第1讲　万有引力与宇宙航行高考物理总复习新教材版

第五章

万有引力与宇宙航行

第«》讲万有引力与宇宙航行

［教材阅读指导］

（对应人教版新教材必修第二册页码及相关问题）

P45开普勒行星运动定律的表述。

提示：开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭

圆的一个焦点上。

开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫

过的面积相等。

开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方

的比都相等。

BP45~46,对行星运动轨道简化为圆轨道后的开普勒三个定律的表述。

提示：（1）行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。

（2）对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）大小不变，即

行星做匀速圆周运动。

（3）所有行星轨道半径「的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，

艮|372=ko

BP48［练习与应用仃2。

提示：近地点的速度较大。

IBP49〜50阅读“行星与太阳间的引力”这一部分内容，太阳与行星间引

力公式依据什么推导出来的？

提示：依据开普勒行星运动定律和圆周运动向心力公式及牛顿第三定律推导

出来的。

领P51什么是月一地检验？

提示：地面物体所受地球的引力，月球所受地球的引力，与太阳、行星间的

引力遵从相同的规律。

I@P52引力常量是如何测得的？数值为多少？

22

提示：英国物理学家卡文迪什利用扭秤装置测得G=6.67X10-uN-m/kgo

B13P55~58万有引力理论的成就有哪些？

提示：“称量”地球的质量、计算天体的质量、发现未知天体、预言哈雷彗

星回归。

10P59〜60阅读“宇宙速度”这一部分内容，发射地球卫星的最小速度是

多少？有哪两种计算方法？

提示：7.9km/so

9_、+GMmmv2［GM_,

方法一：~^~=丁,o='/-^-=7.n9km/s；

_my—i-

方法二：v=\］gR='7.9km/so

®P64［科学漫步］,黑洞的特点是什么？

提示：黑洞是引力非常大的天体，光以3X108m/s的速度都不能从其表面逃

逸。

］；；；

i则P71［复习与提高B组T2T3T4T6O

提示：T2：将行星看作球体，设半径为R,质量为加星，则行星的密度为，

加星m星

=v=4^°卫星贴近行星表面运行时，运动半径为R，由万有引力提供向心力

Gm是m4兀24兀3兀

可知一亍R,即"2星=3正。由此可以解得272=万，式中G为引力常量,

可见pT2是一个对任何行星都相同的常数。

温馨提示：当卫星贴着行星表面飞行时，只要有一个计时工具就可以知道行

星的密度。

T3：36R2。质量分布均匀的球体之间的万有引力可以等效为质量集中在

两球心的两个质点之间的万有引力，直接代公式可求。本题采用先填补成完整的

球体，再减去补上的小球部分产生的引力的方法来求解。

T4：4ho地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也

Gmwtn4兀2[ATVT1

应随之变小，由}，吁「，可得丁=\/贰，故卫星与地球间的距离变小。

要想仅用三颗同步卫星来实现地球赤道上任意两点之间保持无线电通信的目的，

最小的轨道半径对应的几何关系为卫星连线正好和地球相切，如图所示。由几何

关系可推出最小半径，从而得到最小周期。

T6：r^l.l年。海王星的轨道半径最大，海王星相邻两次冲日的时间间隔最

短。

行星冲日现象可类比田径场跑道上的运动员的追及相遇问题。轨道半径越大

的行星公转周期越长，轨道半径越小的行星公转周期越短，公转周期短的不断超

越公转周期长的。地外行星的公转周期都比地球的公转周期长，地球的公转周期

最短，每超越一次就发生一次冲日。行星与地球的公转周期相差越大，冲日的周

期就越短。

物理观念mi顾与重建|

物理观念1开普勒行星运动定律

1.定律内容

（1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是画椭圆,太阳处在椭

圆的一个画焦点上。

(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内

扫过的画面积相等。

(3)开普勒第三定律:所有行星轨道的画半长轴的三次方跟它的画公转周期

的二次方的比都相等，即迈破三£

2.适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。

物理观念2万有引力定律及应用

1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，

弓I力的大小与51物体的质量如和冲的乘积成正比,与应］它们之间距离/•的二

次方成反比。

2.公式：尸=圆端等，其中G叫作引力常量，G=6.67X10-11N-m2/kg2,

其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。

3.适用条件：适用于两个画质点或均匀球体；「为两质点或均匀球体球心

间的距离。

4.万有引力理论的主要成就

(1)发现未知天体。

(2)计算天体质量。

