福州市高三12月份月考理科数学

一、选择题

1.已知复数Z满足(z—i)i=2+3i,则目=()

A.√10B.3√2C.IOD.18

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得，设z=α+bi,由(z—i)i=2+3i可得，z=3-i,故选A.

考点：复数的性质.

2.已知集合Z={■X∣χ2一2χ一3≤0},8={y|y=χ2,χeR},则zn8=()

ʌ.0B.[0,1]C.[0,3]D.[-l,+∞)

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得，集合幺=3一1W%≤3}]={y∣y≥O},故选C.

考点：集合的运算.

3.等差数列{q}的前〃项和为S“，若公差d=-2,S3=21,则当S“取得最大值时，〃的值

为()

Λ.10B.9C.6D.5

【答案】D

【解析】

试题分析：由d=-2,S3=21得，％=9,又因为%=LR=T,故当〃=5时，S,,取最大

值，故选D.

考点：等差数列的性质.

\71、=；,则COSX+cos∣g—x)的值为(

4.已知SinX+—)

L3›

B61

A.一旦C.--D.-

3333

【答案】B

-1-

【解析】

试题分析：由题意得，COSX+cos(y-x)=J^sin(x+?)=-旌，故选B.

考点：两角和与差的余弦函数.

2Λ,X≤0

5.在如图所示的程序框图中，若函数/(X)=<log∣x,x>0，则输出的结果是()

.2

A.—2B.0.0625C.0.25D.4

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得，模拟执行程序框图，可得α=-4K0,⅛=2-4=l>0,α=bg]2∙=4不满足条

16ʒ16

件b<0,继续循环,B=Jog14=-2,。=1,满足条件6<0,退出循环，输出a的值为025,故选C.

04

考点：程序框图.

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()

S正视图H明视图

俯视图

2

A.2TT—B.2TT----D.2TT—2

33

-2-

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得，由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的,圆柱的底面半径为1,高为2,

棱锥的底面为正方形,边长为3,棱锥的高为1,.∙.几何体的体积P=〃xl2x2-；x(a)2xi=2»—g,

故选A.

考点：由三视图求体积，面积.

7.已知抛物线=2pχ(p>o),过其焦点R的直线/交抛物线。于点48,若

IZ尸忸川=3:1,则直线/的斜率等于()

A.±—B.±1C.±√2D.±√3

3

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意得，设Z(XQI),8(%,%)，/在第一象限，忸H=3:1,

3

,j

故必=-3>2,X1-^=3(y-x2),X1=-p,y↑=V3/?,

.∙.直线I的斜率等于6p-Q=B同理4在第三象限,直线/的斜率等于-VJ,故选D.

P

考点：抛物线的简单性质.

8.四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是()

A.72B.96C.144D.240

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得，先从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女

生所形成的3个空中，故有石屈H=144种，故选C.

考点：计数原理的应用.

9.已知函数/(x)=sin(<υx+夕)(<υ>0,∣同<]),其图象相邻两条对称轴之间的距离为会，

且函

-3-

数/[χ+^⅞J是偶函数，下列判断正确的是()

A.函数/(x)的最小正周期为27

B.函数/'(X)的图象关于点([∣∖(θ对称

*7jr

C.函数/(x)的图象关于直线X=-若对称

D.函数/(x)在"2T,Tπ上单调递增

【答案】D

【解析】

TT

试题分析：由题意得，函数y=dsio(的+效图象的相邻两条对称轴之间的距离等于函数/(χ)的周

▲

TTTT

期『=万，故A错误；∙.∙∕o>0.∙.3=2,「.函数/@+不？的解析式为：/QC)=S⅛(2X+∙J+9),,二函

126

数/(x+=)是偶函数，/.m+0=Qr+f∙keZ,解得：9=f..∙.f(x)=siπ(2x+g).由

126233

2x+f=丘解得对称中心为：(把一50),故B错误油2x+f=心r+当解得对称轴是:X=把+：,

32632212

故C错误；由22r—gW2x+2≤2kπ+T，解得单调递增区间为：口万一号,左乃+卷],故D正确.故选D.

JuJ/1X,1/

考点：1.正弦函数的图象；2.由y=∕sin(g+9)的部分图象确定其解析式.

