自动控制原理第四章

第四章线性系统的根轨迹法洛阳理工学院电气工程与自动化系

分析和设计线性定常控制系统的图解法

1根轨迹的概念

闭环控制系统的稳定性可以由闭环传递函数的极点，即由闭环系统的特征方程的根所决定。系统瞬态响应的基本特征也是由闭环主导极点起作用的。

闭环的零点则影响系统瞬态响应的形态(幅值的大小和符号)。4-1根轨迹的基本概念

闭环传递函数的分子通常由一些低阶因子组成，故闭环零点容易求得。

而闭环传递函数的分母则往往是高阶多项式，因而，必须解高阶代数方程才能求得闭环的极点，求根的过程比较复杂。尤其是当参数发生变化时，系统的特征方程式发生变化，如果用解析的方法直接求解特征方程，需要进行反复大量的运算，就更加繁琐费时。1948年W.R.Evans提出了一种求特征根的简单方法，简称根轨迹法，并在控制系统的应用中取得广泛的应用。

根轨迹方法不直接求解特征方程的根，用作图的方法表示特征方程的根与系统某一参数的全部数值关系，将系统的某个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。当这个参数取特定的值时，对应的特征根可在关系图中找到。这种方法叫“根轨迹法”。根轨迹简称根迹。

根轨迹是开环系统传递函数的某一个参数从零变换到无穷大时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。根轨迹可以从已知的开环零、极点来求闭环系统的极点分布，也就是解决了闭环特征方程式求根的问题。-2-10jK:0~∞特征方程：S2+2s+2k=0特征根：s1,2=－1±√1－2k

k=0时，s1=0,s2=－20＜k＜0.5时，两个负实根；k=0.5时，s1=s2=－10.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1闭环传函：注意一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开环增益,而是根轨迹增益。图上绿色粗实线就是根轨迹。根轨迹上的箭头表示随着参数K的增加，根轨迹的变化趋势。开环增益K是对应将系统的传递函数写成时间常数的形式根轨迹增益K是将系统的开环传递函数写成零极点的形式开环增益K与根轨迹增益之间关系由此可以看出两种增益之间仅相差一个比例常数，很容易进行换算

1)稳定性

当开环增益从零变到无穷大时，图上的根轨迹不会穿越虚轴进入右半S平面，因此该系统对所有的K值都是稳定的。这与采用劳斯判据的结论完全吻合。如果采用根轨迹分析高阶系统，那么根轨迹有可能进入S的右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K值就是临界开环增益。2根轨迹与系统性能

由图可知，开环系统在原点只有一个极点，所以属于1型系统，因而根轨迹的增益就是静态速度误差系数。如果给定了系统的稳态误差要求，则由根轨迹图上可以确定闭环极点位置的允许范围。2)稳态性能分析3)动态性能0<K<0.5K=0.5K>0.5闭环极点分布两个不相等实根两个相等实根两个不相等共轭虚根系统响应类型过阻尼临界阻尼欠阻尼单位阶跃响应速度非周期单调指数上升响应速度慢等幅振荡阻尼振荡响应速度快超调量随K增大将增大调节时间变化不显著由图可以看出

GHG(s)=

KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zifi=1)H(s)=KH*∏(s-pjhj=1)j=1∏(s-zjl)Φ(s)=∏(s-piqi=1)hj=1∏(s-pj)∏(s-zifi=1)+kG*kH*∏(s-zjl)j=1∏(s-zifi=1)∏(s-pjhj=1)*KG3闭环零极点与开环零极点的关系=n=q+hm=f+l结论：1闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通道

增益（单位反馈？）

2闭环系统的零点由开环前向通道传递函数的零

点和反馈通道的极点所组成

3闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增

益均有关系。4.根轨迹方程pi开环极点“×”,也是常数！开环零点“○”,是常数！Zj

根轨迹增益K*，不是定数，从0-∞变化这种形式的特征方程就是根轨迹方程特征方程1+GH=0根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)－∑∠(s-pi)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mnj=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1相角条件:模值条件:绘制根轨迹的充要条件