物理观念3环绕速度

1.第一宇宙速度数值为国Z2km/s。

2.第一宇宙速度是人造卫星在画地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时

具有的速度。

3.第一宇宙速度是人造卫星的最小画发射速度，也是人造卫星的最大国坯

绕速度。

4.第一宇宙速度的计算方法

⑴由=哈,解得:0=国^^^；

(2)由〃吆=般,解得：v=[06|\[^RO

物理观念4第二宇宙速度和第三宇宙速度

1.第二宇宙速度(脱离速度)

使物体挣脱回1地球引力束缚的最小发射速度,其数值为国lUkm/s。

2.第三宇宙速度(逃逸速度)

使物体挣脱南太阳引力束缚的最小发射速度,其数值为画由2km/s。

物理观念5相对论时空观与牛顿力学的局限性L相对论时空观

(1)爱因斯坦的两个假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是画相

回的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是画相圆的。

(2)同时的相对性：根据爱因斯坦的假设，如果两个事件在一个参考系中是同

时的，在另一个参考系中画不一定是同时的。

(3)爱因斯坦假设的结果

①时间延缓效应

如果相对于地面以。运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完

成某个动作的时间间隔为△工，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔

为加，那么两者之间的关系是△/=画AT

②长度收缩效应

如果与杆相对静止的人测得杆长是/。，沿着杆的方向，以。相对杆运动的人

测得杆长是1,

2.牛顿力学的成就与局限性

(1)牛顿力学的成就

牛顿力学的基础是画牛顿运动定律。牛顿力学在画宏观、网低速的广阔

领域里与实际相符，显示了牛顿运动定律的正确性和牛顿力学的魅力。

(2)牛顿力学的局限性

①物体在以接近回光速运动时所遵从的规律，有些是与牛顿力学的结论并

不相同的。

②电子、质子、中子等微观粒子不仅具有粒子性，同时还具有「同波动性,

它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明，而叵］量子力学能够很好

地描述微观粒子运动的规律。

③基于实验检验的牛顿力学不会被新的科学成就所否定，而是作为某些条件

下的回特殊情形,被包括在新的科学成就之中。当物体的运动速度同远小于光

速C时，「回相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别；当另一个重要常数即普

朗克常量h可以忽略不计时，「内量子力学和牛顿力学的结论没有区别。相对论

与量子力学都没有否定过去的科学，而只认为过去的科学是自己在同一定条件

工的特殊情形。

/必备知识夯实

-堵点疏通

1.只有天体之间才存在万有引力。（）

2.行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。

（）

3.人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。（）

4.地球同步卫星一定在赤道的正上方。（）

5.同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。（）

6.发射火星探测器的速度必须大于lL2km/s。（）

答案1.X2.V3.V475.V6.V

二对点激活

1.关于万有引力公式尸=染詈，以下说法中正确的是（）

A.公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体

B.当两物体间的距离趋近于。时，万有引力趋近于无穷大

C.两物体间的万有引力也遵从牛顿第三定律

D.公式中引力常量G的值是牛顿规定的

答案C

解析万有引力公式b=G管适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两

物体间距离趋近于0时，两个物体就不能看作质点，故尸=G-=已不再适用，

所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误；两物体间的万有引力也遵从

牛顿第三定律，C正确；G的值是卡文迪什通过扭秤实验测得的，D错误。

2.（人教版必修第二册RE改编）火星的质量和半径分别约为地球的会和;,

地球的第一宇宙速度为火则火星的第一宇宙速度约为（）

A.坐。B.小0

C.-\[2vD.

答案A

2

,GMmrtrv-……、士』IGMv,/M火R

解析由求得第一于由速度。=7天,故k"==

{I，所以。火=坐以故A正确。

3.（人教版必修第二册P58-T4节选）地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨

道则是一个非常扁的椭圆，如图所示，天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，

哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。

请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多

少倍。

地球、.......................

