2023年贵州省都匀市高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，已知直线/：y=Z(x+l)(Z>0)与抛物线C：V=4尤相交于A,B两点,且4、8两点在抛物线准线上的投

影分别是M,N,若|AM|=2忸N|,则女的值是()

1

AV2

33

2+3/

2.已知i为虚数单位，则

(1-2/)/

74.74.

A.

5555

3.已知甲盒子中有旭个红球，〃个蓝球，乙盒子中有加-1个红球，〃+1个蓝球(m23,〃23),同时从甲乙两个盒子

中取出d=1,2)个球进行交换，(a)交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为P,(i=L2).(b)交换后，乙盒

子中含有红球的个数记为。0=1,2).则()

A.%>P2，E&)<E&)B.p/P2，E@》E&)

c.Pl>P2,E&)>E&)D.Pi<P2，E(0)<E记2)

4.对于函数/(x),定义满足,fM=毛的实数X。为/(力的不动点，设f(x)=logfl尤，其中a>0且aH1,若f(x)

有且仅有一个不动点，则”的取值范围是()

A.0<。<1或。=\[eB.\<a<\[e

C.0<。<1或…―D.()<a<l

Cl-c

5.已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为()

△出

*<-2/2-**

A.272B.273C.4D.276

6.已知纯虚数二满足（l-2i）z=2+ai,其中i为虚数单位，则实数。等于（）

A.-1B.1C.-2D.2

7.已知等差数列｛4｝中，%=7,%（）+。7=°，则生+“4=（）

A.20B.18C.16D.14

8.已知向量£与向量/〃=（4,6）平行，3=（-5/），且£寄=14，则£=（）

A.（4,6）B.（T,-6）

、（2>/133713^1（2VT33713^

C13,13）D・[―-B->--1Fj

9.（x+y）（2x-y）5的展开式中的系数为（）

A.-30B.-40C.40D.50

10.设等差数列｛%｝的前〃项和为S,,若2+%=4+。3,则$7=（）

A.28B.14C.7D.2

11.设a,£是方程/一X一1=0的两个不等实数根，记%=a"+/T(〃eN*).下列两个命题()

①数列｛%｝的任意一项都是正整数；

②数列｛«„｝存在某一项是5的倍数.

A.①正确，②错误B.①错误，②正确

C.①②都正确D.①②都错误

12.已知整数・%)'满足x2+y2<]o,记点加的坐标为(x,y),则点M满足x+yN6的概率为()

967

A.—D.

353537

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在+的展开式中，各项系数之和为64,则展开式中的常数项为.

JTJT

14.在△ABC中，AB=2,B=-,C=-9点尸是边8C的中点，则AC=,APBC=.

46

15.给出以下式子：

①tan250+tan350+6tan25°tan35°；

@2(sin350cos250+cos350cos65°)；

-1+toil5°

③---------

l-^nl5°

其中，结果为G的式子的序号是.

16.(a+x)(l+x)4的展开式中，若》的奇数次塞的项的系数之和为32,则。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知各项均不相等的等差数列｛%｝的前4项和为S4=14,且%小,%成等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列|」一|的前"项和Tn.

aa

[nn+lJ

18.(12分)选修4-4：坐标系与参数方程

x=2cos。

已知曲线G的参数方程是1.0(。为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c,

y=sin夕

的极坐标方程是。=2sin9.

(1)写出q的极坐标方程和G的直角坐标方程；

(2)已知点知1、知2的极坐标分别为(I,5]和(2,0),直线Mi"?与曲线C?相交于p,。两点，射线OP与曲线

G相交于点A,射线Q2与曲线G相交于点3,求77、+£产的值.

\OA\~\OB|"

19.(12分)在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行

合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：

试销价格

456789

X(元)

产品销量y

898382797467

（件）

已知变量x，y且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲），=4x+53；乙

y=Yx+105;丙＞=7.6%+104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

（1）试判断谁的计算结果正确？

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中

随机抽取3个，求“理想数据”的个数X的分布列和数学期望.

20.（12分）新高考，取消文理科，实行“3+3”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中

学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在口5,45）称为

中青年，年龄在45,75）称为中老年），并把调查结果制成下表:

年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

频数515101055

了解4126521

（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；

（2）请根据上表完成下面2x2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关?

了解新高考不了解新高考总计

中青年

中老年

总计

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

（3）若从年龄在［55,65）的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X,求X的分

布列以及E（X）.

