2023年广东省汕头市潮阳区九年级数学一模试题（解析版）VIP

2022－2023年广东省汕头市潮阳区九年级数学一模试题一．选择题1.与互为倒数的数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【详解】解：与互为倒数的数是；故选：C．【点睛】本题考查了倒数，乘积为1的两个数互为倒数．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A.，故A错误；B.，故B错误；C.，故C正确；D.，故D错误，故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则分别进行判断．3.有一组数据：2，﹣2，2，4，6，7这组数据的中位数为（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．【详解】解：将这组数据排序得：﹣2，2，2，4，6，7，处在第3、4位两个数的平均数为（4+2）÷2＝3，故选：B．【点睛】考查中位数的意义和求法，找一组数据的中位数需要将这组数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数或两个数的平均数即为中位数．4.如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，，则∠BCA的度数为（）A.25° B.50° C.65° D.75°【答案】D【解析】【分析】根据证明，可得，根据三角形内角和定理即可求得的度数．【详解】解：在与中，，，，．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．5.下列说法正确的个数是（）①0.01立方根是0.000001；②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等；③正三角形既是中心对称又是轴对称图形；④顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是矩形；⑤三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】A【解析】【分析】根据立方根，中心对称和轴对称图形定义（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形），矩形的判定，三角形内心（三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心）逐项判断即可求解．【详解】①0.000001的立方根是0.01，故①错误；②如果一个角两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等或互补，故②错误；③正三角形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故③错误；④顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是菱形，故④错误；⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，故⑤错误；所以，正确的个数为0个．故选：A【点睛】本题考查了立方根，轴对称图形，中心对称图形，矩形、中点四边形，三角形内心，熟练掌握相关知识点是解题的关键．6.如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A. B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+MD的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵∴∴BM+MD长度的最小值为5．故选：D．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．7.已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是（）A.﹣4≤y＜5 B.﹣4＜y＜5 C.﹣3≤y≤5 D.﹣4＜y＜﹣3【答案】A【解析】【分析】先将二次函数的解析式化为顶点式，可得当时，该二次函数有最小值-4，从而得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，然后把和分别代入，即可求解．【详解】解：∵，∴该二次函数图象的顶点坐标为，图象开口向上，∴当时，该二次函数有最小值-4，∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，，当时，，∴当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是．故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．8.将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（）A.3 B.8 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C′、D′的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积【详解】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，∵点A（－3，3），B（，），∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，∴OA＝＝6，OB＝＝3，∵tan∠AOM＝＝，∴∠AOM＝60°，同理，∠BON＝30°，因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），设直线A′B′的关系式为y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，∴直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6，由题意得，，解得，，因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，故选：A．【点睛】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键．9.对于实数a，b，定义运算“#”如下：a#b＝a2－ab，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x＋1）#3＝2的根的情况是（）A.