哈雷彗星

太阳鱼

哈宙磐星轨道示意图

答案17.8

解析设地球绕太阳公转的轨道半径为品，周期为小，哈雷彗星绕太阳公转

的轨道半长轴为凡周期为T,由题意可知T=2061年-1986年=75年，根据开

普勒第三定律,=左，有笔笔,则就=\/*17.8。

核心素养发展与提升|

考点1开普勒三定律的理解与应用fl

［科学思维梳理］

1.微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点

连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为。、b,取足够短的时间

加,则行星在加时间内的运动可看作匀速直线运动，由=S,知

7）1r）

可得加=工。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。

2.行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。

3.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

4.开普勒第三定律堤=女中，左值只与中心天体的质量有关，不同的中心天

体左值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。

例1（2017•全国卷11）（多选）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日

点，。为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为To。若只考虑海

王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中（）

M

海王星丁」....」

底…♦....!"

\太阳：

A.从P到M所用的时间等于生

B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大

C.从尸到Q阶段，速率逐渐变小

D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

［答案］CD

［解析］由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面

积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外,

没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从尸到。阶段，万有引力

做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从

M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负

功后做正功，D正确。

［关键能力升华］

绕太阳沿椭圆轨道运行的行星越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星

到太阳的距离成反比，在近日点线速度最大。

［对点跟进训练］

（开普勒第三定律的应用）（2021•全国甲卷）2021年2月，执行我国火星探测任

务的“天间一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为

1.8Xl（）5s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8X105m。已知

火星半径约为3.4X106m,火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2,则

“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（）

A.6X105mB.6X106m

C.6X107mD.6X108m

答案C

解析设沿火星表面运动的卫星的绕行周期为n,则有裁="［$）次，在

火星表面处有半=mg,联立可得n=2兀、监；设“天问一号”的停泊轨道与

d\+"2+2R

火星表面的最近距离为4,最远距离为力,则停泊轨道的半长轴为。=---5----，

由开普勒第三定律可知H，由以上各式联立，可得%=2萨簪-4-

2/?^6X107m,故C正确。

考点2万有引力定律及其应用镯

考向1万有引力定律的理解及简单应用

［科学思维梳理］

1.万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力厂可分解为：重力mg,提供物体随地球自转的向心

力F向0

2

(1)在赤道上：6嘴=mg\+m(oRo

(2)在两极上：G^=

(3)在一般位置：万有引力G黑等于重力〃取与向心力尸向的矢量和。

越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向

心力较小，通常可认为万有引力近似等于重力，即窄‘=mg。

2.星球上空的重力加速度g'

GMm

设星球上空距离星体中心/•=/?+〃处的重力加速度为g',则〃吆'=再存,

3.万有引力的“两点理解”和“两个推论”

(1)两点理解

①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。

②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力。

(2)两个推论

①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合

力为零，即引=0。

②推论2:在匀质球体内部距离球心/•处的质点(〃?)受到的球体其他部分物质

的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F=

M'm

-----r9-

4.万有引力定律的表达式尸=G—R适用于计算质点或匀质球体间的万有引

力。当物体间的作用力不符合万有引力公式的适用条件时，可以把物体分成若干

部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。

例2（2020・全国卷I）火星的质量约为地球质量的强，半径约为地球半径的

则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（）

A.0.2B.0.4

C.2.0D.2.5

【答案］B

M.m

［解析］设该物体质量为则在火星表面有/火=G"含k在地球表面有尸

1R1、14

地

火

火

一2-

=G---=--=X

地R21

10地W10

=0.4,故B正确。

［对点跟进训练］

1.（万有引力定律的应用）（2021・山东高考）从“玉兔”登月到“祝融”探火,

我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9

倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。

在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停

时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（）

A.9：1B.9：2

C.36:1D.72:1

答案B

解析悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力等于各自所受的

万有引力，根据小卷，可噫受乂念梭卜如吩骂,故选B.

