提优题型九 二次函数综合题1 二次函数公共点问题（专题训练）（解析版）

题型九二次函数综合题类型一二次函数公共点问题（专题训练）1.已知抛物线（，，是常数），，下列四个结论：①若抛物线经过点，则；②若，则方程一定有根；③抛物线与轴一定有两个不同的公共点；④点，在抛物线上，若，则当时，．其中正确的是__________（填写序号）．【答案】①②④【分析】①将代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，则原方程可化为x2+x-2=0，则一定有根x=-2；③当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③错误；④若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>y2，故④正确．【详解】解：∵抛物线经过点∴，即9a-3b+c=0∵∴b=2a故①正确；∵b=c，∴a=-2c，∵cx2+bx+a=0∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0∴一定有根x=-2故②正确；当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③错误；若0<a<c，则有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1<x2<1时，y1>y2，故④正确．故填：①②④．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键．2.已知抛物线．(1)如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围．【答案】(1)①，②存在，点P坐标为(2，-3)或（，-），理由见解析(2)b<或b>【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．(1)①解：把，代入，得，解得：，∴②解：存在，理由如下，设直线AB的解析式为y=kx+b，把，代入，得，解得，∴直线AB的解析式为y=x-3，设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，即或，解得：m=2或m=或m=3，经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=∴点P坐标为(2，-3)或（，-）(2)解：把点D（-3，0）代入直线，解得n=4，∴直线，当x=0时，y=4，即点C（0，4）∴CD==5，∵四边形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴点E（5，4）∵点在抛物线上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴，∵该抛物线与线段没有交点，分情况讨论当CE在抛物线内时52+5b+3b-9<4解得：b<当CE在抛物线右侧时，3b-9>4解得：b>综上所述，b<或b>【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论3.已知抛物线经过点（0，2），且与轴交于A、B两点．设k是抛物线与轴交点的横坐标；M是抛物线的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．(1)求c的值；(2)直接写出T的值；(3)求的值．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）将点（0，2）带入直接求解；（2）找到三个点M的纵坐标之间的而关系，即可求解；（3）将函数转化为方程，即可表示出，，带入原式即可求解．(1)解：∵将点（0，2）带入得：．(2)由（1）可知，抛物线的解析式为，∵当S=m时恰好有三个点M满足，∴必有一个M为抛物线的顶点，且M纵坐标互为相反数．当时，．即此时M（，），则另外两个点的纵坐标为．∴．(3)由题可知，，则∴则．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与方程的关系、代数式求值等，属于综合题目，灵活运用代数计算是解题的关键．4.已知抛物线的对称轴为直线．（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．【答案】（1）；（2），见解析；（3）【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：（2）抛物线对称轴为直线，且当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．当时，y1随x1的增大而减小，时，，时，同理：时，y2随x2的增大而增大时，．时，（3）令令AB与CD的比值为【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点5.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长．【答案】（1）；（2）或；（3）．【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据可得点的坐标，代入直线的解析式求解即可得；（3）先根据求出点的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点的坐标，从而可得点的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得．【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）对于二次函数，当时，，解得或，，设点的坐标为，点的坐标为，，，解得，，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，将点代入得：，解得或，当时，，此时，当时，，此时，综上，点的坐标为或；（3）二次函数的顶点坐标为，设点的坐标为，，，解得，，则平移后的二次函数的解析式为，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，如图，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，，轴，，，由两点之间线段最短得：的最小值为，由垂线段最短得：当点与点重合时，取得最小值，此时点与点重合，则点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，解得，则，，．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．6.已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．（1）求的值（用含的代数式表示）；（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系数法将点A、B的坐标代入即可（2）根据抛物线图像分析得在范围内，的最大值只可能在或处取得，进行分类讨论①若时，②若，③，计算即可（3）先利用待定系数法写出直线AB的解析式，再写出平移后的解析式，若线段与抛物线仅有一个交点，即方程在的范围内仅有一个根，只需当对应的函数值小于或等于0，且对应的函数值大于或等于即可．【详解】（1）∵抛物线过点，，∴，∴，∴．（2）由（1）可得，在范围内，的最大值只可能在或处取得．当时，，当时，．①若时，即时，得，∴，得．②若，即时，得，此时，舍去．③，即时，得，∴，，舍去．∴综上知，的值为．（3）设直线的解析式为，∵直线过点，，∴，∴，∴．将线段向右平移2个单位得到线段，∴的解析式满足，即．又∵抛物线的解析式为，∴．又∵线段与抛物线在