高思奥数导引小学五年级含详解答案第10讲：几何计数

第10讲：几何计数

内容概述

合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的

分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。

典型问题

兴趣篇

1.如图10-1,线段A8、BC、CD、DE'的长度都是3厘米。请问：图中一共有多少条线段?

这些线段的长度之和是多少厘米？

3厘米3厘米3厘米3厘米

BCDE

图10-1图10-2

2.小明把巧克力棒摆成了如图10-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请

问：

(1)一共有多少个巧克力棒？

(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？

(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后(图中两端带有小箭头的小边)，剩下的图形中还有多

少个三角形？

3.如图10-3,它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，基中某些相邻的小正三角

形可以拼成较大的正三角形。图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？

4.如图10-4和10-5,数一数，两个图形中分别有多少个三角形？

5.如图10-6,在一个4*4的方格表中，共有多少个正方形?

图10-6图10-7

6.如图10-7,数一数图中共有多少线线段？多少个矩形?

7.如图10-8,AB.CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？

8.如图10-9,125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的

黑色小立方体有多少个？

9如图10-10,木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵。用橡皮筋一共可以套出多少

个不同的三角形？

10.如图10-11,在2x3的长方形中，每个小正方形的面积都1。请问：AB、C、D、E、尸、G

为顶点且面积为1的三角形共有多少个？

拓展篇

1.如图10-12,数一数，图中有多少个三角形?

2.如图10-13,数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形。

3.如图10-14,数一数，图中有多少个三角形?

图10-15

4.如图10-15,数一数，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）

DA

5.如图10-16,四条边长度都相等的四边形称为菱形。用16个同样大小的菱形组成如图的一

个大菱形。数一数，图中共有多少个菱形？

6.如图10-17,这是一个长为9,宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形。请问:

(1)从中可以数出多个长方形？

(2)从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？

7.如图10-18,数一数，图中共有多少个长方形?

图10-19

8.如图10-19,数一数，图中共有多少个平行四边形？

C

DB

9.如图10-20,18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形。数一数，图中共有多少

个梯形？

10.如图10-21,方格纸上放了20枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？

11.一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形,

例如圆、半圆、扇形等都是曲边形。在图10-22中，共有多少个不同的曲边形？

12.如图10-23,一个2x3的网格中，每个小正方形的面积都是1。以这些格点为顶点，可以

连成多少个面积为1的三角形？

超越篇

1.图10-24是一个等边三角形的点阵。以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形(包括

等边三角形)？

2.如图10-25,数一数，图中共有多少个三角形？

图10-24

3.如图10-26,这是一个4x8的矩形网格，每一个小格都是一个小正方形。请问:

(1)包含有两个“★”的矩形共有多少个？

(2)至少包含一个“★”的矩形有多少个？

4.如图10-27,在图中的3x3正方形格子中，格线的交点称为格点。例如：A,B,C这3个点

都是格点。那么，以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？

5.如图10-28,用12个点将圆周12等分。以这些点为顶点的梯形共有多少个?

6.一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形,

例如圆、半圆、扇形等都是曲边形。在图10-29中，共有多少个不同的曲边形？

图10-29图10-30

7.如图10-30,木板上钉着16枚钉子，排成四行四列的方阵。用橡皮筋一共可以套出多少个

不同的等腰三角形？

8.如图10-31,在3x3的方格表内，每个小正方形的面积为1。请问:

(1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为4的三角形？

(2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为3的三角形？

⑶以格点为顶点共可以连出多少个面积为1.5的三角形？

图10-31

第10讲：几何计数

内容概述

合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的

分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。

典型问题

兴趣篇

1.如图10-1,线段⑷?、BC、CD、£>£:的长度都是3厘米。请问：图中一共有多少条线段？

这些线段的长度之和是多少厘米？

3厘米3厘米3厘米3厘米

RCDE

图10-1图10-2

【详解】图中一共有C；=10条线段。长度之和为（4xl+3x2+2x3+lx4）x3=60厘米。

2.小明把巧克力棒摆成了如图10-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请

问：

（1）一共有多少个巧克力棒？

（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？

（3）嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有小箭头的小边），剩下的图形中还有多

少个三角形？

【详解】（1）一共有30个巧克力棒；（2）由1个三角形组成的有16个三角形，由4个三南

形组成的有7个三角形，由9三角形组成的有3个三角形，由16个三角形组成的三

角形有1个。所以总共有16+7+3+1=27个。（3）一共有5个三角形的边用到了这

根巧克力棒，所以剩下的图形中还有27-5=22个三角形。

3.如图10-3,它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，基中某些相邻的小正三角

形可以拼成较大的正三角形。图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？

【详解】只观察包含“*”的各种大小的正三角形。由1个三角形组成的有1个，由4个三角

形组成的有4个，由9个三角形组成的有1个。那么总共有1+4+1=6个。

4.如图104和10-5,数一数，两个图形中分别有多少个三角形？

【详解】图10-4中不包含中间的线的有5个三角形，加上中间那条线多了7个三角形，所

以一共5+7=12个。图10-5中先观察形如下图1的形状的三角形有5个，总共是

5x4=20个，再数该形状之间的交叉的三角形有4个，再数下图2的三角形有4个，

再教它们互相交叉的三角形有4个，所以总共有20+4+4+4=32个。

5.如图10-6,在一个4x4的方格表中，共有多少个正方形?

图10-6图10-7

【详解】先数面积为1的有16个，再数面积为4的有9个，再数面积为9的有4个，再数

面积为16的有1个，总共有16+9+4+1=30个。

6.如图10-7,数一数图中共有多少线线段？多少个矩形？

【详解】线段：水平方向有4xC；=40条线段，竖直方向有5xC：=30条线段，总共有

40+30=70条线段。矩形：水平方向选两条线，竖直方向选两条线即可以组成矩形

共有C；C：=60个矩形。

7.如图10-8,AB.CD、EF、MV互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？

【详解】梯形的个数为=60个，三角形的个数为4xC；=40个，它们的差为20个。

8.如图10-9,125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的

黑色小立方体有多少个？

【详解】每条棱上都有两个小立方体共12条棱,一共有2x12=24个，每一个面上除了棱

有4个小立方体，一共有4x6=24个。总共有24+24=48个。

图10-9图10-10

9如图10-10,木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵。用橡皮筋一共可以套出多少

个不同的三角形？

【详解】从12个钉子中选择3个钉子组成三角形，一共有=220个，但是有3个点在同

一条直线上的情况，需要排除，水平方向共有3xC：=12个，竖直方向有1x4=4个,

斜着有4个，这样的话总共有220-12-4-4=200个。

10.如图10-11,在2x3的长方形中，每个小正方形的面积都1。请问：A、B、C、£＞、E、F、G

为顶点且面积为1的三角形共有多少个？

【详解】有底为1,高为2的三角形有：

ADEA,拉)EB,AEFRNEFB,AFG4,"GB;MBZ),AABF,AA5G

底为2,高为I的三角形有：ADFC,AEGC。此外还有ABCfAACG。一共14个。

拓展篇

1.如图10-12,数一数，图中有多少个三角形?

