江苏南京市2024届高一数学第二学期期末调研试题含解析

江苏南京市2024届高一数学第二学期期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如右图所示，直线的斜率分别为则A． B．C． D．2．设，则比多了（）项A． B． C． D．3．已知，两条不同直线与的交点在直线上，则的值为（）A．2 B．1 C．0 D．-14．已知点G为的重心，若，，则=()A． B． C． D．5．已知空间中两点和的距离为6，则实数的值为（）A．1 B．9 C．1或9 D．﹣1或96．已知函数和的定义域都是，则它们的图像围成的区域面积是（）A． B． C． D．7．在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为万元，则10时到11时的销售额为（）A．万元 B．万元 C．万元 D．万元8．已知是单位向量，.若向量满足（）A． B．C． D．9．若两个球的半径之比为，则这两球的体积之比为（）A． B． C． D．10．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（）A．40 B．36 C．30 D．20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知的三边分别是，且面积，则角__________.12．将一个圆锥截成圆台，已知截得的圆台的上、下底面面积之比是1:4，截去的小圆锥母线长为2，则截得的圆台的母线长为________.13．若直线与直线平行，则实数a的值是________．14．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为__________．15．已知角的终边经过点，若，则______.16．已知数列满足且，则____________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知是递增数列，其前项和为，，且，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设，若对于任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．18．在中，已知，其中角所对的边分别为．求（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的值．19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．（1）求A；（2）求面积的最大值.20．如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点（1）当时，求的值；（2）设，求的取值范围．21．已知数列中，，点在直线上，其中.（1）令，求证数列是等比数列；（2）求数列的通项；（3）设、分别为数列、的前项和是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在，则说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】试题分析：由图可知，，所以，故选C．考点：直线的斜率．2、C【解题分析】

可知中共有项，然后将中的项数减去中的项数即可得出答案.【题目详解】，则中共有项，所以，比多了的项数为.故选:C.【题目点拨】本题考查数学归纳法的应用，解题的关键就是计算出等式中的项数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3、C【解题分析】

联立方程求交点，根据交点在在直线上，得到三角关系式，化简得到答案.【题目详解】交点在直线上观察分母和不是恒相等故故答案选C【题目点拨】本题考查了直线方程，三角函数运算，意在考查学生的计算能力.4、B【解题分析】

由重心分中线为，可得，又（其中是中点），再由向量的加减法运算可得．【题目详解】设是中点，则，又为的重心，∴．故选B．【题目点拨】本题考查向量的线性运算，解题关键是掌握三角形重心的性质，即重心分中线为两段．5、C【解题分析】

利用空间两点间距离公式求出值即可。【题目详解】由两点之间距离公式，得：，化为：，解得：或9，选C。【题目点拨】空间两点间距离公式：。代入数据即可，属于基础题目。6、C【解题分析】

由可得，所以的图像是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分；再结合图形求解.【题目详解】由可得，作出两个函数的图像如下：则区域①的面积等于区域②的面积，所以他们的图像围成的区域面积为半圆的面积，即.故选C.【题目点拨】本题考查函数图形的性质，关键在于的识别.7、C【解题分析】分析：先根据12时到14时的销售额为万元求出总的销售额，再求10时到11时的销售额.详解：设总的销售额为x,则.10时到11时的销售额的频率为1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15.所以10时到11时的销售额为.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图求概率、频数和总数，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)在频率分布直方图中，所有小矩形的面积和为1，频率=.8、A【解题分析】

因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.9、C【解题分析】

根据球的体积公式可知两球体积比为，进而得到结果.【题目详解】由球的体积公式知：两球的体积之比故选：【题目点拨】本题考查球的体积公式的应用，属于基础题.10、C【解题分析】试题分析：利用分层抽样的比例关系,设从乙社区抽取户，则，解得.考点：考查分层抽样.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】试题分析：由，可得，整理得，即，所以.考点：余弦定理；三角形的面积公式.12、2【解题分析】