10.平行四边形NBCO中，/8=4,/0=2,万由万=4,点P在边CD上，则巨彳茄的取

值范

围是()

A.[-1,8]B.[-l,+∞)C.[0,8]D.[-1,0]

【答案】A

【解析】

—∙,,—•-1

试题分析:由题意得，∙.∙ZB=4,4。=2,48•4。=4,.∙.AB∙ADcos^=4,ΛcosA=-,

2

.♦./=60°,以N为原点，以/8所在的直线为X轴，以48的垂线为y轴，建立如图所示的

坐标系，

-4-

.∙.J(0,0),5(4,0),Z)(l,⅛,设P(x,招)，则14x≤5,.∙.k=(τ,-√⅛丽=(4-七-后),

.∖PAPB=(x-2)1-l,设/(力=(工-2尸一1,.∙J3在［12)上单调递减在［2,5］上单调递增,

・••/3.="2)=-1^3皿=〃5)=8,，为丽的取值范围是[-1^],故选A.

4-

3-

D______________________C

—1■

考点：平面向量的数量积的运算.

【方法点睛】本题主要考查的是平面向量的数量积的运算，建模思想，二次函数求最值，数

形结合，属于中档题，先根据向量的数量积的运算，求出/=60。，再建立坐标系，得

西・丽=(x-2)2-l,构造函数/(χ),利用函数的单调性求出函数的值域〃？，问题得以解

决，因此正确建立直角坐标系，将问题转化成二次函数最值问题是解题的关键.

11.已知双曲线C:1—/=l(4>0,b>0)的左、右焦点分别为耳,6,0为坐标原点.P是

双曲

线在第一象限上的点，直线PO,P£分别交双曲线。左、右支于另一点〃,N.若

∖PFi∖=2∖PF2∖,且

NMFK=60",则双曲线C的离心率为()

A.√2B.√3C.√7D.迪

3

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意，忸用=2|尸闾尸片ITP闾=2”,所∣=44,∣丽∣=2α,又

-5-

NMN=60°,.∙.N月PQ=60。，由余弦定理可得，解得：

4C2=16a2+4«2-2-4«∙2acos60o,得c=√5α,.∙.e=W=√J,综上所述，选B.

a

考点：1.双曲线的性质；2.余弦定理的应用.

【方法点睛】本题主要考查的是双曲线的离心率，余弦定理，学生的计算能力，属于中档题，

此类型题目主要是先利用双曲线的定义分别表示出来IARi=4α,∣丽卜2a,再结合

ZMF2N60°,:.N片JPE=60。利用余弦定理得至U4c?=16/+4〃-2∙4α∙24cos60。，从

而得到α,c的关系，即可求出e的值，因此此类题目利用正确熟练双曲线的性质是解题的关键.

12.已知实数4,b满足2/—51na—b=0,c=R,则J(a—+(b+c/的最小值为()

λ1n√2c3√ic9

A.-B.C.------D.一

2222

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意，得，X代换。，y代换6,则XJ满足：2∕-51Dχ-y=0,即y=2∕-51OMX>0)，

以X代换C,可得点(％-力，满足x+y=θ,因此求J(α-c)2+(b+c)2的最小值即为求曲线

y=2√-5bx(x>0)上的点到直线x+j=0的距离的最小值，设直线x+v+?M=0与曲线

y=2，-51DMX>0)相切于点P(%jo)∕(x)=4x-2,则八F)=T,解得％=1,所以切点为

X

"L2),所以点尸到直线x+y=0的距离d=挈，则#-4+(B+/的最小值为半，综上所述,

/Λf

选C.

考点：1.利用导数研究曲线的切线性质；2.点到直线距离公式.

【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究曲线的切线性质，点到直线的距离公式，推理

能力与计算能力，属于难题，通过换元法可转化成函数间的问题，通过变形发现变成求

Q(a-c)2+(b+c)2的最小值即为求曲线y=2F_5InX(X>0)上的点到直线x+y=0的

距离的最小值，因此在曲线上找到一个和x+y=0平行的直线与x+J=O之间的距离最小，

因此将点到直线距离最小值转化成直线与直线距离最小值，因此此类题目将已知条件合理转

换是解决问题的关键.

-6-

第∏卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，满分20分.)

x+y-∖≥0

13.若实数X/满足,x-y-2≤0,则Z=-IX+y的最小值为.

7≤13

【答案】-1

【解析】

试题分析：由题意，得，作出不等式组对应的平面区域如图，由2=-；x+y得y=gx+z,平移直线

y=gx+z,由图象知,当直线p=gx+z经过点d时，直线的距离最小，此时Z最小，由x+y-l=O和

考点：简单线性规划.

