正式公开课用向量的方法求二面角

课题：利用法向量求二面角茂名市第十六中学：高二数学理科备课组主讲人：吕宇云第一页第二页，共20页。四、教学过程的设计与实施lABO2、如何作二面角α—l—β的平面角？温故知新

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做

，这条直线叫做

，这两个半平面叫做

.二面角二面角的棱二面角的面1、二面角的定义：第二页第三页，共20页。与面如图，是直角梯形，所成的二面角的余弦值。求面你能找到所求二面角的棱吗？第三页第四页，共20页。探究新知问题：

二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没有关系？l第四页第五页，共20页。

探究新知第五页第六页，共20页。

探究新知第六页第七页，共20页。问题：

法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补。再次演示课件探究新知细心想一想，你将有新发现！！第七页第八页，共20页。尝试：已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），

n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°

解析

即〈m,n〉=45°，其补角为135°.∴两平面所成二面角为45°或135°.C练一练第八页第九页，共20页。与面如图，是直角梯形，所成的锐二面角的余弦值。求面例题精讲【审题指导】本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角的余弦值.本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性第九页第十页，共20页。解：则设是面SCD的法向量，与面如图，ABCD是直角梯形，所成的二面角的余弦值。求面建立如图所示的空间直角坐标系则启示：求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。第十页第十一页，共20页。是平面SAB的法向量，就是二面角的平面角，所求锐二面角的余弦值为：令z=1解之得第十一页第十二页，共20页。结论：利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量。利用法向量求二面角的平面角的一般步骤：建立坐标系找点坐标求法向量坐标求两法向量夹角定值第十二页第十三页，共20页。正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求锐二面角A—DQ—A1的余弦值．

巩固练习：第十三页第十四页，共20页。xyz第十四页第十五页，共20页。小结：1.利用法向量求二面角大小的优势：避免了繁难的作、证二面角的过程，将几何问题转化为数值计算。2.利用法向量求二面角大小的关键：确定相关平面的法向量。3.利用法向量求二面角大小的缺点：计算量相对比较大。第十五页第十六页，共20页。课后思考

（2009·天津理，19）

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥

AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD⊥平面CDE;(3)求锐二面角A—CD—E的余弦值.(1)解如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设

AB=1，依题意得B(1,0,0),

C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，第十六页第十七页，共20页。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.(2)证明又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.第十七页第十八页，共20页。(3)解设平面CDE的法向量为u=（x,y,z)，令x=1,可得u=(