2.（万有引力定律的应用）理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体

的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，。为球

心，以。为原点建立坐标轴必，如图所示。一个质量一定的质点（假设它能够在

地球内部移动）在龙轴上各位置受到的引力大小用尸表示，则尸随x的变化关系图

像正确的是（）

答案A

解析根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地

球的内部离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的同心球体对质点

的万有引力，所以尸二G—=6卷4,其中Q为地球的密度，加为质点的

质量；当质点在地球球面或球面以外，离球心x处时，地球可以看成质量集中于

球心的质点，对质点的万有引力尸=G誓，其中M为地球的质量。综上所述，当

时，F与x成正比，当尤2R后，F与x的平方成反比，所以A正确。

考向2天体质量和密度的估算

［科学思维梳理］

1.重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。

（1）由3笔=〃吆得天体质量加=若。

⑵天体密度P=~y=4=4TIGR°

2.天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径一和周期几

⑴由）袈=机等得天体的质量Af=会g。

A/M3兀，,

（2）若已知天体的半径R,则天体的密度/=歹=厂=乔#。

铲口

（3）若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径/•等于天体半径R,则天体密度

37c

P=乔，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体

的密度。

注：若已知的量不是八T,而是八。或以T等，计算中心天体质量和密度

Mmv2v2r

的思路相同。若已知八V,利用（^-="7得M=c。若已知0、T,可先求出

r=去再利用=或（7华=唐（第2r求加。若已知。、T则不能求出M。

例3（2021.广东高考）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱

成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常

量，由下列物理量能计算出地球质量的是（）

A.核心舱的质量和绕地半径

B.核心舱的质量和绕地周期

C.核心舱的绕地角速度和绕地周期

D.核心舱的绕地线速度和绕地半径

［答案］D

［解析］根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得笔

4兀之v^r①4兀2户

=m-=mco2r=m-^r,贝可知要计算地球的质量M,除引

力常量G外，还要知道核心舱的绕地半径「及绕地线速度以绕地角速度⑦或绕

地周期T中的一个。所以若已知核心舱的质量和绕地半径或已知核心舱的质量和

绕地周期，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，

不能计算出核心舱的绕地半径，也不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地

v2r

线速度和绕地半径，可由加=不计算出地球的质量。故D正确，A、B、C错误。

［关键能力升华］

估算天体质量和密度时应注意的问题

（1）利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中

心天体的质量，并非环绕天体的质量。

（2）区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近运动的卫星才有

4

r^R',计算天体密度时，丫=铲/?3中的R只能是中心天体的半径。

GMm

（3）在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有卞-=mgo

［对点跟进训练］

（天体质量的求解）（2017.北京高考）利用引力常量G和下列某一组数据，不能

计算出地球质量的是（）

A.地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）

B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期

C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离

D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离

答案D

解析根据隼=〃琢可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的

质量，A能；根据净=〃哈及可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做

Mm4兀一

圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据6尸=根亍厂可知，已

知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，

C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的

质量，不能求出地球的质量，D不能。

考点3人造卫星的运动规律fl

［科学思维梳理］

1.人造卫星的运动规律

⑴一种模型：无论自然天体（如地球、月亮）还是人造天体（如宇宙飞船、人造

卫星)都可以看成质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。

(2)两条思路

①万有引力提供向心力，即G华=mano

②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即5=或gR2=

GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gK=GM应用广泛，被称

为“黄金代换”。

(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)

物理量推导依据表达式最大值或最小值

Mmv2GM当r=R时有最大值，。=

线速度

7.9km/s

Alm

角速度G~~2~=mco7r当r=火时有最大值

Mm但6当〃二尺时有最小值，约85

周期T=2n、

俄min

MmGM当r=R时有最大值，最大

向心加速度

G~p~=man«n=­

值为g

轨道平面圆周运动的圆心与中心天体中心重合

共性：轨道半径越小，运动越快，周期越小

2.地球同步卫星的特点

(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T=24h=86400s。

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。

Mm4兀231GM/

(4)高度一定：据^^厂二府产厂得/=y4兀2=4.23X1()4km,卫星离地面

高度/?=一7?七6R(为恒量)。

(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。

3.极地卫星和近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现

全球覆盖。

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨

道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/so

(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

例4(2021.海南高考)2021年4月29日，我国在海南文昌用长征五号B运

载火箭成功将空间站天和核心舱送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为

400km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000km。则该核心舱的()

