2023-2024学年高中数学人教A版2019课后习题第六章测评

过关综合测评第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021安徽庐阳校级期末)下列说法正确的是()A.若|a|=|b|,则a=b或a=bB.若a,b互为相反向量,则a+b=0C.零向量是没有方向的向量D.若a,b是两个单位向量,则a=b答案B解析当|a|=|b|时,a,b可能不共线,故A错误;若a,b互为相反向量,则a=b,a+b=0,故B正确;零向量的方向不确定,为任意方向,不能说零向量没有方向,故C错误;若a,b是两个单位向量,则|a|=|b|,而方向可能不同,故D错误.故选B.2.(2021安徽庐阳校级期末)已知两点A(4,1),B(7,3),则与向量AB同向的单位向量是()A.35,-4C.-45,答案A解析∵A(4,1),B(7,3),∴AB=(3,4),故与向量AB同向的单位向量为AB|AB|=3.(2021全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=()A.1 B.2 C.5 D.3答案D解析设BC=x,由余弦定理得19=4+x22×2x·cos120°,解得x=3或x=5(舍).故选D.4.(2021北京朝阳校级月考)已知a=(1,2),b=(2,m),若a⊥(a+2b),则实数m的值为()A.14 B.12 C.1 D答案A解析∵a=(1,2),b=(2,m),∴a·b=22m.又a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=a2+2a·b=544m=0,解得m=14.故选A5.(2021四川巴中模拟)已知向量OA=(1,2),OB=(2,3),OC=(3,t).若A,B,C三点共线,则实数t=()A.4 B.5 C.4 D.5答案A解析向量OA=(1,2),OB=(2,3),OC=(3,t).若A,B,C三点共线,则存在实数x,使OC=xOA+(1x)OB,即3=x+2(1-6.(2021湖南郴州期末)已知平面向量PA,PB满足|PA|=|PB|=1,PA·PB=12.若|BC|=1,则|ACA.21 B.31C.2+1 D.3+1答案D解析∵|PA|=|PB|=1,PA·PB=∴cos∠APB=PA·PB|∴∠APB=23π.由余弦定理,得AB2=PA2+PB22PA·PBcos∠APB=1+1+1=3.∴AB=3,则|AB|=3.∴当AB与BC同向共线时,|AC|有最大值3+1.7.(2021北京模拟)在等腰梯形ABCD中,AB=2CD,M为BC的中点,则AM=()A.12AB+C.34AB+答案B解析如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD,∴CD=12DC=又M为BC的中点,∴BM+CM=又AM=∴2AM=(AB+BM)+(=32∴AM=故选B.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,BC边上的高为1,则△ABC面积的最小值为()A.25 B.23C.2+3 D.2+5答案B解析设△ABC的面积为S,BC边上的高为h,则h=1,∴S=12bcsinA=14bc,即bc=4又S=12ah=12∴S2=14a2=14(c2+b22bccosA)=14(c2+b23bc)≥14(2bc3bc)=2-34bc=2-34×4S=(23)S,当且仅当b=c故△ABC面积的最小值为23.故选B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知向量a=(1,3),b=(2,1),c=(3,5),则下列选项正确的有()A.(a+2b)∥c B.(a+2b)⊥cC.|a+c|=10+34 D.|a+c|=2|答案AD解析a+2b=(3,5),故A正确,B错误;|a+c|=(1+3)2+(3-5)2=25=2|b|10.(2021广东宝安校级期末)设P是△ABC所在平面内的一点,AB+AC=3AP,则(A.PA+PB=0 B.PBC.PA+AB=PB D答案CD解析因为AB+AC=3AP,所以PB-PA+PC-PA3AP=0,即PA+PB+PC=0,故11.(2021江苏建邺校级月考)已知满足C=30°,AB=4,AC=b的△ABC有两个,那么b可能是()A.5 B.6 C.7 D.8答案ABC解析在△ABC中,C=30°,AB=4,AC=b,由正弦定理,得ABsinC=ACsinB,即4sin30°=bsinB,解得sinB=b8.由题意知,当sinB∈12,1时,满足条件的△ABC有两个,12.(2021江苏常州期末)在△ABC中,满足cos2A+cos2B=1,则下列说法正确的是()A.A+B=πB.|tanA|=cosBcosC.若A,B为不同象限的角,则tan(A+B)+2tanAD.sin2A+sin2答案BC解析对于A,由cos2A+cos2B=1,得|cosB|=|sinA|,可得A+B=π2或AB=π2,故A错误;对于B,由|cosB|=|sinA|,得|tanA|=cosBcosA,故B正确;对于C,因为A,B为不同象限的角,所以tanAtanB=1,所以A,B中必有一角大于π2,所以C∈0,π2,tanC>0,所以tan(A+B)+2tanA+tanB=tanC+2(tanAtanB-1)·tanC=tanC+1tanC≤2,当且仅当tanC=1时,等号成立,故C正确;对于D,因为sin2A+sin2B+sin2C=sin[(A+B)+(AB)]+sin[(A+B)(AB)]+sin2C=2sin(A+B)cos(AB)+2sinCcosC=2sinCcos(AB)2sinCcos(A+B)=4sinAsin三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021湖南怀化期末)在水流速度为4km/h的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度(船在静水中的速度)航行,则船实际航行的速度的大小为km/h.