4-α,1≥l,有两个零点，则实数。的取值范围是

14.已知函数/(x)=<

ln(l-x),x<1

【答案】［1,+8)

【解析】

试题分析：由题意，得，当x<l时,令In(I-X)=O解得x=0,故/(x)在(-∞,1)上有1个零

点，.∙./(X)在口,+8)上有1个零点.当x≥l时,令J7-α=0得α=4zl.实数4的取值

范围是［1,+8).

考点：函数零点的判定定理.

-7-

15.三棱锥尸-4SC中，平面P/CJ_平面

ABC,PA=PC=AB=2√3,AC=4,ZBAC=30°.若

三棱锥尸-/3C的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

【答案】18万

【解析】

试题分析：由题意,得，：NS=入回,XC=4,NMC=30。，.∙.BC=2,.∙.ΛABC的外接圆直径AC=4,

设球心为O,XC的中点为D,球的半径为R,则PD=20.∙.R1=Q近-J?)2+4,则有该三棱锥的外接

球的半径K=X2..该三棱锥的外接球的表面积为S=4*=18兀.

2

【方法点睛】本题主要考查的是三棱锥的外接球表面积，直线与平面的位置关系，属于中档

题，对于本题而言，根据题中条件画出立体几何图形，求出8C,假设出球心，利用勾股关系,

可得A48C外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表

面积,因此确定三棱锥的外接球的半径是解决此类题目的关键.

16.己知鬼=:，删除数列｛%｝中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列

也｝,

则砥=.

【答案】5151

【解析】

-8-

试题分析：由题意，得，:。〃=————,/.a1=l,ɑ2=3,ɑ3=6,a4=10,•••,

•/an=〃。,)，删除数列｛«„｝中所有能被2整除的数,剩下的数从小到大排成数列｛bn｝,

♦♦651==5151.

考点：数列性质的合理运用.

【方法点睛】本题主要考查的是数列的第51项的求法，属于中档题，解题时要认真审题，注

意对数列性质的合理运用，对于本题而言，求出数列｛%｝的前8项，由α,,=2(〃；1)不能被2

整除，剩下的数从小到大排成数列｛d｝,则为=¾n,由此可得到答案，因此对于解此类题

目，熟练灵活的运用数列的性质是解决问题的关键.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分12分)已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，且％=2,a,=S用+S,,.

(1)求数列｛《｝的通项公式；

a

(2)设a=α2w-,□2",求数列｛4｝的前∏项和Tn.

,+1

【答案】⑴α,,=M"wN*);(2)T11=(2M-3)E2'+6.

【解析】

试题分析：(1)由=2,02ι=4+1+S*，利用递推关系可得。*+1=1，再利用等差数列的通项公式

即可得到答案；(2)利用错位相减法与等比数列的前"项和公式即可得出4∙

试题解析：(1)因为03=S"i+S”,①所以当〃之2时，α∕=E+Sj,②

①一②得碌1—a：=%ι+aκ，即(。41+4)(%+ι—%)=+an>因为%。，所以a*+ι-=1,所

以数列｛4｝从第二项起，是公差为1的等差数列.由①知M=Sa+Sι,因为弓=1,所以％=2,所以当

肛≥2时，4=2+("-2)xl,即%=耳.③又因为Ol=I也满足③式，所以%=M"CW).

(2)由(1)得a=g,ι攵%=(2〃一I)Er,雹=2+3攵2+5攵3+…+(2〃一1户”，④

23n+,

2Tn=2+3□2+...+(2n-3)□2+(2M-1)∏2",⑤

④-⑤得，—7；=2+2x22+...+2x2"-(2〃—l)□2"l所以

-9-

2⅛l-2n-')

—北=2+々J2一一(2"l)π2，

故7；=(2〃—3)02向+6.

考点：1.利用递推关系求数列通项公式；2.数列的求和.

冗

18.(本小题满分12分)在A48C中,角4、B、C所对的边分别为。、b、U已知∕≠-,

2

且

3sin/CoS3+'bsin2Z=3sinC.

2

(1)求4的值；

2乃

(2)若/=丝，求A48C周长的最大值.

3

【答案】(1)。=3；(2)3+2√3.

【解析】

试题分析：(1)由已知式子和三角函数公式可得伊3)=0,进而得到a的值；

(2)由N=学可得9=〃+Ο2+历，利用基本不等式可求出3+c)的最大值，即可求出

ZUBC周长的最大值.

试题解析：(1)由3sin∕8sB+!bs⅛24=3sinC,得3sinNssB+Bsin∕CoSX=3sinC,由正弦

2

2.t2,2_2

定理，得30cos3+晶8SK=3C,由余弦定理，得3G----------+曲-----------=女，整理得

2aC2bc

,一。")(o-3)=OS因为K≠[s所以乂+，一『工。,所以。=3.