【详解】先数由1个三角形组成的三角形一共25个，再数由4个三角形组成的大三角形一

共13个，再数由9个三角形组成的大三角形一共6个，再数由16个三角形组成的大

三角形一共3个，再数由25个三角形组成的大三角形一共1个。所以一共有

25+13+6+3+1=4>个三角形。

2.如图10-13,数--数下面的三个图形中分别有多少个三角形。

【详解】（1）图中有两个五边形，对于外围的五边形，三角形三个顶点全在外围五边形上的

三角形一共有=10个。再看内部的五边形，组成的三角形中其中一个顶点在内部

五边形顶点上，另两个顶点在外围五边形上的三角形一共有4*5=20个。还有5个

三角形属于有两个顶点在内部五边形上，另一个顶点在外围五边形上。这样一共有

10+20+5=35个。（2）包含少的那一条线段的三角形的个数一共有6个，这样的话

三角形的总数为35-6=29个。（3）包含新加线段的三角形左边右边各6个，所以

一共有三角形35+2x6=47个。

3.如图10-14,数一数，图中有多少个三角形？

【详解】如上题，本题应该有35x2=70个，但是内部五边形中每一条线又与外部五边形连

接着3个三角形，这样的话多出3x5=15个三角形。一共70+15=85个三南形。

4.如图10-15,数一数，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）

【详解】诸如像和的长方形一共有12个，再算上底下的长方形一共有15个

长方形，但是还有两个长方形如下图长方形43CD和长方形A3FE。一共17个

ED

5.如图10-16,四条边长度都相等的四边形称为菱形。用16个同样大小的菱形组成如图的一

个大菱形。数一数，图中共有多少个菱形？

【详解】把这个图扶正了就相当于数一数有多少个正方形，先数一个小正方形组成的，共

16个，再数4个小正方形组成的，共9个，再数9个小正方形组成的，共4个，最

后数16个小正方形组成的，共1个。加起来，一共30个。

6.如图10-17,这是一个长为9,宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形。请问：

（1）从中可以数出多个长方形？

（2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？

【详解】（1）两条水平线和两条竖直的线组成一个长方形，这样的话就从10条竖直的线中

取两条，从5条水平的线中取两条即可，即CjxC；=450个。（2）同样的道理，两

条竖直的线应该为黑点左边一条，黑点右边一条；两条水平的线应该为黑点上边一

条，黑点下边一条，即=144个含黑点的长方形。

7.如图10-18,数一数，图中共有多少个长方形?