由截得圆台上，下底面积之比可得上，下底面半径之比，再根据小圆锥的母线即可得圆台母线．【题目详解】设截得的圆台的母线长为.因为截得的圆台的上、下底面面积之比是1:4，所以截得的圆台的上、下底面半径之比是1:2.因为截去的小圆锥母线长为2，所以，解得.【题目点拨】本题考查求圆台的母线，属于基础题．13、0【解题分析】

解方程即得解.【题目详解】因为直线与直线平行，所以，所以或.当时，两直线重合，所以舍去.当时，两直线平行，满足题意.故答案为：【题目点拨】本题主要考查两直线平行的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14、【解题分析】

首先根据题意转化为函数与有个交点，再画出与的图象，根据图象即可得到的取值范围.【题目详解】有题知：函数恰有个零点，等价于函数与有个交点.当函数与相切时，即：，，，解得或（舍去）.所以根据图象可知：.故答案为：【题目点拨】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了学生的转化能力，体现了数形结合的思想，属于中档题.15、【解题分析】

利用三角函数的定义可求.【题目详解】由三角函数的定义可得，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查三角函数的定义，注意根据正弦的定义构建关于的方程，本题属于基础题.16、【解题分析】

由题得为等差数列，得，则可求【题目详解】由题：为等差数列且首项为2，则，所以．故答案为：2550【题目点拨】本题考查等差数列的定义，准确计算是关键，是基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）不存在（3）1【解题分析】

（Ⅰ），得，解得，或．由于，所以．因为，所以.故，整理，得，即．因为是递增数列，且，故，因此．则数列是以2为首项，为公差的等差数列.所以.………………5分（Ⅱ）满足条件的正整数不存在，证明如下：假设存在，使得，则．整理，得，①显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数不存在．……1分（Ⅲ），不等式可转化为．设，则.所以，即当增大时，也增大．要使不等式对于任意的恒成立，只需即可．因为，所以.即.所以，正整数的最大值为1．………14分18、（1）；（2）1.【解题分析】试题分析：(1)利用正弦定理角化边，结合三角函数的性质可得；(2)由△ABC的面积可得，由余弦定理可得，结合正弦定理可得：的值是1.试题解析：（1）由正弦定理，得，∵，∴.即，而∴，则（2）由，得，由及余弦定理得，即，所以．19、（1）；（2）【解题分析】

（1）由题目条件a=1，可以将（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC中的1换成a，达到齐次化的目的，再用正余弦定理解决；（2）已知∠A，要求△ABC的面积，可用公式，因此把问题转化为求bc的最大值．【题目详解】（1）因为（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理得：（1+b）（a-b）=（c-b）c∴（a+b）（a-b）=（c-b）c，得b2+c2-a2=bc由余弦定理得：，所以．（2）因为b2+c2-a2=bc，所以bc=b2+c2-1≥2bc-1，可得bc≤1；所以，当且仅当b=c=1时，取等号．∴面积的最大值.【题目点拨】本题考查正弦定理解三角形及面积问题，解决三角形面积最值问题常常结合均值不等式求解，属于中等题.20、(1)；(2)【解题分析】

（1）由三角函数的定义得出，通过当时，，，进而求出的值；（2）利用三角恒等变换的公式化简得，得出，进而得到的取值范围．【题目详解】（1）由三角函数的定义，可得当时，，即，所以．（2）因为，所以，由三角恒等变换的公式，化简可得：，因为，所以，即的取值范围为．【题目点拨】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，两角和与差的正、余弦函数的公式的应用，以及正弦函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的定义与性质，以及两角和与差的三角函数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21、（1）证明过程见详解；（2）；（3）存在实数，使得数列为等差数列.【解题分析】

（1）先由题意得到，再由，得到，即可证明结论成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出数列的通项；（3）把数列an}、{bn}通项公式代入an+2bn，进而得到Sn+2T的表达式代入Tn，进而推断