高思奥数导引小学五年级含详解答案第23讲 计数综合二

第23讲计数综合二

兴趣篇

1、同时能被6,7,8,9整除的四位数有多少个？

2、从1,2,3,…，9这9个数中选出2个数，请问：

(1)要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？

(2)要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？

3、在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？

4、用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？

5、个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？

6、如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至200这200个自然数中有多少个

“吉利数”?

7、一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”。例如：1331,7,

202,66都是“回文数”，而220则不是“回文数请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？

其中第1997个“回文数”是什么？

8、一个四位数A8C。，它与逆序数。CBA之和的末两位为56,这样的四位数ABCO有多少个？

9、把2005、2006、2007、2008、2009这5个数分别填入图23-1的东、南、西、北、中5个方格内，使横、

竖3个数的和相等，一共有多少种不同的填法？

10、从1至7中选出6个数字填入图23-2的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的

数字比左边大。请先给予出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？

图23-2

拓展篇

1、分子小于6,分母小于20的最简真分数共有多少个？

2、从1、2、3、4、5、6、7这7个数中选出3个数，请问：

（1）要使这3个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法?

（2）要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？

3、小明的衣服口袋中有10张卡片，分别写着1,2,3,…，10。现从中拿出两张卡片，使得卡片两个数的

乘积能被6整除，这样的选法共有多少种？（注：9不能颠倒当作6来使用，6也不能颠倒当作9来使

用）

4、六位数123475能被11整除，如果将这个六位数的6个数字重新排列，还能排出多少个能被11整除的

六位数？

5、三个2,两个1和一个。可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和。

6、有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成

一行：1234,1235,1236,…，6789。请问：此列数中的第100个数是多少？

7、有一些三位数的相邻两位数字为2和3,例如132、235等等，这样的三位数一共有多少个？

8、在图23-3的方框内填入3、4、5、6中的一个数字，使得竖式成立。请问：所填的九个数字之和是多少？

一共有多少种填法？

WWWW

WWW

+WW

4~9~9~5

图23-3

9、在1000,1001,2000这1001个自然数中,可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位?

10、将1至7分别填入图23-4中的7个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有多少种不同的

填法？

11、在图23-5的空格内各填入一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的数比上面

的数大，并且方格内的6个数字互不相同，例如图23-6就是一种填法。请问：一共有多少种不同的填

法？

12、将数字1至7分别填入图23-7的各个圆圈中，使得每条线段两个端点处所填的数，上面的比下面的大。

请问：符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？

图23-7

超越篇

1、甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。问:

(1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种？

(2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？

(3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？

(4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？

2、一种电子表在6时24分30秒时的显示为6：2430,那么从5时到7时这段时间里，此表的5个数字都

不相同的时刻一共有多少个？

2、各位数字均不大于5,且能被99整除的六位数共有多少个?

4、从1,2,3,…，9中选取若干个互不相同的数字（至少一个），使得其和是3的倍数，共有多少种不同

的选法？

5、从0至9这10个数字中选出7个填入图23-8的方框中，使竖式成立，一共有多少种不同的填法？

WWWW

+WWW

F~6~6~8

图23-8

6、从1至9这9个数字中选出6个不同的数填在图23-9的6个圆圈内，使得任意相邻两个圆圈内的数字之

和都是质数。请问：共能找出多少种不同的选法？（所填的6个数字相同，只是排列次序不同，都算同

一种选法。）

图23-9

7、在3X3方格表内填入数字1至9,使得左边的数比右边的大，上边的数比下边的大，一共有多少种不同

的填法？

nE0

H

8、含有数字3,且能被3整除的五位数共有多少个?

第23讲计数综合二

兴趣篇

2、同时能被6,7,8,9整除的四位数有多少个？

【分析】因为［6,7,8,9*50,最小的满足条件的四位数是504x2=1008,最大的满足条件的四位数是

504x19=957（,因此满足条件的四位数共有19-2+1=18个

2、从1,2,3,…，9这9个数中选出2个数，请问：

（1）要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？

（2）要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？

【分析】（1）除以3余0的数有3,6,9,除以3余1的数有1,4,7,除以3余2的数有2,5,8,要使两数之和为

3的倍数可以是两个数除以3的余数分别是1,2或这两个数都是3的倍数，因此共有3x3+C；=12个.