图10-19

【详解】如图，下方阴影部分中一共有长方形C：xC：=90个；右方的阴影中一共有长方形

C；xC；=63个。其中右下方3x2长方形中的长方形被重复计算了，共有C：xC；=18

个。所以图中一共包含长方形90+63-18=135个。

8.如图10-19,数一数，图中共有多少个平行四边形？

【详解】首先，如下图，平行四边形ABCD、平行四边形ABDE、平行四边形AFBD是三个方

向上的平行四边形，又因为整个图形是一个等边三角形，由图形的对称性，知道

三个方向上的平行四边形个数是相等的。

接下来，不妨取与平行四边形ABCD方向相同的所有平行四边形为研究对象，分别

延长其四条边，观察到各边的延长线都与大等边三角形的底边交于一点。可以看

出，底边上的4个点可以唯一地确定一个平行四边形。同时，当平行四边形最靠

下的一个点落在等边三角形的底边上时，平行四边形四条边的延长线与三角形底

边只有3个交点，也即底边上的3个点同样对应一个平行四边形。因此图中与ABCD

方向相同的平行四边形总数为：C；+C：=15（个）

因此图中平行四边形总数为15x3=45（个）

另一方面，我们也可以这样考虑：

如果将大三角形再往下延长一层，那么底边上的点就从5个变成6个。同时，所有

与平行四边形ABCD方向相同的平行四边形各边延长线都会与新的底边交于4个

点，因此，新的底边上的四个点的选取方法和原图中与平行四边形ABCD方向相同

的平行四边形是---对应的。因此图中与ABCD方向相同的平行四边形总数为：错

误!未找到引用源。（个）

9.如图10-20,18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形。数一数，图中共有多少

个梯形？

【详解】先把该图形分成左右两个完全一样的部分，任意拿出一部分数一数里面有多少个梯

形，我们发现是18个。总共有18*2=36个。但是中间还有20个梯形同时覆盖了左

右两个部分。这样的话总共有36+20=56个。

总共9+4+2+4+2=21个。

11.一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形,

例如圆、半圆、扇形等都是曲边形。在图10-22中，共有多少个不同的曲边形？

图10-22图10-23

【详解】五角星把圆分成五段弧，所有的曲边形按照圆的段数分，一段弧组成的曲边形有

5x2=10个，两段弧组成的曲边形有=10个，三段弧组成的曲边形有C：=10个，

四段弧组成的曲边形有C；=5个，五段弧组成的曲边形有1个（圆）。综上，总共

10x3+5+1=36个。

12.如图10-23,一个2x3的网格中，每个小正方形的面积都是1。以这些格点为顶点，可以

连成多少个面积为1的三角形？

【详解】如下第一个图，水平方向底为2,竖直方向高为1的三角形一共有4x8=32个：如

下第二个图，水平方向高为1,竖直方向底为2的三角形一共有3x6=18个；我们

还漏了几个，如下第三个图水平方向底为1,竖直方向高为2而且两条边不在格点

图上的三角形有2x6=12个：如下第四个图竖直方向底为1,水平方向高为2而且

两条边不在格点图上的三角形有2*4=8个。总共32+18+12+8=70个。

超越篇

1.图10-24是一个等边三角形的点阵。以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括

等边三角形）？

【详解】先计算腰的长为1的等腰三角形，一个菱形中有4个，一共有9个菱形，但是重复

计算了9个，一共4x9-9=27个。再计算腰长为菱形长对角线的等腰三角形，如下

图1,一共有5个；再计算腰长为2的等腰三角形，一共有3个，再计算腰长为3

的等腰三角形，一共有1个。我们还漏了三个，如下图2。总共27+5+3+1+3=39

个。

2.如图10-25,数一数，图中共有多少个三角形？

【详解】如下图1,先数出一共有21个三甬形；如下图2,再加1条线，多增加21个三角

形；如下图3,再加I条线，多增加12个三角形；最后再把最后一条线加上，又多

了13个三角形。则总共21+21+12+13=67个三角形。

图10-24图10-25

3.如图10-26,这是一个4x8的矩形网格，每一个小格都是一个小正方形。请问：

（1）包含有两个“★”的矩形共有多少个？

（2）至少包含一个“★”的矩形有多少个？

【详解】（1）按照长方形四条边的选取来计算有cJCGC=30个。

（2）包含左边的★的长方形有C；C：C：C：=72个，包含右边的★的长方形有

C：C；C；C；=120个。所以至少包含一个的矩形有120+72—30=162个。

4.如图10-27,在图中的3x3正方形格子中，格线的交点称为格点。例如：A,氏C这3个点

都是格点。那么，以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？

【详解】能覆盖阴影部分三角形的有三种:

5.如图10-28,用12个点将圆周12等分。以这些点为顶点的梯形共有多少个？

【详解】分两类考虑，首先，如下左图，连接相邻两点作为最短线段作出平行线。

这样的话共有6条平行线，从中选2条就可以组成梯形，但是其中有3个矩形。

这样作为一组的话一个圆上共有12个点，每两个相邻点就组成一组这样的平行线，

共有6组（对称的不算），这样的话，共有（金-3）x6=72个：

其次，如上右图，两点相连（中间隔1点）作为最短线段作出平行线。

跟上一类同样的接法，共有（《-2）x6=48个。而如果两点相连（中间隔2）作为

最短线段作出平行线就与第一类情况相同。同样的道理，隔3个点，隔4个点也

是重复情况。

综上，总共有72+48=120个。

6.一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形,

例如圆、半圆、扇形等都是曲边形。在图10-29中，共有多少个不同的曲边形？

【详解】(1)包含90。的弧的有：

，，，，，，

各有4个,总共4*8=3'2个。

(2)包含180。的弧的有：

，，，(2

各4个，共16个

，，各2个，共6个。

(［3)包含270。的弧的二有：

,、一--/各4个，共8个

(4)包含360。的弧的有1个。

所以一共32+16+6+8+1=63个。

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图10-29图10-30

7.如图10-30,木板上钉着16枚钉子，排成四行四列的方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个

不同的等腰三角形？

这样的等腰三角形有9x4=36个;

这样的等腰三角形有24个;

这样的等腰三角形有16个;