没有实数根 B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】本题根据题目所给新定义将方程（x＋1）#3＝2变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可．【详解】解：根据题意得（x＋1）#3＝2可以变形为：，提公因式可得：，化简得：，，，根据根的判别式可知该方程有两个不等的实数根．故选D．【点睛】本题主要考查新定义运算，将新定义方程化为一元二次方程的一般形式，根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根．10.如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【详解】①利用翻折不变性即可解决问题；②构造全等三角形即可解决问题；③等腰三角形性质，∠EBP＝∠EPB．根据折叠性质得出∠EPH＝∠EBC＝90°，利用余角性质得出∠PBC＝∠BPH．再根据平行线性质得出AD∥BC即可解决；④构造全等三角形即可解决问题；⑤只要证明∠MPB＝45°，再利用反证法可解决问题．【解答】解：∵折痕为EF，∴四边形EBCF与四边形EPGF全等∴BE=PE，故①正确；如图2，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，∵FK⊥AB，∴∠FKB=90°，∴∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，∴四边形BCFK是矩形，∴KF＝BC＝AB，∵EF为对称轴，点B与点P为对称点，∴EF⊥PB，∴∠BOE＝90°，∵∠ABP+∠BEO＝90°，∠BEO+∠EFK＝90°，∴∠ABP＝∠EFK，在△ABP和△KFE中，，∴△ABP≌△KFE（ASA），∴EF＝BP，故②正确，∵BE=PE，∴∠EBP＝∠EPB．又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC＝∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC．∴∠APB＝∠BPH．故③正确；如图3，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．∴∠PQB=∠HQB=90°，由（1）知∠APB＝∠BPH，在△APB和△QPB中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP＝QP，AB=QB，又∵AB＝BC，∴BC＝BQ．∵∠HQB=90°，∠C=90°在Rt△BCH和Rt△BQH中，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH＝QH，∴QP+QH＝AP+CH，即PH＝AP+CH，故④正确；设EF与BP的交点为点N，如图4，∵Rt△ABP≌Rt△QBP，△BCH≌△BQH，∴∠ABP＝∠QBP，∠CBH＝∠QBH，∴∠QBP+∠QBH＝∠ABP+∠CBH，即∠PBM＝45°，由折叠知，∠BPM＝∠PBM＝45°，∠EBM＝∠EPM，∠PNF＝∠BNF＝90°，∵AB∥CD，∴∠MHF＝∠EBM＝∠EPM＝45°+∠EPN，∵在四边形DPNF中，∠D＝∠PNF＝90°，∴∠MFH+∠DPN＝180°，∵∠DPN+∠APN＝180°，∴∠APN＝∠MFH，假设MH=MF，∴∠MHF=∠MFH=∠APB，在△ABP和△CBH中，，∴△ABP≌△CBH（AAS），∴∠ABP=∠CBH，∵∠ABP+∠CBH=45°，∴∠ABP=∠CBH=22.5°，∵点P在AD上，∴0≤∠ABP≤45°，∴∠ABP=22.5°与0≤∠ABP≤45°相矛盾，∴假设不正确，故⑤错误．故选：B．【点睛】本题考查正方形性质，折叠性质，角平分线判定，三角形全等判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等角的余角性质，反证法，本题难度角度，综合强，利用辅助线作出准确图形是解题关键．二．填空题11.因式分解：=______．【答案】【解析】【分析】先提公因数4，然后根据平方差公式因式分解即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．12.某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动转盘一次，并根据所转结果付账，其中不打折的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据概率的计算方法，可得答案．【详解】P(不打折），故答案为：．【点睛】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.某楼梯的侧面如所述，测得，，则该楼梯的高度______．【答案】【解析】【分析】由的．【详解】解：在△ABC中，∵，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．14.如图，一艘轮船以海里/小时速度从南向北航行，当航行至处时，测得小岛在轮船的北偏东度的方向处，航行一段时间后到达处，此时测得小岛在轮船的南偏东度的方向处．若海里，则轮船航行的时间为________．【答案】．【解析】【详解】如图，作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠A=45°，∠B=60°，在Rt△BDC中，∵BC=40，∴BD=20海里，CD=海里，在Rt△ADC中，∵∠A=45°，∴CD=AD=，∴AB=BD+AD=（20+）海里，∵轮船的航行速度为20海里/小时，∴航行时间为（20+）÷20=（）小时，故答案为（）小时．考点：解直角三角形应用-方向角问题．15.如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段上的一个点，过点P作⊙O的切线，切点为，则的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】连接、．根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短．【详解】解：连接、．是⊙的切线，；根据勾股定理知，当时，线段最短；一次函数，当时，，，，当时，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数综合题，涉及切线的判定与性质、坐标与图形性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．三．解答题16.计算：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2．【答案】8．【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案．