21.（12分）已知椭圆C：=+与=1（a>*>0）过点（0,叵）,且满足a+b=3夜.

ab

（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为1的直线与椭圆C交于两个不同点A,B,点"坐标为（2,1）,设直线肌4与的斜率分别为心,

2

ki,试问心+生是否为定值？并说明理由.

22.（10分）如图，。是在△A5C边AC上的一点，△面积是△A3。面积的2倍，ZCBD=2ZABD=2O.

/T、H八兀-sinAi乙一

（I）若0=［求一^；的值;

osine

(II)若8C=4,AB=2啦,求边AC的长.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

直线y=k（x+1）（攵>0）恒过定点P（-1。），由此推导出\OB\=^\AF\,由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值.

【详解】

设抛物线C：V=4x的准线为/:x=—1,

直线y=Zr（x+1）（左>0）恒过定点P（-LO）,

如图过A、5分别作AM_L/于M,BNII于N,

由|AM|=2忸M，贝!J|E4|=2|EB|,

点8为A尸的中点、连接则|QB|=g|A可，

：.\OB\=\BF\,点8的横坐标为;，

...点B的坐标为把代入直线丫=%(X+1)(攵＞0),

解得V

故选：C.

【点睛】

本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属

于中档题.

2.A

【解析】

根据复数乘除运算法则，即可求解.

【详解】

2+3i_2+3i_（2+3i）（2-i）_74.

（l-2z）z-2+z-（2+z）（2-z）-5

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数运算，属于基础题题.

3.A

【解析】

分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是

对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.

详解：根据题意有，如果交换一个球,

有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球,

红球的个数就会出现〃£〃?-1,加+1三种情况；

如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝

一红换亮蓝，

对应的红球的个数就是加—2,〃7—1,北加+1,〃7+2五种情况，所以分析可以求得>必,E©)<EC2),故选A.

点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对

应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.

4.C

【解析】

[n]n丫

根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得In”=?；构造函数g(x)=丁，并讨论g(x)的单调性与最值,

画出函数图象，即可确定”的取值范围.

【详解】

由log“x=x得，lna=^-.

X

Inx

令g(x)=

尤

贝!lg，(x)=号%

令g'(x)=O,解得x=e,

所以当xe(O,e)时，g'(x)>0,则g(x)在(0,e)内单调递增;

当xw(e,+oo)时，g[x)<0,则g(x)在(e,+8)内单调递减；

所以g(x)在x=e处取得极大值，即最大值为g{e]=-=-,

ee

1nY

贝！Jg(x)=——的图象如下图所示：

由/(X)有且仅有一个不动点，可得得lna<()或lna=1,

解得0<a<1或”

故选：c

【点睛】

本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.

5.B

【解析】

由三视图可知，该三棱锥如图，其中底面ABC是等腰直角三角形，PC，平面ABC,结合三视图求出每个面的面积即

可.

【详解】

由三视图可知，该三棱锥如图所示:

B

其中底面4BC是等腰直角三角形，PC_L平面ABC,

由三视图知，PC=2,AB=2V2,

因为PC，5cpe_LAC,AC=BC,AC_LC8,

所以AC=BC=2,PA=PB=AB=2后,

所以S&PAC=S/^CB=^\ACB=-X2X2=2,

因为为等边三角形，

所以SAPAB=乎=手X(2何=26,

所以该三棱锥的四个面中，最大面积为26.

故选：B

【点睛】

本题考查三视图还原几何体并求其面积；考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关

键;属于中档题、常考题型.

6.B

【解析】

先根据复数的除法表示出z,然后根据二是纯虚数求解出对应的«的值即可.

【详解】

2+出(2+出)(1+2i)2一2a+(4+a)i

因为(l—2i)z=2+ai,所以

l-2i~(l-2z)(l+2z)5

又因为z是纯虚数，所以2-2。=0,所以“=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数2=。+初为纯虚数，则有4=0,/7Ho.

7.A

【解析】

设等差数列｛4｝的公差为。，再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差，进而求得/+%即可.

【详解】

%=7,a.+4d=7,4=15,

设等差数列｛4｝的公差为由，得解得六一2.所以

aw+%=0q+9d+q+6d=0

阳+g=2〃[+5d=2x15+5x(-2)=20.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.