（2）要使两数之积是3的倍数，其中至少有一个因数为3的倍数，因此共有3x3+3x3+C；=21个

3、在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？

【分析】除以3余0的数有3,9,除以3余1的数有1,7,除以3余2的数有5,三个数字之和为3的倍数，本

题只能从除以3余0,1,2的数中各取一个，每个三位数交换位置又可以变换出6个，因此共有

2x2x1x6=24个

4、用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？

【分析】当个位数字为0时，其他数位数字可以任意取共有5x4x3x2=120个，当个位数字为5时，共有

4x4x3x2=96个，因此共有120+96=216个能被5整除且各位数字互不相同的五位数

5、个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？

【分析】由于三位数的三个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从1〜9中任意选取的3个数字，

它们的大小关系也是明确的，那么由这3个数字只能组成1个符合条件的三位数（题目中要求个位

比十位大，十位比百位大，所以百位不能为0,所以进行选择时不可以把0包含在内），也就是说

满足条件的三位数的个数与从1~9中选取3个数字的选法是----对应的关系，那么满足条件的三

位数有C；=9x8*7=84个.两位数有cj=36个

3x2x1

6、如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至200这200个自然数中有多少个

“吉利数”?

【分析】个位含8的有2x10=20个，同理十位含8的也有20个，但88,188被算了2次，因此含有数字8的

共有2依2-2=?个，能被8整除的有（192S=1个，但含8又是8的倍数有

8,48,88,128,168,184,因此吉利数共有38+24-6=56个

7、一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”。例如：1331,7,

202,66都是“回文数”，而220则不是“回文数二请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？

其中第1997个“回文数”是什么？

【分析】一位回文数有9个，两位回文数有9个，三位和四位回文数都有9x10个，五位和六位回文数都有

9x10x10=900个，所以共有9x2+90x2+900x2=1998个，第1997个也就是倒数第二大的即

998899

8、一个四位数4BC。，它与逆序数OC8A之和的末两位为56,这样的四位数A8s有多少个？

【分析】它与逆序数DCBA之和的末两位为56,因此有馆夕：§，[上七3]A：?：。，心：立已

IDIL-JII—IJID।L——IIL_1什

每种情况只要确定A,8即可，因此共有5x6+5x4+3x5+3x5=80个

9、把2005、2006、2007、2008、2009这5个数分别填入图23-1的东、南、西、北、中5个方格内，使横、

竖3个数的和相等，一共有多少种不同的填法？

图23-1

【分析】5个数为3奇2偶，所以''中"只能填奇数.