确定根轨迹上某点对应的K*值ZjpiS以K为参变量的根轨迹：是K从0(起点)到

(终点)变化时系统闭环极点在根平面上的轨迹起点和终点确定方法如下：规则1根轨迹的起点和终点。当K=0时，根轨迹的各分支从开环极点出发；当K时，有m条分支趋向开环零点，另外有n-m条分支趋向无穷远处。4-2绘制根轨迹的基本法则K从0→∞变化，根轨迹起点在K=0处根轨迹终点在K=∞处根轨迹起始于开环极点Pi根轨迹终止在开环零点Zj规则2

根轨迹的分支数、对称性即连续性。根轨迹的各条分支数等于开环零极点中的大数，且分支是连续的并对称于实轴。因为K是连续变化；系数为实数，有复根必为共轭，因此对称于实轴。

证明：由相角条件：

由于根在无穷远处，所以，它到有限的零、极点的矢量相互平行，也就是说：各个矢量与实轴的夹角都是相等的，设为

则有

规则3

渐近线。当开环有限极点大于有限零点时，根轨迹中（n-m）条分支沿渐近线趋向无穷远处。渐进线相角为:φa;渐进线与实轴交于一点，其坐标为（σa，j0）.渐进线与实轴的交点：记为：又由于，在无穷远处：分子除分母得：

多项式展开得：

对比两式系数得：规则4根轨迹在实轴上的分布实轴上的某一区域，其右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数，则该区域为根轨迹。

例如，某系统开环零极点分布如图。现在要判断实轴上的某点Sa是不是根轨迹上的点。各开环零、极点的相角：

实轴上试验点右边的零、极点其幅角为180°；

相角为零的零、极点在实轴上试验点左边；共轭零、极点的相角其和为零；

观察左边等式有如下结论：要判断实轴上的某点Sa是不是根轨迹上的点，只要计算一下它右边的实轴上零极点的总数是否为奇数即可（满足了相角条件）。例：绘制开环传递函数为的闭环系统的根轨迹。

规则4实轴上的根轨迹规则1根轨迹起始于开环极点规则3渐进线与实轴的夹角、交点p1=0,p2=－1,p3=－20→－1,-2→－∞解：根据规则60o-60o180oK1∞K1∞K1∞

三条渐进线如图

k取：0,12根轨迹的分支数是4条，且称于实轴。3有n－m＝3条根轨迹渐近线，其交点1根轨迹起于G(s)的极点p1＝0，p2＝－4，p3＝－1＋j，p4＝－1－j，终于开环的有限零点z1＝－1以及无穷远处。交角

规则5

根轨迹的分离点与分离角两条或是两条以上的根轨迹相遇又立即分开的点，称为分离点。分离点的坐标d是下列方程的解；分离角为:

分离点表示，在该处有重根，因此，问题转换为求特征根的重根。例：上例中用上式求分离点：

由规则3可知，-1.577处没有根轨迹，故舍去，所以，分离点是-0.423代入得：或者，将-1.577代入F(s)=0,可求出K=-0.385,显然不合题意，舍去综合例题：求以K为参变量的系统根轨迹

解：原式化为零极点形式1、根轨迹起点：0，-2.73，-1j2、实轴上根轨迹：0

-2.73由特征方程为：4、分离点：求出重根为：

S1、2=-2.07分离点-2.073、渐进线：手算可用试探法，由上图，分离点在-1.18和-2.73之间找；若求出的重根点在实轴上但不符合“实轴上根轨迹”的判断规则就要舍去-1.18上例中，为求根轨迹从P3点处的出射角，在其附近找一个实验点Sa，并认为该点在根轨迹上，则它应满足相角条件：规则6在开环复数极点处根轨迹的出射角为在开环复数零点处根轨迹的入射角为式中-其他开环零、极点对出射角或入射角提供的相角，即