8.B

【解析】

设;=(x,y),根据题意得出关于X、丁的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量口的坐标.

【详解】

设a=(x,y),且加=(4,6),^=(-5,1),

由7/〃；得6x=4y,即3x=2y,①，由=-5x+y=14,②,

3x中=2y=解得|x--4

所以《[.50)因此，a=(-4,-6).

y=-6

故选：B.

【点睛】

本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

9.C

【解析】

先写出(2x-y)s的通项公式，再根据的产生过程，即可求得.

【详解】

对二项式

其通项公式为Tr+1=C；(2x广(-»=G2“，(-1/式V

(x+y)(2x—y)5的展开式中x3/的系数

是(2x-y)s展开式中的系数与》3天的系数之和.

令r=3,可得,r2y3的系数为C^22(-l)3=-40；

令r=2,可得」。的系数为或23(-1)2=80；

故(x+y)(2x—y1的展开式中/y，的系数为80-40=40.

故选：C.

【点睛】

本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.

10.B

【解析】

根据等差数列的性质4+。3=4+%并结合已知可求出鬼，再利用等差数列性质可得s严整乌2=7a4,即可求

出结果.

【详解】

因为4+%=包+。5，所以2+%=%+。5，所以%=2,

所以57=驾®=7%=14,

故选：B

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质及前〃项和公式，属于基础题.

11.A

【解析】

利用韦达定理可得a+尸=1,3=-1,结合。“=a"+£"可推出an+l=4+,再计算出4=1,4=3，从而推出①

正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.

【详解】

因为a,夕是方程/%_1=0的两个不等实数根，

所以a+4=1,3=-1,

因为4=〃+£",

所以4+1=。田+夕田

=(〃+/T)a+(a"+/?")/?—炉a-"

=(a"+4")(a+/3｝-a(3(an-'+伊一)

=(a"+夕)+(a"T+/i)=4+%,

即当〃23时，数列｛。“｝中的任一项都等于其前两项之和，

222

又q=a+J3-l,a2=a+J3=(cr+yff)-2aB=3,

所以q=a2+a1=4,4-a3+a2=7,%=4+%=11,

以此类推，即可知数列｛%｝的任意一项都是正整数，故①正确；

若数列｛6,｝存在某一项是5的倍数，则此项个位数字应当为0或5,

由q=1,4=3,依次计算可知，

数列｛«„｝中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期，

故数列｛«„｝中不存在个位数字为0或5的项，故②错误；

故选:A.

【点睛】

本题主要考查数列递推公式的推导，考查数列性质的应用，考查学生的综合分析以及计算能力.

12.D

【解析】

列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.

【详解】

因为X，)'是整数，所以所有满足条件的点M(x,y)是位于圆f+/=10(含边界)内的整数点，满足条件/+]0

的整数点有(0,0),(0,±1),(0,±2),(0,±3),(±1,0),

(±2,0),(±3,0),(±1,±1),(±2,±1),(±3,±1),(±1,±2),(±2,±2),(±1,±3)37个，

7

满足x+y2百的整数点有7个，则所求概率为三.

故选：D.

【点睛】

本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.15

【解析】

利用展开式各项系数之和求得〃的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解.

【详解】

的展开式各项系数和为2"=64,得〃=6,

所以，+的展开式通项为•(五=爱了等,

令葭-=o,得r=2,因此，展开式中的常数项为c；=15.

故答案为：15.

【点睛】

本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.

14.2a2

【解析】

根据正弦定理直接求出AC,利用三角形的边表示向量AP，然后利用向量的数量积求解AP-BC即可.

【详解】

7171

•.•△ABC中，AB=2,B=—,C=-,

46

ACAB

：.----=-----,

sinBsinC

可得AC=20

因为点P是边BC的中点，

所以Q屈」(通+宿屈」(福+同•(而-丽」k-L通2

2222

=-x(2V2)2--x22=2

22

故答案为：20；2.

【点睛】

本题主要考查了三角形的解法，向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题.

15.①(D③

【解析】

由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.

【详解】

tan25Q+tan350

(1)Vtan60°=tan(25°+35°)=上,

\-tan250tan350

tan250+tan3504-5/3tan25°tan35°；

百(1-九25°S〃35°)+V3tan25°tan35°,

=5/3，

②2(sin35ocos25°+cos35ocos65°)=2(sin350cos25°+cos35°sin250),

=2sin60°=^3

1+tan\50tan450+tani50

tan(45°+15°)=tan60°=V3;

1-taiA5°\-tan450tan450

故答案为：①②③

【点睛】

本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.