①中=2005,东+西=南+北，2006+2009=2007+2008,有4x2=8种

②中=2007,2005+2008=2006+2(X)7,有4x2=8种

③中=2009,2005+2008=2006+2007,有4x2=8种

一共有8+8+8=24种

10、从1至7中选出6个数字填入图23-2的表中,使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的

数字比左边大。请先给予出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？

图23-2

【分析】最大数只能放在右下角，右下角左边只能放次大的数，最小数只能放在左上角，左上角的下方只

能放次小的数，剩下的位置可以随意放有2种方法，因此共有C；x2=14种填法

拓展篇

3、分子小于6,分母小于20的最简真分数共有多少个？

【分析】当分子为1时，分母可以取219任意一个数，因此共有18个

当分子为2时,分母可以取319任意一个奇数，因此共有9个

当分子为3时,分母可以取419任意一个不是3的倍数的数，因此共有11个

当分子为4时,分母可以取519任意一个奇数，因此共有8个

当分子为5时,分母可以取619任意一个不是5的倍数的数，因此共有12个

因此总共有18+9+11+8+12=58个

2、从1、2、3、4、5、6、7这7个数中选出3个数，请问：

（1）要使这3个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？

（2）要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？

【分析】（1）要使这3个数的乘积能被3整除，至少有一个数是3的倍数，因此当有一个数是3的倍数时

共有2xC；=20个，当有两个数是3的倍数时有5个，因此一共有20+5=25种选法

（2）除以3余0的数有3,6,除以3余1的数有1,4,7,除以3余2的数有2,5,可以从每个余数类各

取一个，或在同一个余数类里取，因此共有2*3x2+1=13个

3、小明的衣服口袋中有10张卡片，分别写着1,2,3,…，10。现从中拿出两张卡片，使得卡片两个数的

乘积能被6整除，这样的选法共有多少种？（注：9不能颠倒当作6来使用，6也不能颠倒当作9来使

用）

【分析】当两个卡片都不含6时，一张卡片必然是3或9,另一张卡片必然是不含6的偶数，因此共有

2x4=8个，当一张卡片含6时，另一张卡片可以任意取共有9个，因此一共有8+9=17种选法

4、六位数123475能被11整除，如果将这个六位数的6个数字重新排列，还能排出多少个能被11整除的

六位数？

【分析】设满足条件的六位数为abcdef,因为1+2+3+4+7+5=2,因此Z?+d+/=〃+c+e=ll,

1+3+7=2+4+5,因此一共有6x2x1x3x2x1=72个，因此还能由P出71个

5、三个2,两个1和一个0可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和。

【分析】因为0有5个位置可以选择，再选3个位置安排2,两个位置安排0,因此共有5xC；=50个，

当0的位置确定后，还有10种方法安排1和2,,因此1和2,每种都被安排了两次，因此所有六位数

的和为(2+2+2+1+1)x2x(111110+111101+111011+110111+101II1)=8711104

6、有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成

一行：1234,1235,1236,…，6789。请问：此列数中的第100个数是多少？

【分析】当千位数字是I的“上升数"有C；="23=56个；当千位数字是2的“上升数”有

s3x2x1

C；=7x6x5=35个；共56+35=91,当前两位是34的“上升数”有C：=四=10个；因此第101

73x2x152

个“上升数”是3489,所以第100个“上升数”是3479

7、有一些三位数的相邻两位数字为2和3,例如132、235等等，这样的三位数一共有多少个？

【分析】当前两位含有2,3时，共有2x10=20个，当后两位含有2,3时，共有2x9=18个，但是232,323计

算了两次，因此共有20+18-2=36个

8、在图23-3的方框内填入3、4、5、6中的一个数字，使得竖式成立。请问：所填的九个数字之和是多少？

一共有多少种填法？

WWWW

WWW

+WW

4995

图23-3

【分析】由于个位数字是3个数字的和不肯能等于5,必然进位，同理十位数字必然进位，两个数字和不可

能等于19,因此百位没有进位，因此这个竖式加法共进位两次，而和的数字和为4+9+9+5=27,

abed

efg

因此九个数字之和为27+9x2=45,设，，，因此有＜/+g+k=15,c+f+/?=18,

+nK

4995

b+e—8,a=4,有4+5+6=15,5+5+5=15,3+6+6=15,6+6+6=18,4+4=8,3+5=8

因此共有(6+1+3)x1x(1+2)=30种填法.

9、在1000,1001,…，2000这1001个自然数中,可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位？

【分析】当这个四位数不含9时，相邻两个自然数只有个位不同，因此共有5x5x5=125对；

当较小的个位数字是9,较大的个位数字是0,十位数字相差是1,共有5x5=25对；

当较小的个位数字和十位数字是9,较大的个位数字和十位数字是0,百位数字相差是1,共有5对；

当较小的个位、十位、百位数字是9,较大的个位、十位、百位数字是0,千位数字相差是1,即

1999,2000,因此共有125+25+5+1=156对。

10、将1至7分别填入图23-4中的7个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有多少种不同的

填法？

【分析】本题共有3行，3列，而偶数只有3个，因此这三个偶数应分配在不同的行和不同的列，这3个偶

数地位均等，安排完偶数，奇数任意按排即可，因此共有3x3x2x1x4*3x2*1=432种填法

11、在图23-5的空格内各填入一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的数比上面

的数大，并且方格内的6个数字互不相同，例如图23-6就是一种填法。请问：一共有多少种不同的填

法？

【分析】为了方便说明，标上字母:

CD2

AB3

要注意到，A最大，D最小，B、C的位置可以互换.

但是，D只能取4,5,6,因为如果取7,就找不到3个比它大的一位数了.

当D取4,5,6时分别剩下5,4,3个一位大数.有B、C可以互换位置.

所有不同的填法共C：x2+Cjx2+C；x2=10x2+4x2+1x2=30种.

12、将数字1至7分别填入图23-7的各个圆圈中，使得每条线段两个端点处所填的数，上面的比下面的大。

请问：符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？

图23-7

【分析】最下面肯定是1,若中间一排一个2一个3,那么随便排就可以了有2x4!=48种

若2,3一上一下，有4种位置可选，和2,3连在一起的位置有四个数可以选择，那么中间一排的另

一个位置必须是剩下三个数最小的一个，其它2个位置任意，有2!=2种，因此有4x4x2=32种,

共计48+32=80种.

