高中数学必修二7 .1 复数的概念

7.1复数的概念(精讲)

思维导图

~形如a+bi(a,6CR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=-i.

定义---------------------------------------

复数通常用字母Z表示，即z=a+6i(a,6GR),

复

数

的设a,b,c,d都是实数，则a+bi=c+dioa=c且b=d,

概

念

①复数t=@+bi(。，b£R)二发平面内的点Z(%b)

几何意义②复数t=o+bi(a,b£R)二^平面向量血

向量诩模叫做复数：=a+bi(a,6CR)的模或绝对值

复数t=o+bi的模记为团或|a+bi|

|c|=|a+M|=Na?+b：

常见考法

考点一复数的实部虚部

[例1]（1）（2021•广东潮州•高一期末）复数z=i（l+i）的实部为（）

A.1B.-1C.iD.-i

（2）（2021•浙江温州•高一期末）i2021的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.~i

（3）（2021•全国•高一课时练习）若复数z=i-U+i）（a£R,i为虚数单位）的虚部为2,贝ija=（）

A.-2B.2

C.-1D.1

【答案】（1）B（2）A（3）B

【解析】⑴•••z=i（l+i）=i+i2=—1+i,.•.实部为一1,故选：B.

⑵因为严'=（『严i=i,.宁⑼的虚部为1.故选:A.

（3）z=i1（a+i）=-l+“i,

由于复数z=i・（a+i）（a£Ri为虚数单位）的虚部为2,・,.a=2,故选：B.

【一隅三反】

1（2021•广东•深圳市南山区华侨城中学高一月考）若复数z满足z=6i+罚，则z的虚部是（）

A.-2iB.6iC.1D.6

【答案】D

【解析】z=6i+2i2=-2+6i,则z的虚部6,故选:D.

2.（2021•福建莆田•高一期末）若复数z=l-玲，则z的虚部是（）

A.-2B.-2iC.2D.2i

【答案】A

【解析】因为j2=—],所以i，=i?Xi?xi=i,z=1—2i5=1—2i»所以复数/的虚部是—2.故选：A.

3.(2021•全国•高一课时练习)设复数z满足z-p|=i-2,则z的虚部为()

33

A.—B.—C.iD.1

44

【答案】D

【解析】设复数z=x+yi,xeR,yeR,由z-卜卜i-2,得(x+负)一厅行'=i一2,

即(x-a+y2)+yi=-2+i,解得，y=l,故z的虚部为1.故选：D.

考点二复数的分类

【例2】(2021•福建省建瓯市芝华中学高一月考)己知复数2=反烹詈+(/-5,w-6)i(,weR),试求实

数卬的值或取值范围，使得z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.

【答案】(1)，〃=6；(2)1)0(1,6)u(6,+a));(3)不存在实数加使得z为纯虚数.

w?~—Sm—6=0Itn——=6

,，八'得，口，所以〃，=6,即当帆=6时，z为实数.

{m--1^0,[加工1且加二一1,

(2)当z为虚数时，有6Ho且川-1工0,所以〃2K-1且加片6且ZMWI,

即当，1)5-1,1)。(1,6)"6,+00)时，z为虚数.

IYT-5m-6w0,m*一1且机*6,

(3)当z为纯虚数时,/<m2-7TH+6所以■胴=6或胴=1,故不存在实数”使得z为纯虚数.

=0,

nV-1mw1且加H-1,

【一隅三反】

1.(2021•全国•高一课时练习)i是虚数单位，复数z=(a+i)(l+2i)为纯虚数，则实数“为()

A.—2B.2C.—D.!

22

【答案】B

。一2=0

【解析】由题意，z=(a+i)(l+2i)=(T)+(2a+l)喏z为纯虚数,则故选：B

2.(2021•全国•高一课时练习)设a,6CR,i是虚数单位，则“a6R”是“复数aVi为纯虚数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】•.•"”〃=(),则。=0或6=0”，"复数从为纯虚数”则。=0且6x0,

・「劭=0”是"复数。-加为纯虚数”的必要不充分条件.故选：B

3.(2021•广东•徐闻县第一中学高一期中)已知复数z=(疗+5利+6)+(疝-2m—15)i(meR).

(1)若复数z是实数，求实数机的值；

(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围；

(3)若复数z是纯虚数，求实数机的值：

【答案】⑴5或-3；⑵｛向，"5且机~3｝；(3)/n=-2.

【解析】⑴由题意，复数znW+Sm+eHW-2m_i5)i(,〃eR)

因为复数z是实数，可得2〃?-15=0时，解得桃=5或-3,即实数m的值为5或-3.

(2)因为复数z是虚数，可得毋-2〃L15Ho时，解得“45且〃?w-3.

所以实数"?的取值范围为仙|加工5且相〜3｝.

(3)因为复数z是纯虚数，可得,'"-¥一:：°,解得帆=-2.

[m+5m+6=0

考点三复平面

【例3】(1)(2021•广东电白•高一期中)设z=-3-2i,则在复平面内z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

(2)(2021•全国•高二课时练习)向量OZ；对应的复数是5-4i,向量函对应的复数是-5+4i,则OZ；+困

对应的复数是()

A.-10+8iB.10-8i

C.0D.10+8i

⑶(2021•全国•高一课时练习)复数z=x-2+(3-x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范

围是.

【答案】⑴C⑵C(3)(3,+oo)

【解析】(1)由题意知：z=-3-2i,复数在复平面内对应的点为(-3,-2),

故在复平面内z对应的点位于第三象限.故选：C.

⑵由题意可知：6>Z,'=(5,-4).OZ；=(—5,4),二两+鬲'=(5,T)+(-5,4)=(0,0).