【详解】4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）-2===8．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质与化简，熟练掌握实数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．17.先化简，然后从，，0，1选取一个合适的整数作为的值代入求值．【答案】；当时，原式【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用异分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果，再根据分式有意义的条件，取代入求解即可．【详解】解：原式，当，0，1时，原式没有意义；当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握因式分解和分式的性质是解题的关键．18.在某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分，汤老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．小知识：难度系数的计算公式为：，其中为难度系数，为样本平均数，为试题满分值．《考试说明》指出：在0.7以上的题为容易题；在之间的题为中档题；在之间的题为较难题．解答下列问题：（1），，并补全条形统计图；（2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为2分的概率；（3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？【答案】（1）25，20，补画条形统计图见解析（2）（3）中档题【解析】【分析】（1）首先根据条形统计图和扇形统计图中的信息求得抽取的总人数是60人，进而得到和的值，从而可以得到得1分的人数并将条形统计图补充完整；（2）根据简单概率公式求解即可；（3）据题意可以算出的值，从而可以判断试题的难度系数．【小问1详解】解：由条形统计图可知0分的同学有6人，由扇形统计图可知，0分的同学占，则抽取的总人数是：（人），故得1分的学生数是：（人），则，即；，即．故答案为：25，20；补全统计图如下：【小问2详解】抽中的成绩为2分的概率是；【小问3详解】平均数为（分），．因为0.58在中间，所以这道题为中档题．【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、简单概率计算、平均数等知识，解题关键是读懂条形统计图与扇形统计图，并获取有用的信息．19.如图，直角梯形中，，，，过点B作于点E．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】（1）首先根据垂直的定义可得，再根据得，然后利用AAS即可证明结论；（2）首先根据全等三角形的性质可得，利用勾股定理可得，进而可得，然后再利用勾股定理计算出长即可．【小问1详解】证明：如图，∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴（AAS）；【小问2详解】∵，∴，在直角中：，∴，在直角中：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，难度不大，熟练掌握上述知识是解题关键．20.某中学为丰富学生的校园生活，准备从友谊体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同、每个篮球的价格相同），若购买3个篮球和2个足球共需420元；购买2个篮球和4个足球共需440元．（1）购买一个篮球、一个足球各需多少元？（2）根据该中学的实际情况，需要从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共20个．要求购买篮球数不少于足球数的2倍，总费用不超过1840元，那么这所中学有哪几种购买方案？哪种方案所需费用最少？【答案】（1）：购买一个篮球需要100元，一个足球需要60元；（2）有三种方案，其中购买篮球14个，足球6个所需费用最少．【解析】【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据购买3个篮球和2个足球共需420元；购买2个篮球和4个足球共需440元，可得出方程组，解出即可；（2）设购买篮球y个，则购买足球（20﹣y）个，由购买篮球数不少于足球数的2倍，总费用不超过1840元，可得出不等式组，解出即可．【详解】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得：，解得：．

答：购买一个篮球需要100元，一个足球需要60元．（2）设购买篮球y个，则购买足球（20﹣y）个，由题意，得：，解得：≤y≤16．∵y为整数，∴有3种方案：①购买篮球14个，足球6个；②购买篮球15个，足球5个；③购买篮球16个，足球4个．∵篮球较贵一些，∴方案①所需费用最低．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用及二元一次方程组的应用知识点．21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，P为y轴上的一个动点，已知A（﹣2，0）、C（0，﹣2），且抛物线的对称轴是直线x＝1．(1)求此二次函数的解析式；(2)连接PB，则PC+PB最小值是；(3)连接PA、PB，P点运动到何处时，使得∠APB＝60°，请求出P点坐标．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）3；（3）P（0，+），（0，﹣﹣）．【解析】【分析】(1)根据待定系数法，可得答案；(2)连接AC，作BH⊥AC于H，交OC于P，此时PC+PB最小．最小值就是线段BH，求出BH即可．(3)根据勾股定理，可得PA，PB，根据锐角三角函数，可得BC的长，根据三角形的面积，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：（1）将A，C点坐标代入函数解析式，及对称轴，得解得抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，(2)连接AC，作BH⊥AC于H，交OC于P，如图1，此时PC+PB最小．理由：当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2（舍）x＝4，即B（4，0），AB＝4﹣（﹣2）＝6．∵OA＝2，OC＝2，∴tan∠ACO＝，∴∠ACO＝30°，∴PH＝PC，∴PC+PB＝PH