2力"

(2)在AiBC中，N=丝,α=3,由余弦定理得，9=b1+cl+bc,因为

3

从+,2+儿=(b+c)2—&N(6+c)2—(亭)=[(b+c)2,所以.e+c)2w9,即(b+c)2412,

所以b+c≤2右，当且仅当A=C=W时逐号成立.故当b=c=抬时，AZBC周长的最大值3+2>J5.

考点：1.正弦定理；2.余弦定理：3.解三角形.

19.(本小题满分12分)如图(1),在平行四边形Z844中，

ZABB1=60°,AB=4,AA,=2,C,C,,

-10-

分别为48,44的中点.现把平行四边形/4GC沿CCl折起，如图（2）所示，连结

BIC,B∕,B[4.

(1)求证：AB11CC1；

（2）若ABl=网,求二面角C-/用一4的余弦值.

朗⑴图⑵

【答案】（1）证明见解析；（2）--

5

【解析】

试题分析：（1）根据线面垂直的性质定理，证明CG，平面2。耳，即可证明结论；（2）建

立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角c-/耳-4的余弦值.

试题解析：（1）由已知可得，四边形XoG4,5。G为均为边长为2的菱形，且4CG=乙B]GC=6（r.

在图（1）中，取CG中点。，连结，0/0/0,故AlOCl是等边三角形，所以XO_LCG，同理可

得，Bp_LCG,又因为X。CiB1O=0,所以CGɪ平面AOBx,又因为如IU平面X。用，所以

AB1ICC1.

图（I）

（2）由已知得，。/=。4=G,∕8∣=石，所以。12+。用=/用，故0Z_L0g.如图

-11-

(2),分别以

O4,OG,04为X轴，》轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，得

C(0,-l,0),51(G,θ,θ),∕(θ,θ,√j),4(0,2,6)，设平面C44的法向量

AB.[Jm=0

加=(XI,y,zj,/Bl=(G,0,一百)，zc=(o,-ι,-G),由—,得

ACDn=0

Xl-ʌ/ɜz.-0/—

ILl,令玉=1,得4=1,必=-百，所以平面的法向量为

-yl-√3z,=0

w=(l,-√3,l),设平面444的法向量

ABDt=0—VJz=0

，j一，得2

n=(x2,y2,z2^,ABi=(上,0,-石),44=(0,2,0),由

二

AAλEh=00

令》2=1，得Z2=l,%=0,所以平面/44的法向量为3=(1,0,1),于是

加Lh2VlO

COS<∕72,∏>=I=Ilz7=—/=-----尸=----,因为二面角C-Ng-4的平面角为钝角，所以二面

τnHyJ5×√25

角C-AB1一A1的余弦值为一'二.

ɪ15

考点：1.二面角的平面角及求法；2.线面垂直判定及性质.

2

20.(本小题满分12分)以椭圆M:0+/=1,>1)的四个顶点为顶点的四边形的四条边

与

□O:/+J?=1共有6个交点，且这6个交点恰好把圆周六等分.

(1)求椭圆V的方程；

(2)若直线/与□O相切，且椭圆M相交于P,。两点，求IPa的最大值.

-12-

【答案】(1)—+/=1；(2)√3.

3

【解析】

试题分析：(1)由题意得，4(0,1),B(αO),NQM=60°,从而得到。的值，由此能求出椭圆方程；(2)

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程可求出，当当直线/的斜率存在时，可设直线/的方程，利用根的判

别式，韦达定理，弦长公式，结合已知条件能求出IpQl的最大值.

粤所

试题解析：(D如图,依题意，4(0,l),3(a,0),NoZB=60°,因为tanN0Z5

∖AO

以6=q,得α=75,故椭圆的方程为—+/ɪl.

13^

(2)当直线/的斜率不存在时，直线I的方程为X=±1,代入9+/=1,得y=±彳，此时I乃21=弋.