答案45解析由题意,如图,OA表示水流速度,OB表示船在静水中的速度,则OC表示船的实际速度.则|OA|=4,|OB|=8,∠AOB=90°,∴|OC|=42+82∴实际速度的大小为45km/h.14.(2021全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

答案22解析由题意可知△ABC的面积S=12acsin60°=3,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c22accosB=122×4×cos60°=8,所以b=22.15.(2021安徽芜湖模拟)已知a,b,c是单位向量,a+b+c=0,则|ab|=.

答案3解析由a+b+c=0,得a+b=c,∴(a+b)2=(c)2.∵a,b,c是单位向量,∴a·b=12∴|ab|=(a16.(2021浙江卷)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=,cos∠MAC=.

答案213解析由题意作出图形,如图,在△ABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM22BM·BA·cosB,即12=4+BM22BM×2×12解得BM=4(负值舍去),所以BC=2BM=2CM=8.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC22AB·BC·cosB=4+642×2×8×12=所以AC=213.在△AMC中,由余弦定理的推论,得cos∠MAC=AC四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知平面上点A(4,1),B(3,6),D(2,0),且BC=(1)求|AC|;(2)若点M的坐标为(1,4),用基底{AB,AD}表示解(1)设点C的坐标为(x,y),已知点A(4,1),B(3,6),D(2,0),所以BC=(x3,y6),AD=(2,1).又BC=AD,所以x所以点C的坐标为(1,5),AC=(3,4),所以|AC|=(-3)2(2)已知点M(1,4),所以AM=(5,3),AB=(1,5),AD=(2,1).设AM=λAB+μAD,即-5=-λ-2μ18.(12分)(2021安徽定远校级期末)已知向量a=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b与c;(2)若m=2ab,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.解(1)由a∥b,得x2×3=0,解得x=6.由a⊥c,得1×2+2y=0,解得y=1.故b=(3,6),c=(2,1).(2)∵m=2ab=(1,2),n=a+c=(3,1),∴m·n=1×32×1=5,|m|=(-1)2+(-2∴cos<m,n>=m·n|又0≤<m,n>≤π,∴向量m,n的夹角为3π19.(12分)(2021安徽瑶海月考)已知海岛A四周8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,在B处望见岛A在北偏东75°,航行202海里后,在C处望见此岛在北偏东30°,若货轮不改变航向继续前进,有没有触礁危险?请说明理由.解没有触礁危险,理由如下:如图所示,由题意知,∠ABC=15°,∠ACD=60°,∴∠BAC=45°.在△ABC中,BC=202,由正弦定理得AC=BCsin15°sin45°=40sin15°=在直角三角形ACD中,AD=AC•sin60°=15256>8,从而可知货轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.20.(12分)(2021浙江北仑校级期中)如图,在直角梯形ABCD中,角B是直角,AD=2BC,AB=AD=2,E为AB的中点,DP=λDC(0≤λ≤1).(1)当λ=13时,用DA,DC(2)求|PE|的最小值并求出相应的实数λ的值.解(1)当λ=13时,DP故PE=12(PA+PB)=1(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则AD=(2,0),DC=(1,2).因为DP=λDC=(λ,2λ),0≤λ≤1,所以AP=AD+DP=(2λ,2λ),P的坐标为(2λ因为E的坐标为(0,1),所以PE=(λ2,12λ),|PE|=(λ当λ=45时,|PE|取得最小值321.(12分)(2021浙江期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+2c)cosB+bcosA=0.(1)求角B的大小;(2)若b=3,求△ABC的周长的最大值.解(1)已知(a+2c)cosB+bcosA=0,则(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,即sinAcosB+cosAsinB+2sinCcosB=0,sin(A+B)+2sinCcosB=0,sinC+2sinCcosB=0,∵sinC>0,∴cosB=12∵0<B<π,∴B=2π(2)∵b=3,sinB=32,∴由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=23,即a=23∴△ABC周长为a+b+c=23(sinA+sinC)+3=23sinA+sinπ3-A+3=23sinA+π∵0<A<π3,∴π3<A+∴sinA+π3∈32,1,即23sinA+π3+3∈(6,2322.(12分)(2021新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC