.

(1)结合已知证明B1A1平面441Q进而证明4右1平面8道。［,过直线4cl作平面口与平面a相交于直

线/,则所以11平面8传。1即可证明平面al平面

(2)建立空间直角坐标系，表示SI"=丽=旦3tj2t+l=.“72,进一步求最值即可.

16.答案：解：(I)在四边形ABCZ)中，

因为8C〃AD,BC=^AD,。是的中点，

则BC〃4。，BC=AO,

所以四边形A8c。是平行四边形，

所以制/OC,

又因为AB仁平面POC,OCu平面POC,

所以48〃平面POC；

(II)连结08,

因为PO1平面ABCD,OB,ODu平面ABCD,

所以P。1OB,P010D,

又因为点。是4。的中点，且

所以BC=0D,

因为8C〃4D,CDLAD,BC=CD,

所以四边形088是正方形，

所以BO1AD,

如图，以。B,OD,0P分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。一xyz,

则A(0,-1,0)，B(l,0,0),C(l,l,0),0(0,1,0),P(0,0,1),

所以荏=(1,1，0),AP=(0,1.1).

设枳-(%,y,z)是平面BAP的一个法向量，

则也亚=0,喊

(沆•力P=0(y+Z=°

令y=l,则布=(一1,1,-1).

因为。BlP。，BOLAD,POQAD=0,AD,POu平面PA。,

所以081平面PAD,

所以布=(1,0,0)是平面PAD的一个法向量，

所以|cos保，网|=|藕|=mI=今

由图可知，二面角B—4P—Z)为锐角，

所以二面角B-AP-D的余弦值为立.

3

解析：本题考查线面平行的判定、利用空间向量求面面的夹角、二面角，线面垂直的判定，属于中

档题.

(I)证出4B〃0C,即可证出结果:

(H)建立空间直角坐标系，求出平面孙。的一个法向量话和平面84户的一个法向量记，代入公式

|cos(记，而)|=|高篇即可求出结果.

17.答案：(1)证明:

B

取AC中点O,连OT,OB,BT,

因为ABC。为正方形，所以4CJ.07,AC1OB,

又OTCtOB=0,OBu平面OBT,OTu平面OBT,

所以4CJ■平面OBT,而TBu平面OBT,

所以AC1TB.

又E,尸分别为AD,C。中点，

所以EF〃4C,

所以EF1TB.

(2)因为/TAB=60°,

所以/TAB为等边三角形，

TB=a,又OT=OB=J,

2

■•■TB2=OB2+OT2,即。71OB.

如图建立空间直角坐标系O-xyz,则

0）,E（O,一等争产（0,学，亨）

前=（0年a,0）,前=（枭,祟-亨）

平面A8C法向量沅=（0,0,1）

设平面BET7法向量记=(x,y,1),

y=0x=i

n-EF=0"

由y/2.\[2ayV2a

—axd---------=0n

n~EB=O244.y=o

1__mn_1_2-/5

几=(pO,1),COS<TYlf九|m|-|n|5’

记半平面ABC与半平面8。所成二面角为。，则。为锐角'所以3。=当

即半平面A8C与半平面BEF所成二面角的余弦值为2.

5

解析：本题主要考查空间中直线与直线垂直的判定，涉及到线面垂直的性质，以及利用空间向量求

解二面角余