超越篇

1、甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。问：

（1）甲拿到自己作业本的拿法有多少种？

（2）恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？

（3）至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？

（4）谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？

【分析】⑴甲拿到自己的作业本的拿法，乙、丙、丁可随便拿，所以有3!=6种拿法；

⑵恰好有一人拿到自己的作业本，就是说只有一个人拿到了自己的作业本，而其他的人拿的都不

是自己的作业本，拿对了作业本的人有甲、乙、丙、丁4种选择，其余的3个人都拿错了，有2

种拿法，所以恰好有一人拿到自己作业本的拿法有4x2=8种；

⑶要求至少有一人没有拿到自己作业本的拿法，可以从所有的拿法中减去4个人都拿到自己作业

本的情况，由于拿法总数为4!=24种，4个人都拿到自己作业本的情况只有1种，所以至少有一人

没有拿到自己作业本的拿法有24-1=23种；

⑷谁也没有拿到自己的作业本的拿法，甲由于拿的不是自己的作业本，中有3种拿法；甲拿完后，

作业本被甲拿的那个人，不妨设为乙，乙可以从剩下的3个作业本中拿一个，有3种拿法，乙拿

完后剩下的两个人只有1种拿法，根据乘法原理，共有3x3xl=9种拿法

2、一种电子表在6时24分30秒时的显示为6：2430，那么从5时到7时这段时间里，此表的5个数字都

不相同的时刻一共有多少个？

【分析】设A:BCDE是满足题意的时刻，有A为6,B、D应从0,1,2,3,4,5这6个数字中选择两个不

同的数字，所以有A；种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有A；种

选法，所以共有A：xA；=1260种选法：A为5,B、D应从0,1,2,3,4,这5个数字中选择两

个不同的数字，所以有A；种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有

A；种选法，所以共有A；xA；=840种选法，因此一共有1260+840=2100个

4、各位数字均不大于5,且能被99整除的六位数共有多少个？

【分析】设这个六位数为嬴两，且能被99整除，所以茄+%+彳=99,（由于各位数字均不大于5,所

以方+W+牙=198不成立），由于5+4+0=9,5+3+1=9,5+2+2=9,4+4+1=9,

4+3+2=9,3+3+3=9,b,d,f共有6+6+3+3+6+种取法；a,c,e共有

4+6+3+3+6+种取法（少两种的原因是。工0）,因此且能被99整除的六位数共有

25x23=575个

4、从1,2,3,…，9中选取若干个互不相同的数字（至少一个），使得其和是3的倍数，共有多少种不同

的选法？

【分析】除以3余0的数有3,6,9,除以3余1的数有1,4,7,除以3余2的数有2,5,8,

当取一个数字时,使得其和是3的倍数，共有3个

当取两个数字时,使得其和是3的倍数，共有3+3x3=12个

当取三个数字时,使得其和是3的倍数，共有3+3x3x3=30个

当取四个数字时,使得其和是3的倍数，共有3+3+3x3+3x3x3=42个

当取五个、六个、七个、八个时，剩下的数字选法与取四个、三个、两个、一个的取法相同

当取九个数字时有1种取法，因此共有(3+12+30+42)x2+1=175个

5、从0至9这10个数字中选出7个填入图23-8的方框中，使竖式成立，一共有多少种不同的填法?

WWWW

+WWW

F6~o_8

图23-8

abcd

【分析】设+efg,因此有"+g=8,c+/=IO,6+e=9,a=l,因此(d,g)=(0,8)=(2,6)=(3,5),

-2008

(cJ)=(2,8)=(3,7)=(4,6),(b,e)=(0,9)=(1,8)=(2,7)=(3,6)=(4,5)(e*0)

(d,g)(0,8)(0,8)(2,6)(2,6)(3,5)(3,5)(3,5)

(C,7)(3,7)(4,6)(3,7)(3,7)(2,8)(4,6)(4,6)

(b,e)(4,5)(2,7)(0,9)(4,5)(0,9)(2,7)(0,9)

六个数字的选法8848484

因此i共有8x4+4x3=44种填法

6、从1至9这9个数字中选出6个不同的数填在图23-9的6个圆圈内，使得任意相邻两个圆圈内的数字之

和都是质数。请问：共能找出多少种不同的选法？(所填的6个数字相同，只是排列次序不同，都算同

一种选法。)

图23-9

【分析】.由于相邻两数的和要为质数，则相邻两数的奇偶性必然不相同，令图中4、氏C,为偶数，则

x、y、Z为奇数，这样a、b、c就有(2,4,6),(2,4,8),(2,6,8),(4,6,8)共4种选择.

x,y,z可能的选择有(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),

(5,7,9).

a

对应的(2,4,6)符合条件的有(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(5,7,9)共7

种；

对应的(2,4,8)符合条件的有(1,3,5),(1,3,9),(1,5,9),(3,5,9)共4种；

对应的(2,6,8)符合条件的有(1,3,5),(1,5,9)共2种；

对应的(4,6,8)符合条件的有(1,3,5),(1,5,9),(3,5,7),(5,7,9)共4种.

所以共有：7+4+2+4=17种.

7、在3X3方格表内填入数字1至9,使得左边的数比右边的大，上边的数比下边的大，一共有多少种不同

的填法？

【分析】根据题意9和1的填法已固定，8可以填在“，出两个位置，当8放在4的位置时，画树状图

如下，共有21种填法，根据对称性8放在生的位置也有21