，西+因对应的复数是0.故选：C

|x-2>0

（3）因为复数z在复平面内对应的点在第四象限，所以八解得x>3.故答案为：（3,+oo）

[3-x<0

【一隅三反】

1.（2021建国高一课时练习）复数z=3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z，则对应的向量无|为（）

A.-3-4iB.4+3iC.-4-3iD.-3+4i

【答案】A

【解析】：复数z=3+4i对应的点Z（3,4）关于原点的对称点为7.（-3,-4）

对应的向量应।=-3-4i故选：A.

2.（2021•全国•高一课时练习）复数z=（4-2e）+（a2-a-2）?的共物复数彳对应的点在虚轴上，则实数a的

值为（）

A.a=0或a=2B.a=0

C.a^l,且a#2D.a#l或a#2

【答案】A

【解析】•.•复数乞=（a3a）+Q2-a"”对应的点在虚轴上，.•♦也打力，.,.aR或故选:A.

3.（2021•全国•高一课时练习）复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（）

A.方=（1,2）B.。方=（-3,0）

C.反=（。，|）D.OD=（-1，-2）

【答案】C

【解析】向量反=（（），|）对应的复数为|/,是纯虚数.故选：C

4.（2021•重庆实验外国语学校高一期中）四边形A88是复平面内的平行四边形，已知A、B、C三点对应

的复数分别是l+3i,-i,2+i,则向量而所对应的复数是（）

A.l-2iB.2+2iC.2-2iD.3+6i

【答案】D

【解析】依题意A（1,3）,6（O,T）,C（2,1）,所以AC中点为g,2）,所以£>（3,5）,

所以加=（3,6）,对应复数为3+6i.故选：D

考点四复数的模长

【例4】（1）（2021•吉林吉林•高三月考（文））若复数z=?,其中i为虚数单位，则|z|=（）

A.V2B.1C.也D.2

2

（2）（2021•全国•高一课时练习）关于复数z的方程/z/+2z=13用i的解是0

A.3掰iB.4+3i

因为13—2x20,故所以x=于不符合要求，故z=4+3i.故选：B

【一隅三反】

1.（2021•安徽滁州,高一期中）若复数z满足z-（l+i）=2i,则z的模是（）

A.72B.2C.MD.10

【答案】C

【解析】由z—（l+i）=2i,得z=2i+（l+i）=l+3i,则|z|=JI5.故选：C

2.（2021•浙江浙江•高一期末）若复数z满足z+25=3-i,则|z|=（）

A.1B.72C.6D.2

【答案】B

【解析】设z=a+砥。,6eR）,则2=所以。+加+2（。-沆）=3-i,fi|J3a—bi=3—i,

所以a=l,0=1,z=\+i,所以|z|=ViTT=VL故选：B

3.（2021•全国•高一课时练习）若复数z=（序⑼+（/+2w-3）j是纯虚数，其中如GA,则/z/-—,z=

【答案】12-12/

【解析】由条件知愧鸳血所以行,

因此z=\2i,故/z/=12,5=-12上故答案为：12；-12;

4.（2021•全国•高一课时练习）若复数z满足z+|z|=2,则2=

【答案】1

【解析】设2=。+5(兄〃€1<),所以z+|z|=a+Ai+，6+从=2,

所以1+&+从=2,解得[：=：,所以z=i.故答案为：1

b=01。=0

考点五复数的综合运用

【例5】(1)(2021•河北•张家口市第一中学高一月考)已知a,6wR,(a-l)i—b=3-2i,z=Q+i尸,则

下列结论错误的是()

A.z的虚部是2B.|z|=2

C.z=-2iD.z对应的点在第二象限

(2)2021哈国福一课时练习)已知“"cR,若b+(a-6)i>2(7•为虚数单位)，则”的取值范围是()

A.a>2或4〈一1B.々>1或。<一2C.-l<a<2D.-2<a<\

【答案】(1)D(2)A

【解析】⑴由复数相等可得厂解得?所以z=(i+i)“"=(i+i)2=2i,

z的虚部是2,所以A选项正确；

|z|=|2i|=2,所以B选项正确；

z=-2i，所以C选项正确；

z对应的点在虚轴上，所以1)选项不正确.

故选：D.

(2)由题意，/-6+(a->2故/-b+(a-为实数

\a-b=Q,

•>>,〜a~-a—2>0(a-2)(a+1)>0•-a>2或a<—1故选：A

[a-h>2

【一隅三反】

1.(2021•全国•高一课时练习)(多选)实数*,y满足(l+i)x+(l-i)y2设z=x+yi,则下列说法正确的是

()

A.z在复平面内对应的点在第一象限

B.『z/二'尬'

C.z的虚部是i

D.z的实部是1

【答案】ABD

[x+y-2=0,

【解析】实数必y满足（l+i）x+（lT）y3,可化为iR,二八解得x可二1,

[x-y=0,

/.z=xtri=l+i.

对于A,z在复平面内对应的点的坐标为（1,1）,位于第一象限，故A正确.

对于B,/z/=477=0,故B正确.

对于C,z的虚部是1,故C错误.

对于D,z的实部是1,故D正确.

故选:ABD.

2.（2021•山东莱西•高一期末）（多选）设复数z=m（3+i）-（2+i）,i为虚数单位，加eR,则下列结论正

确的为（）

A.当2;<〃?<1时，则复数z在复平面上对应的点位于第四象限

B.若复数z在复平面上对应的点位于直线x-2y+l=0上，则加=1

C.若复数z是纯虚数，则机=：

D.在复平面上，复数z-1对应的点为Z',。为原点，若|两卜而，则机=2

【答案】AC

【解析】由z=m（3+i）-（2+i）,得z=（3，w-2）