初中数学几何模型汇总-二 倍长中线模型

数学模型-倍长中线模型

模型分析：倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定

过程中，给出中线，通过延长辅助线的方法证明三角形全等及其他，达到解题

的目的.

其主要的图形特征和证明方法如下图：

已知：在三角形ABC中，。为BC边中点，

辅助线：延长A0到点D使AO=DO,

结论：AAOB^ADOC

证明：延长AO到点D使AO=DO,

由中点可知，OB=OC,

在aAOB和△DOC中

OA=OD

<ZAOB=ZDOC

OB=OC

.♦.△AOB丝△DOC

同理下图中仍能得到aAOB丝ZiDOC

A

规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是

由于作出延长线后出现的对顶角决定的.

补充：关于倍长中线的其他模型

①向中线做垂直，易证△BEO会

步骤：延长A0到点D,过点B,C分别向AD作垂线，垂足为E,D,

易证△BEO名△CDO(AAS)

②过中线做任意三角形证明全等，易证ABDO名△CEO

步骤：AC上任意选取一点E,连接E0并延长到点D,使EO=DO,连接BD,

易证△BDO丝△CEO(SAS)

实例精练：

1.如图，在平行四边形ABC。中，C£>=2A0=8,E为AO上一点，尸为。。的

C.ED+BC=EB

P.S四边形OE8C=2SvEFB

【答案】P

【解析】

［分析］根据平行四边形的性质可以得到8=2AD=2BC=8,且P为。。的中点,

所以CE=5C=4,由此可判断A选项；再结合平行线的性质可以得到

NCFB=NFBA,由此可判断3选项；同时延长所和交于点P,

DF=CF,/DFE=/PFC,/D=/FCP可以证得ADFE*CFP,所以

E£>+5C=CP+BC=8P,由此可以判断C选项；由于AOEE3ACEP,所以

S四边形DEBC=SvBEP，由此可以判断。选项；

【详解】•.・四边形ABCO是平行四边形

CD=2AD=2BC=S

•••CF=BC=A

由于条件不足，所以无法证明班'=4,故A选项错误；

CF=BC=4

•••ZCFB=ZFBC

•••DC//AB

ZCFB=ZFBC=ZFBA

■■■ZABC=2ZABF

故8选项错误；

同时延长EF和交于点P

AD||BP

■■■^D=AFCP

DF=CF

：.在△DFE和ACEP中：＜NDFE=2PFC

ZD=ZFCP(ASA)

^DFE=^CFP

・•.ED+BC=CP+BC=BP

由于条件不足，并不能证明8尸=8£,故。选项错误;

•••ADFENACFP

S四边形OEBC=SvBEP

/为DC的中点

S'BEP=2SVBEF=S四边形OEBC

故。选项正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出

相应的辅助线是求解本题的关键.

2.如图，AB\\CD,ZBCD=90°,AB=I,3C=CO=2,E为AD上的中点，则BE

【答案邙

【解析】

【分析】延长BE交CD于点F,证VABE丝VDEE,则BE=EF=^BF,故再在直角

2

三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可.

【详解】解：延长BE交CD于点F,

「AB平行CD,则NA=NEDC,ZABE=ZDFE,

又E为AD上的中点，.•.BE=EF,

所以V43EADFE.

BE=EF=-BF,AB=DF=1

2

：.CF=1

在直角三角形BCF中，BF=Vl2+22=y/5.

・•・BEJBF当

【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾

股定理求解.

A

CD

3.如图，A48C中，。为的中点，E是AD上一点，连接8E并延长交AC于

F,BE=AC,且8/=9,CF=6,那么AE的长度为

【答案】:3；

2

【解析】

【分析】延长A。至G使AD=DG,连接BG,得出/^CD=AGBD,得出

AC=BG=BE,所以得出AAEE是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计

算.

如图：延长AD至G使AT>=DG,连接BG

在AACD和AGBO中：

CD=BD

<ZADC=NBDG

AD=DG

：.MCD^AGBD

：.NC4D=NG,AC=BG

•；BE=AC

：.BE=BG

：.NG=/BEG

NBEG=ZAEF

ZAEF^ZEAF

：.EF=AF

，AF+CF=BF-EF

即AF+6=9-EF

【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键.

4.如图，平行四边形ABCD中，CE_L4Z）于E,点F为边4B中点，

AD=-CD,/CEF=40°,则ZAEE=

2

【答案】30。

【解析】

［分析］延长EF、CB交于点、G,连接FC,先依据全等的判定和性质得到FE=FG,

依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到=依据平行四边

形的对边相等及等量代换得到BF=BC,依据三角形等边对等角得到

NECG=NG=50。、NBFC=NFCG=5。。,依据三角形内角和得到NGFC,通过

作差即得所求.

【详解】解：延长£尸、CB交于点G,连接FC,

AED

G—BC

•.•平行四边形ABC。中，

AD//BC,AB=CD,AD=BC,

；.ZA=NGBF,ZAFE=NBFG,NGCE=CEO=90°,

又•••点F为边AB中点，得=

2

□(ASA),ZG=90°-ZC£F=50°,

FE=FG,

□FC=FE=FG,

口N产。G=NG=50。，

ZGFC=180°-ZFCG—NG=80°,

BF=3AB,AD=^CD,AB=CD,AD=BC,

：.BF=BC,

口ZBR?=ZFCG=50°,

□NBFG=Z.GFC-NBFC=30°,

，ZAFE=NBFG=3。。,

故答案为：30°.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角

三角形.

5.已知：如图所示，AD平分NS4C,M是BC的中点，MF//AD,分别交CA延长

线，AB于F、E.

求证：BE=CF.

F

【答案】见解析.

【解析】

【分析】过B作BN〃AC交EM延长线于N点，易证△BMNGACMF,可得CF=

BN,然后由MF//AD,AD平分NBAC可得NF=NDAC=NBAD=NBEM,ZBEM

=NN,所以BE=BN=CF.

【详解】证明：过B作BN〃AC交EM延长线于N点，

：BN〃AC,BM=CM,

...NBMN=NCMF,NN=NF,

/.△BMN^ACMF,

/.CF=BN,

又,；MF//AD,AD平分NBAC,

NF=ZDAC=ZBAD=ZBEM,

/.ZBEM=ZN,

/.BE=BN=CF.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等

知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点.

6.如图所示，在A4BC中，交BC于点。，点E是3。中点，防〃A£)交C4

的延长线于点尸，交A3于点G,若BG=CF,求证：为ZBAC的平分线.

【答案】见解析

【解析】

【分析】延长庄,截取E〃=EG,连接CH,可证dBEG也△(?£〃,即可求得NQN/G4

即可求得即可解题.

【详解】证明：延长尸E,截取EH=EG,连接C”,

是3c中点，

：.BE=CE,

：.NBEG=NCEH,

在［BEG和Z!CE//中，

BE=CE

</BEG=NCEH,

GE=EH

:.XBEGgMCEH(SAS),

：.NBGE=NH,

：.NBGE=NFGA=/H,

:.BG=CH,

，：CF=BG,

：.CH=CF,

/./F=NH=/FGA,

'：EF//AD,

：.ZF=ZCAD,NBAD=/FGA,

：.NCAD=NBAD,

平分NB/C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本

题中求证」8EG0ZXCE”是解题的关键.

7.已知：如图所示，在八4BC中，AD为中线，8尸交ARAC分别于E,F,如果

BE=AC,求证：AF=EF.

【答案】详见解析

【解析】

【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G,得到华ACDG,利用全等

三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到AAEF中的两个角相等，然

后用等角对等边证明AE等于EF.

【详解】证明：延长ED至G,使DG=DE,连结GC,

•.,在AABC中，AO为中线,

.,.BD=CD,

在△/DC和△G08中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDG

DE=DG

：.ABDEmACDG,

:.BE=CG,ZBED=ZCGD,

•;BE=AC,

AC-GC)

ZAGC=CAG.

又•；NBED=ZAEF,

：.ZAEF^AEAF,

：.AF=EF.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等

三角形.

8.如图所示，AO为AABC的角平分线，旦F分别在30,4)上，DC=DE,若

EF//AB.

求证：EF=AC.

【答案】详见解析

【解析】

【分析】延长FD至G,使。G=。/，连结CG,可证M)EF^\DCG,则EF=CG,

利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得NGAC=NAGC，根据等角对

等边得AC=CG,即可得出结论.

【详解】证明：延长FD至G,使DG=DF,连结CG,

•；DC=DE,ZEDF=ZCDG,DG=DF

：.ADEF^/^DCG,

:.EF=CG,ZEFG=ZCGD

•：EFHAB,

:.ZEFG=NBAD,

又/BAD=4CAD,

ZGAC^ZAGC,

AC-GC,

：.EF=AC.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证4EDF与4CDG全等.

Q.如图所示，在AA3C中，A£＞为中线，NBAO=90,A6=2AO,求ND4c的度

【答案】450

【解析】

【分析】延长AD至E,使班=4),连结CE,则AADBgAEDC,根据全等三角

形的性质得EC=AB,NE=/BAD=90°,由AB=2AD可得EC=AE,可得AAEC是

等腰直角三角形，即可得NDAC的度数.

【详解】解：延长AD至E,使DE=AD，连结CE,

VBD=CD,ZADB=ZEDC

:.AA。的AEDC,

，EC=AB,NE=Z&4£)=90°,

VAB=2AD,DE=AD

/.AB=AE=EC

••.△AEC是等腰直角三角形，

，ZDAC=45°.

故答案为450.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键

是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.

1O.已知：如图，在AABC中，NC=90。，。为AB的中点，E、尸分别在

AC.上，且£D_LF。于。.求证：AE2+BF1=EF2-

【答案】详见解析

【解析】

【分析】通过倍长线段OE,将AE、BF、EF转化到ABGF中，再证ABGR为直

角三角形.

【详解】延长。至G,使DG=DE,连结BG、FG,

\AD=BD,ZADE=NBDG,

：./SADE^NBDG,

：.AE=BG,ZA=ZDBG,

AC//BG,

ZC+NFBG=180。，:.NFBG=90°,

BG2+BF2^GF2,

又YED上FD,ED=GD,

：.EF=GF,

【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌

握相关知识是解题的关键.

11.阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图，为△Z8C中线，点E在NC上，BE交AD于点、F,AE=EF.求证：AC

=BF.

A

(1)□思路一的辅助线的作法是:

□思路二的辅助线的作法是：.

(2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求：只写出辅助线的作

法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程).

【答案】(1)□延长至点G,使连接8G；□作8G=59交NO的延

长线于点G；(2)详见解析

【解析】

【分析】(1)□依据"S可证得再利用可以进一步证得

NG=/FAE=/AFE=NBFG,从而证明结论.

□作BG=BF交AD的延长线于点G.利用可证得NG=ZBFG=ZAFE=

NFAE,再依据44s可以进一步证得△/DC9△GZ)3,从而证明结论.

(2)作8G〃工。交的延长线于G,证明(AAS),得出ZC=

BG,证出NG=N8EG,得出8G=8尸，即可得出结论.

【详解】解：(1)□延长至点G,使QG=ZO,连接8G,如图口，理由如下：

,.Z。为△/8C中线，

：.BD=CD,

AD=DG

在△/DC和△GDB中，＜NADC=NGDB,

CD=BD

：.AADC^/XGDB(SAS),

：.AC=BG,

'：AE=EF,

:.NC4D=NEE4,

'：ZBFG=ZG,ZG=ZCAD,

：.ZG=ZBFG,

：.BG=BF,

：.AC=BF.

故答案为：延长力。至点G,使OG=4O,连接8G；

A

E

□作8G=8/交的延长线于点G,如图□.

理由如下：*;BG=BF,

：.4G=/BFG,

•：AE=EF,

:.NEAF=/EFA,

■:/EFA=/BFG,

：.ZG=ZEAF,

ZCAD=ZG

在*AOC和△GDB中，＜NADC=ZGDB,

CD=BD

:.AADgAGDB(AAS)9

：.AC=BG,

：.AC=BF；

故答案为：作8G=5/交力。的延长线于点G：

G

图②

(2)作8G〃/C交/。的延长线于G,如图□所示:

则NG=NC4。，

•.1。为△45C中线，

：.BD=CD,

NC4O=NG

在△ZOC和△G03中，＜NADC=NGDB,

CD=BD

:AADC经£GDB(//S),

：.AC=BG,

'：AE=EF,

:.NCAD=NEE4,

,：ZBFG=ZEFA,ZG=ZCAD,

：.ZG=ZBFG,

:.BG=BF,

：.AC=BF.

图③

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证

明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS,需要同学们灵活运

用，解题的关键是学会做辅助线解决问题.

工2.阅读

□1）阅读理解:

cFD

如图①，在^ABC中,若AB=10LJAC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE（或将AACD

绕着点D逆时针旋转180。得到AEBD）,把AB「ACI22AD集中在AABE中，利用

三角形三边的关系即可判断.

中线AD的取值范围是□

□2）问题解决：

如图②，在AABC中，D是BC边上的中点，DELDF于点DDDE交AB于点

EE1DF交AC于点F,连接EF,求证：BE+CFOEFD

□3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，ZB+ZD=180℃CB=CDDZBCD=140°,以C为顶

点作一个70。角，角的两边分别交ABDAD于EDF两点，连接EF,探索线段

BE1DF口EF之间的数量关系，并加以证明.

【答案】口1口2口人）」8」02）证明见解析；（3LJBE+DF=EF；理由见解析.

【解析】

【分析】（1）延长AD至E,使DE=AD,由SAS证明DACDEJ^EBD,得出BE=AC=6,

在1ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；

（2）延长FD至点M,使DM=DF,连接BM、EM,同（1）得□BMDIDCFD,

得出BM=CF,由线段垂直平分线的性质得出EM=EF,在DBME中，由三角形的

三边关系得出BE+BM>EM即可得出结论；

（3）延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,证出口NBC7D,由SAS证明

□NBCnDFDC,得出CN=CF,□NCB=DFCD,证出口ECN=7（T=DECF,再由SAS

证明DNCEUDFCE,得出EN=EF,即可得出结论.

【详解】（1）解：延长AD至E,使DE=AD,连接BE,如图」所示：

□AD是BC边上的中线，

□BD=CD,

在DBDE和DCDA中，BD=CD,「BDE=「1CDA,DE=AD,

□□BDEODCDA(SAS),

口BE=AC=6,

在EOABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE<AE<AB+BE,

□10-6<AE<10+6,即4VAEV16,

□2<AD<8；

故答案为2<ADV8；

(2)证明：延长FD至点M,使DM=DF,连接BM、EM,如图口所示:

同(1)得：□BMDdDCFD(SAS),

□BM=CF,

□DEODF,DM=DF,

□EM=EF,

在E1BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM,

□BE+CF>EF；

(3)解：BE+DF=EF；理由如下:

延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图3所示：

□□ABC+FD=180°,□NBC+QABC=180°,

□□NBC=DD,

在口NBC和二FDC中，

BN=DF,ONBCRD,BC=DC,

□□NBCDnFDC(SAS),

□CN=CF,□NCB=JFCD,

□□BCD=140°,□ECF=70°,

□□BCE+DFCD=70°,

□□ECN=70°=DECF,

在EiNCE和口FCE中，

CN=CF,□ECN=nECF,CE=CE,

□DNCEODFCE(SAS),

□EN=EF,

□BE+BN=EN,

□BE+DF=EF.

CFD

考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理.

13.如图，在DABC中，AB=AC,D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA,

BE1AD于点E,取BE的中点F,连接AF.

⑴若AC=gAE=5求BE的长；

⑵在(1)的条件下，如果口口=45。，求DABD的面积.

(3)若JBACRDAF,求证：2AF=AD；

【答案】(1)273;(2)9；(3)见详解

【解析】

【分析】(1)在Rta/EB中，利用勾股定理即可解决问题；

(2)由ND=45。可证得BE=DE,再利用三角的面积公式计算即可；

(3)如图，延长力R至〃点，使4F=MF,连接首先证明△力跖丝

再证明4ABM咨4ACD即可.

【详解】(1)解：•••AB=AC,AC=V15,

AB=y/15,

VBE±AD,AE=6,

在RtAAEB中，BE=^AB--AE2=7(V15)2-(V3)2=273;

(2)解：VBE±AD,ZD=45°,

AZEBD=ZD=45°,

ABE=DE=2V3,

•••AD—AE+DE—yfi+25/3—3>/3，

：•s2AD.BE=；乂3值20=9；

(3)证明：如图，延长ZE至M点，使2尸=儿/E连接

，EF=BF,

在A/E尸和△MBR中，

AF=FM

<ZAFE=NBFM

EF=BF

:.△AEF^AMBF{SAS},

，NE4E=NFMB,

J.AE//MB