根据根轨迹的对称性，可知P4点的出射角为：根据上式，可以求得：如果Sa无限靠近P3根轨迹的出（入）射角用下式求得:75°-75°-2.07-1.18上例中当K增大到某值后，根轨迹将进入根平面的右半面,在它与虚轴相交处，特征根是一对虚根S=

jωn则可以采用两种方法来求：第一种方法，采用劳斯判据第二种方法，用S=

jω代入特征方程，令实部为零， 求出K1代入虚部得ω

规则7

根轨迹与虚轴的交点可用代入特征方程求解，或者利用劳斯判据确定。

在上例中，采用第一种方法，其特征方程为：劳斯阵列：令：

5.46

-

0.75k1=0

得

k1=7.27 由第三行组成方程：

6.3S2+k1=0

得S1、2=j1.07根据规则完成系统根轨迹如右75°-75°-2.07-1.184.3广义根轨迹

前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘制规则是以开环根轨迹增益为可变参数的，大多数系统都属于这种情况。但着重研究系统某个参数(如时间常数、反馈系数等)对系统性能的影响，常以这些参数为可变绘制根轨迹。将以非开环根轨增益作为可变参数绘制的根轨迹叫做参数根轨迹(或广义根轨迹)。1参数根轨迹选择除系统开环增益k以外的其他参量作为可变参量，引入等效传递函数的概念，把系统的特征方程化为式（1）的形式，以所选可变参量代替k的位置，如式（2）所示，则所介绍的相角、幅值条件和绘制根轨迹的各种规则都依然有效。以开环增益k为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。特征方程为（1）（2）单位反馈系统开环传递函数特征方程：s(s+1)(s+2)+(s+2)+A=0等效开环传递函数开环传递函数等效体现在哪里？将变化的参数化为一个乘积因子。2零度根轨迹

如果研究的系统为非最小相角系统，有时不能用常规根轨迹来描述。常规根轨迹遵循的相角条件是：

如果系统为非最小相角系统，且s的最高项因子为负；控制系统中含有正反馈回路，则可以用零度根轨迹来描述。

零度根轨迹遵循的相角条件是：

正反馈系统的特征方程是

即绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件：和相角条件分别为：

与负反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件相比知，正反馈系统和负反馈系统的幅值条件相同；零度根轨迹的模值条件与相角条件K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1模值条件:∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mn相角条件:2kπ

负反馈系统的根轨迹遵循180°相角条件，而正反馈系统的根轨迹遵循0°相角条件。故正反馈系统根轨迹又称为零度根轨迹。由于相角条件不同，在绘制正反馈系统根轨迹时，须对前面介绍的七条基本规则中与相角条件有关的三条规则作相应修改，这些规则是：⑴正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹角应为：⑵正反馈系统在实轴上的根轨迹是那些在其右侧的开环实零点和开环实极点的总数为偶数或零的线段。⑶正反馈系统的起始角和终止角应为：

例题4-1已知单位负反馈系j01-1-2d1=0.366k1=0.0718d2=-1.37k3=13.9s=0.7jk2=0.332统根轨迹如图所示1

求闭环出现重根时Φ(s)的零极点表达式2

求欠阻尼状态下单位斜坡输入时ess的范围解：1Φ(s)=13.9(s+1)(s+2)(s+1.37)2Φ(s)=0.0718(s+1)(s+2)(s-0.366)22k=-2k*ess=1/k-1.5＜ess＜-0.036k1=0.0718k2=0.332k3=13.9已知单位反馈系统开环传递函数:其中a>1,试确定a的值,使根轨迹:(2)有一个实分离点,(3)有两个实分离点。(1)无实分离点,G(s)=s2(s+a)k*(s+1)1<a<9a>9a=11a=9a=9例题4-2a=5例题4-3图G(s)=s2(s+a)k*(s+1)a=5a=11a=9j0j0j0-11-1-1-1-5-9j0-1-5j0-1-9-3j0-1-11-4.62-2.38例题4-2图例题4-3已知单位负反馈系统s(s2+s﹣3)(s+k)(s+4)G(s)=1

绘制闭环系统根轨迹2

确定分离点处Φ(s)3

欲使单位斜坡输入时∣ess∣≤1,求k值范围。要求：开环传递函数为零极点表达式1s(s+1)2k(s+4)1+=02(s+0.354)2(s+1.292)

(s+0.04)(s+4)Φ(s)=334≤﹤k10-1-4j-0.354k=0.04jk=12例题4-5试绘制概略根轨迹。设G(s)=s(s-1)(s2+4s+16)k*(s+1)与虚轴交点：给出如下计算参数解：分离点：d1，2=0.46,-2.22渐近线：σa=-2/3,φa=±60o,180o起始角：±54.5ok2*=35.7,s1,2=±j2.56k1*=23.3,s1,2=±j1.56-2+j3.46j-11