16.3

【解析】

试题分析：由已知得(l+x)4=l+4x+6x2+4/+/,故(q+x)(i+1)4的展开式中X的奇数次事项分别为4or,

4办3,X,6d，其系数之和为4a+4a+1+6+1=32,解得a=3.

考点：二项式定理.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）…+1；⑵而物.

【解析】

试题分析：（1）设公差为。，列出关于4，"的方程组，求解的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得

111

-----=-r——即可利用裂项相消求解数列的和.

44+1--〃+1〃+2

4q+6d=14

试题解析：（1）设公差为d.由已知得｛/一，、2/，7解得d=l或4=0（舍去），所以6=2,故4=〃+1.

（4+2d）=%（q4-6（7）

..]_]__1_____1_

⑵++n+1〃+2，

.111111n

'/=-----------+--I---------------=-------------------

'"2334…»+1n+22（〃+2）

考点：等差数列的通项公式；数列的求和.

丫2115

18.（1）线G的普通方程为\+y2=i,曲线的直角坐标方程为f+（y—1）2=1；（2）而r+两？=不

【解析】

X-pcosO

试题分析：（1）（1）利用cos2O+sin20=l,即可曲线Ci的参数方程化为普通方程，进而利用产.即可化为极坐

y—psin6

标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；

（2）由叫区过/+（厂1）2=1的圆心，得OP_LOQ得OA_LOB,设A（〃，。），+

1111022，,

FT存+万不透=彳+彳代入㈡^+「1/6=1中即可得解.

IOA.||OB|PiP?4

试题解析：

（1）曲线G的普通方程为二+9=1，化成极坐标方程为巨竺”+「2亘1?。=1

44

曲线C2的直角坐标方程为V+Q—1）2=1

(2)在直角坐标系下，必(0,1),M2(2,0),必必：》+2广2=0

恰好过V+0—1)2=］的圆心，

V-2

.•./尸0。=90°由02_10。得。4_103A,8是椭圆土+丁=1上的两点,

在极坐标下，设ASI，。)，+分别代入左苧N+0：sin26=l中,

有左詈2+ojsin?。=1和金郎

+屋邛+讣1

4

1cos2。与皿+cos沿

+sin20,

P14

115115

即----T-*---------7=—

P\Pi4|。4『4

19.(1)乙同学正确

3

(2)分布列见解析，E(X)=-

【解析】

(1)由已知可得甲不正确，求出样本中心点丘,1)代入验证，即可得出结论：

(2)根据(D中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X的可能值，并求出

概率，得到分布列，即可求解.

【详解】

(1)已知变量乂丁具有线性负相关关系，故甲不正确,

vx=6.5,y=79,代入两个回归方程，验证乙同学正确,

故回归方程为：y=-4x+105

(2)由(1)得到的回归方程，计算估计数据如下表:

X456789

y898382797467

y898581777369

“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X的取值为:0,1,2,3.

1c[c29

p(x=0)=当P(X==])=当

)Cl-20,)C；20

C2cl

9=i)=G匾1

p(x=2)=当P(X=

)cl-20,=20

于是“理想数据”的个数X的分布列

X0123

1991

p

20202020

,-.E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=-

v'202020202

【点睛】

本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学

计算能力，属于中档题.

2

20.(1)P=-；(2)见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联；(3)分布列见解析,

E(X)=1

【解析】

(1)分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率;

(2)根据数据列出列联表，求出K?的观测值，对照表格，即可得出结论;

(3)年龄在［55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，X可能取值为0,1,2,分别求出概率，列出随

机变量分布列，根据期望公式即可求解.

【详解】

2211

(1)由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率尸=否二百，

中老年对新高考了解的概率尸=2=;.

205

(2)2x2列联表如图所示

了解新高考不了解新高考总计

中青年22830

老年81220

总计302050

50X(22X12-8X8)^

K2=556>3841>

30x20x20x30

所以有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联.

(3)年龄在［55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人,

则抽取的3人中了解新高考的人数X可能取值为0,1,2,

C°C31c'd63

贝"。=0)=言=6P(X=1)

Cl-lo-5

c2c'3

P(X=2)=-^

C510

所以X的分布列为

X012

133

P

10510

133