A.角速度比地球同步卫星的小

B.周期比地球同步卫星的长

C.向心加速度比地球同步卫星的大

D.线速度比地球同步卫星的小

［答案］C

［解析］核心舱和地球同步卫星都是由万有引力提供向心力而做匀速圆周运

V2[GM、尸GM

动，有，町7,可得co=\~rr,1=21C\]'GM'a=~F'

v=而核心舱运行轨道距地面的高度为400km左右，地球同步卫星距地

面的高度接近36000km,有r舱＜r同，故有。舱同，T舱＜T同，a舱＞。同，0舱＞0同,

即核心舱的角速度比地球同步卫星的大，周期比地球同步卫星的短，向心加速度

比地球同步卫星的大，线速度比地球同步卫星的大，故A、B、D错误，C正确。

［关键能力升华］

人造卫星问题的解题技巧

(1)灵活运用卫星运动的动力学方程的不同表述形式：

22

我普=man=iny=ma)r="(爷［2r=m(2nf)ro

(2)第一宇宙速度的两种计算方法：

①。=A/=7.9km/s；

②o=yjUg=7.9km/So

(3)同步卫星的特点：①具有特定的线速度、角速度和周期；②具有特定的位

置高度和轨道半径；③运行轨道平面必须处于地球赤道平面上。

注：比较卫星与地球表面的物体的运动参量时，可以间接通过比较卫星与同

步卫星的参量来确定。

(4)天体相遇与追及问题的处理方法

首先根据丁=加皿2判断出谁的角速度大，然后根据两星转动的角度关系

求解。当两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2兀的整数倍，即。"

一“Bl”如(U=1,2,3…),相距最远时两星运行的角度差等于兀的奇数倍,即。A，

-a)Bt=Qn+1)兀(〃=0,1,2…)。

［对点跟进训练］

1.(天体的运动规律)(2020.北京高考)我国首次火星探测任务被命名为“天问

一号"。已知火星质量约为地球质量的10%,半径约为地球半径的50%,下列说

法正确的是()

A.火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度

B.火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间

C.火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度

D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度

答案A

解析当发射速度大于地球的第二宇宙速度时，火星探测器才能克服地球引

力的束缚进入太阳系空间，从而被火星引力俘获，故A正确，B错误；对于在星

球表面附近做匀速圆周运动的物体，所受万有引力提供向心力，则有华=爷,

解得该星球的第一宇宙速度为S=所以火星的第一宇宙速度为◎火=

即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙

速度，故C错误；对于在星球表面的物体，忽略星球的自转，则所受万有引力近

似等于物体在该星球所受的重力，即k=mg星，解得该星球表面的重力加速度

GMGM,火10%GM地2

g星=商,所以火星表面的重力加速度为g火=募"=QO%）2R.=地，即火星表

面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。

2.（人造卫星的运动规律）（2021.辽宁高考）（多选）2021年2月，我国首个火星

探测器“天间一号”实现了对火星的环绕。若已知该探测器在近火星圆轨道与在

近地球圆轨道运行的速率比和周期比，则可求出火星与地球的（）

A.半径比B.质量比

C.自转角速度比D.公转轨道半径比

答案AB

V火

解析设该探测器在近火星圆轨道与在近地球圆轨道运行的速率比广

0地

T火

周期比选=仇探测器在近星球轨道做圆周运动时，其轨道半径等于星球的半径，

/地

所以根据2兀火="可得火星与地球的半径比”=,黄=血故A正确；根据万

K地。地/地

2

MmvV2RM火

有引力提供向心力，有k=〃?左，解得M=不，所以火星与地球的质量比武

况R*、,

=^--^=a2-ab=a3b,故B正确；由于不知道火星与地球的同步卫星轨道半径比

0地门地

或自转周期比，所以无法求解火星与地球的自转角速度比，故C错误；由于不知

道火星与地球围绕太阳公转的速度比或周期比，所以无法求解火星与地球的公转

轨道半径比，故D错误。

3.（综合）有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表

面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探

测卫星。各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是（）

A.a的向心加速度大于b的向心加速度

B.四颗卫星的速度大小关系是：0a>Vb>0c>Od

c.在相同时间内d转过的弧长最长

D.d的运动周期可能是30h

答案D

解析由题意可知，卫星a、c的角速度相同，根据而=苏乙可知a的向心

加速度小于c;b、c是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有：G誓

=man,得：斯=誓，可知b的向心加速度大于c；综上分析可知，a的向心加速

度小于b的向心加速度，故A错误。因为a、c的角速度相同，根据。=w,可知

a的速度大小小于c,即％<&；b、c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力

提供向心力有：=帆?，得：0=因rb<rc<rd,则Vb>vc>vd,故

B错误。因b的线速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，故C错误。c、

d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力得：因d的轨

道半径大于c的轨道半径，则d的周期大于c,而c的周期是24h,则d的运动

周期可能是30h,故D正确。

4.（天体的运动规律）（2021.湖北高考）2021年5月，天问一号探测器软着陆火

星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为

圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26

个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（）

A.地球与火星的动能之比

B.地球与火星的自转周期之比

C.地球表面与火星表面重力加速度大小之比

D.地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比

答案D

解析设地球和火星的公转周期分别为7、72,由题意知火星和地球每隔约

f=26个月相距最近一次，又火星的轨道半径大于地球的轨道半径，则楙-，=1,

可解得了2=半月，则地球与火星绕太阳的公转周期之比T\：72=12：岑=7：

13,但不能求得地球与火星的自转周期之比，B错误；由开普勒第三定律、=*可

M大M星"l

求得地球与火星的轨道半径之比，又由G噪星=M册得。=\IGMT，则地球

与火星的线速度之比可以求得，但由于地球与火星的质量关系未知，因此不能求

得地球与火星的动能之比，A错误；由。款=/%得8=—由于地球和火星

的质量关系以及半径关系均未知，则不能求得地球表面与火星表面重力加速度大

小之比，C错误；由G曾产=加星。得a=7主，由于两星球的轨道半径之比可

以求得，则地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比可以求得，D正确。

考点4卫星变轨问题镯

［科学思维梳理］

当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向

心力，卫星的轨道将发生变化。

1.卫星轨道的渐变

Mmv2

(1)当卫星的速度增加时，G—<m-,即万有引力不足以提供向心力，卫星

将做离心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度增加很缓慢，卫星每转一周均可看

成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道运行时,

由。='怦可知其运行速度比在原轨道时小。例如，由于地球的自转和潮汐力，

月球绕地球运动的轨道半径缓慢增大，每年月球远离地球3.8厘米。

Mmv~

⑵当卫星的速度减小时，即万有引力大于所需要的向心力，卫

星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可

看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行

时，由。='怦可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀

薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。

2.卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动

飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，

发射同步卫星时，可以分多过程完成：

(1)先将卫星发送到近地轨道I,使其绕地球做匀速圆周运动，速率为5。

⑵变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由S增加到V2,这时‘等<吟,

卫星脱离原轨道做离心运动，进入椭圆形的转移轨道II。

(3)卫星运行到远地点。时的速率为。3,此时进行第二次点火加速，在短时间

内将速率由。3增加到。4,使卫星进入同步轨道川，绕地球做匀速圆周运动。

飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反

的过程，通过突然减速，牛〉〃??，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处

返回地面。

3.卫星变轨时一些物理量的定性分析

(1)速度：设卫星在圆轨道I、III上运行时的速率分别为5、。4,在轨道II上

过P、Q点时的速率分别为02、03,在P点加速，则V2>Vl；在Q点加速，则04>。3。

又因Vi>V4,故有。2>01>。4>S。

(2)加速度：因为在P点不论从轨道I还是轨道II上经过，P点到地心的距离

都相同，卫星的加速度都相同，设为即。同理，在Q点加速度也相同，设为0Q。

又因。点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ<aPo

(3)周期：设卫星在I、II、III轨道上运行周期分别为71、72、八，轨道半径

或半长轴分别为「、力、门，由缶女可知八＜72＜八。

例5（2021.天津高考）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功,

迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天间一号

探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道

调整，探测器先沿椭圆轨道।运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道II运

行，如图所示，两轨道相切于近火点P,则天间一号探测器（）

A.在轨道II上处于受力平衡状态

B.在轨道I运行周期比在II时短

C.从轨道I进入II在P处要加速

D.沿轨道I向尸飞近时速度增大

［答案］D

［解析］天间一号探测器在轨道II上做变速运动，受力不平衡，故A错误；

轨道।的半长轴大于轨道II的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道।运行

周期比在II时长，故B错误；天间一号探测器从轨道I进入II,是从高轨道进入

低轨道，则应在P处减速，故C错误；天问一号探测器沿轨道I向P飞近时，万

有引力做正功，动能增大，速度增大，故D正确。

［关键能力升华］

航天器变轨问题的三点注意事项

（1）航天器变轨时半径（半长轴）的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关

系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由。=、片判断。两个不同轨道的

“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。

（2）航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径（半长轴）越大，机械能

越大。

只考虑万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，

机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正

功，动能反增大，引力势能减小。

（3）两个不同轨道的“切点”处加速度。相同。

［对点跟进训练］

1.（卫星变轨问题）（2021•福建省厦门市高三三模）（多选）“嫦娥五号”从环月

轨道I上的P点实施变轨，进入近月点为Q的环月轨道II,如图所示，则“嫦娥

五号"（）

A.在轨道II上的机械能比在轨道I上的机械能小

B.在轨道II运行的周期比在轨道I上运行的周期大

C.沿轨道I运动至P点时，点火后发动机喷气方向与运动方向相同才能进

入轨道II

D.沿轨道II运行在P点的加速度大于沿轨道I运行在P点的加速度

答案AC

解析同一卫星绕行的轨道半径（或半长轴）越大机械能越大，故可知“嫦娥

五号”在轨道II上机械能小，A正确；由开普勒第三定律可知，“嫦娥五号”在

轨道II运行的周期比在轨道।上运行的周期小，故B错误；“嫦娥五号”沿轨道

I运动至P点时进入轨道II,需要制动减速，所以点火后发动机喷气方向与运动

方向相同，故C正确；由牛顿第二定律可知，“嫦娥五号”沿轨道II和轨道1运

行到尸点的加速度相同，故D错误。

2.（卫星变轨问题）（2021.浙江6月选考）空间站在地球外层的稀薄大气中绕行,

因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行

修正。图中给出了国际空间站在2020.02〜2020.08期间离地高度随时间变化的曲

线，则空间站（）

A.绕地运行速度约为2.0km/s

B.绕地运行速度约为8.0km/s

C.在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒

D.在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒

答案D

解析由题意可知，空间站绕地运行的轨道半径略大于地球半径，根据

可知,空间站绕地运行速度略小于地球的第一宇宙速度7.9km/s,故A、B

错误；由图中曲线知，在4月份空间站绕行的轨道半径出现明显变化，则可知空

间站的发动机做功对轨道进行了修正，修正时空间站的机械能明显变大，不可视

为守恒，故C错误；由图中曲线知，在5月份空间站绕行的轨道半径变化很小，

故任意两个小时内机械能可视为守恒，D正确。

启智微专题建模提能2双星、多星模型

前面我们讨论的是类似太阳系的单星系统，其特点是有一个主星，质量远大

于周围的其他星体，可以看成近似不动，所以其他星体绕它运动。除此之外，在

宇宙空间，还存在两颗或多颗质量差别不大的星体，它们离其他星体很远，在彼

此间的万有引力作用下运动，组成双星或多星系统。双星系统轨道比较稳定，很

常见，三星及其他更多星体的系统轨道不稳定，非常罕见。下面介绍具有代表性

的双星模型和三星模型。

1双星模型

⑴两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。

(2)特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即

Gm\mi

-p-=m\(jo0\r\,

Gm\mir

~~不一=171260介2。

②两颗星的周期及角速度都相同，即刀=不，助=。2。

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：八+-2=L。

④两颗星到轨道圆心的距离八、-2与星体质量成反比，即置=g。

⑤双星的运动周期T=2R.£

\1G(m\+m2)

4兀2炉

⑥双星的总质量m\+加2=亍左。

2三星模型

(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量

一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星

体对该星体的万有引力的合力提供。

图2

(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方

向相同，运行的角速度、周期相同。

（3）理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。

①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径

为R的圆形轨道上运行（如图3甲所示）。

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图3乙所示）。

/M\

甲乙

图3

【典题例证】“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远

小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力

作用下，绕某一点。做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量

为如，B星球的质量为机2,它们球心之间的距离为"引力常量为G,则下列说

法正确的是（）

A.B星球的轨道半径为;;七力

mi+m2

B.A星球运行的周期为2nL、「加匕\

\1+m2）

C.A星球和B星球的线速度大小之比为m\：m2

D.若在。点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零

［答案］B

［解析］由于两星球的周期相同，则它们的角速度也相同，设两星球运行的

角速度为①，轨道半径分别为"、/'2,根据牛顿第二定律，对A星球有：G喈=

2

micor\,对B星球有：染詈=miarri,得n：冷=加2：机1,又八+冷=L,得r\

=L,「2=：L,A错误；G^T2=mi^-ri,7