当直线，的斜率存在时，设直线/的方程为P=H+胆，因为直线I与O。相切，所以-⅛s=l,即

√l+*^

21+/=L消去)，整理得(1+3/)，+6方亚+3(m2T)=0,

m=l+k1由｛3

y=AX÷TM

Δ=36⅛1-12(1+3^)(TM2-1)=12(1+3A2-m1)=24k1,由A>0,得上工0,设

6km3(-1)

P(XQJ,。仁2,必)，则x∣+Z=一/FEN2=Tk,所以

1+JK1~rɔ/t

1芭一%I=Ja+wy_4g=，所以

1I3K

IPq=J(XI-x2)+(必—^2)=Jl+%~lɪl-∙x2∣

-13-

,-------——-(1+左2)+2左2

=√iπ⅛^⅜=2G∕("∕)w2≤2√⅞2=瓜当且仅当

1+3/1+3公1+3公

∖+k2=2k2,即％=±ι时，|尸。|取得最大值√L综上所述，|p@最大值为JL

考点：1.椭圆的简单性质；2.直线与椭圆的综合；3.基本不等式.

【方法点睛】本题主要考查的是圆的方程，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础

知识，推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想，函数与方程思想，分类与整合思想，

属于中档题，解决本题的最重要的思想就是数形结合思想，通过图形分析出其满足的几何关

系，再通过韦达定理进行计算，即可求解，因此正确的利用圆的性质，椭圆的性质是解决问

题的关键.

21.(本小题满分12分)已知函数/(x)=lnx+@—l,a∈R.

X

(1)若函数/(x)的最小值为0,求α的值；

(2)证明：e*+(InX-I)SinX>0.

【答案】(1)1；(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)由题意得，/(x)的最小值问题，需要借助于导数，对比极值与端点值确定，

cinγ

而由最值也可确定出未知量Q;(2)借助第一问，将问题转化成最常见的形式：迫土.

X

试题解析：(1)/(x)=InX+@-1的定义域为(0,+8),且广(X)=,一0=一.若

XXXX

α<0,则/'(x)〉0,于是/(x)在(0,+8)上单调递增，故/(x)无最小值，不合题意，若

a>0,则当0<x<α时，/(x)<0;当x>α时，/'(%)>0.故/(x)在(0,4)上单调递

减，在(α,+∞)上单调递增.于是当x=α时，/(x)取得最小值ln“.由已知得Ino=O,解

得α=l.综上，a=∖.

-14-

(2)①下面先证当XE(O,乃时，/+(IuxT)SiDX>0,因为XE(O,犯，所以只要证----->1—ln%.

SlQX

由(1)可知JAl-ID%,于是只要证一—>白,即只要证x/-sinx>0,令力(X)=X^-SkIx,贝IJ

XSinXX

∕f(x)=(x+l)/—COSX,当O<%<〃时>A,(x)=(x+l)^x-COSX>1∙^°—1=0,所以力(x)在[0,万)单

调递增,所以当0<x<万时，λ(x)>A(O)=O,即涯X-SiDX>0,故当Xe(0,笈)时，不等式

/+(IiJX-I)SiDX>0成立.②当XE["+OO)时，由(I)⅛Q^>1-1DX3于是有X之I-ID即

XX

1+lnx

x≥l+lnx,所以e'≥e,即/≥exf又因为ex≥e(l+lnx),所以e'2e(l+lnx),所

以

ex+(lnx-l)sinx≥e(lnx+l)+(lnx-l)sinx=(β+sinx)lnx+(e-sinx)>0,综上，不

等式

ex+(lnx-l)sinx>O成立.

考点：L利用导数研究函数的单调性；2.利用导数证明不等式.

【方法点睛】本题主要考查的是函数最值问题，需要借助导数确定极值，然后与端点值对比

确定出最值，第二问考查的是出式常见形式的运用，需要熟记，属于难题，本题第一问属于

X

基础题，较简单，但对第二问有很大的影响，第一问的结论第二问是需要用到，主要求出导

数的零点进行讨论得到不等式恒成立，然后再对不等式进行合理变形即可求解，此题主要是

对导数研究函数的单调性的应用，合理变形是解决此类问题的关键.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请

写清题号.

22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，48,。,。是半径为1的口。上的点，8。=OC=1,□O在点3处的切线交的

延长线于点E.

(1)求证：NEBO=NC/。；

(2)若49为口。的直径，求SE的长.

-15-

B

【答案】（1）证明见解析；（2）√3.

【解析】

试题分析：（1）利用弦切角定理和圆周角定理能证明NEB。=Nc4。；（2）连结。8,则

OBLBE,由OB=OO=BO=I,能求出8E.

试题解析：（1）因为JE是O。的切线，所以/EBD=/E3,因为JBD=DC,所以前=比,

所以ZBAD=NcAD,所以ZEBD=ZCAD.

(2)若力。为□O的直径(如图)，连结08,则由。8=00=80=1,可得

RFI-

ZBOE=60°,在RfAOBE中，因为ta