文克勒地基上梁的计算

基础工程青岛理工大学土木工程学院地基教研室精选课件3.3地基计算模型进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变关系，表达这种关系模式称为地基模型。土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构性、流变性、剪胀性。影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、应力历史。精选课件〔1〕线弹性模型文克勒地基模型，弹性半空间地基模型，有限压缩层地基模型〔2〕刚塑性模型用于地基承载力、边坡稳定、土压力等计算。〔3〕理想弹塑性模型〔5〕弹塑性模型剑桥模型〔Cam-Clay〕——用于粘土莱特-邓肯模型〔Lade-Duncan〕——用于砂土〔6〕粘弹性模型〔4〕非线性弹性模型E-μ模型〔邓肯-张Duncan-Chang、双曲线〕K-G模型精选课件一、文克勒地基模型1867年捷克工程师文克勒提出如下假设：地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基沉降量s成正比。

p=kSK为基床反力系数，单位kN/m3

精选课件把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根弹簧代替。压力与变形成正比。基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大〔根底〕受荷后根底底面仍保持平面，基底反力图形按直线规律变化。精选课件适用范围：1〕地基主要受力层为软土；2〕厚度不超过根底底面宽度之半的薄压缩层地基；3〕塑性区较大时；4〕支承在桩上的连续根底，可以用弹簧体系代替群桩。优点：形式简单、参数少，应用比较广泛。缺陷：该模型不能扩散应力和变形，不能传递剪力。精选课件二、弹性半空间地基模型弹性半空间地基模型：假定将地基视为均质的线性变形半空间，用弹性力学求解地基附加应力或位移，地基上任意点沉降与整个基底反力及相邻荷载分布有关。1〕布辛奈斯科解，作用P时距r外表沉降s为2〕均荷作用下，矩形中心点沉降，可对上式积分得

精选课件按叠加法，网格i中点的沉降为所有n个网格上的基底压力分别引起的沉降之和，即精选课件即对于整个根底有[δ]称为地基柔度矩阵精选课件优点：能够扩散应力和变形，可以反响邻近荷载的影响。缺点：模型的扩散能力往往超过地基实际情况，沉降量和沉降范围比实测结果大。未能考虑到地基的成层性、非均质性以及土体应力应变关系的非线性等重要因素。精选课件三、有限压缩层地基模型有限压缩层地基模型：把计算沉降的分层总和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵：

σtij—第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)精选课件精选课件优点：较好地反映了地基土扩散应力和变形地能力，反映邻近荷载的影响；考虑了土层沿深度和水平方向的变化。缺点：未能考虑土的非线性和基底反力的塑性重分布。精选课件四、相互作用根本条件两个条件1〕静力平衡外荷载和基底反力作用下满足2〕变形协调挠度=沉降量精选课件解析解：指能以函数的形式解析地表达出来地解答。如文克勒地基上梁的解答。数值解：把梁或板微分方程离散化，最终得到一组线性代数方程，从而求得近似地数值解。有限单元法有限差分法精选课件3.4文克勒地基上梁计算3.4.1无限长梁的解答一、微分方程精选课件根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：由梁的微单元的静力平衡条件∑M=0、∑V=0得到：

精选课件将上式连续对坐标x取两次导数，便得：

对于没有分布荷载作用〔q=0〕的梁段，上式成为：上式是根底梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。精选课件

采用文克勒地基模型时文克勒地基上梁的挠曲微分方程精选课件柔度特征值：λ单位为m-1,其倒数为特征长度。λ值与地基基床系数和梁的抗弯刚度有关，λ值越小，那么根底的相对刚度愈大。精选课件四阶常系数线性常微分方程特征方程特征方程根

精选课件解得该方程的通解为：式中C１、C２、C３和C４为积分常数

精选课件2.集中荷载作用下的解答(1)竖向集中力作用下边界条件：当x→∞时，w→0。将此边界条件代入上式，得C１=C２=0。梁的右半部，上式成为：

对称性：在x=0处，dw/dx=0，代入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C，那么上式成为F0Ox精选课件静力平衡条件：再在O点处紧靠F0的左、右侧把梁切开，那么作用于O点左右两侧截面上的剪力均等于F0之半，且指向上方。根据符号规定，在右侧截面有V=－F0/2，由此得C=F0λ/2kb。F0+V符号规定F0Ox精选课件将上式对x依次取一阶、二阶和三阶导数：

对F0左边的截面〔x＜0〕，需用x的绝对值代入计算，计算结果为w和M时正负号不变，但q和V那么取相反的符号。精选课件〔2〕集中力偶作用下当x→∞时，w→0，C１=C２=0。

当x=0时w=0，所以C3=0。

M0M0/2在右侧截面有M=M0/2，由此得C4=M0λ2/kb，于是

M0Ox精选课件求w对x的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下：

当计算截面位于M0的左边时，上式中的x取绝对值，w和M取与计算结果相反的符号，而q和V的符号不变。

精选课件精选课件3、多个集中荷载作用下无限长梁计算集中力集中力偶精选课件把各荷载单独作用时在该截面引起的效应叠加，即得到共同作用下的总效应：集中力集中力偶精选课件注意：1〕在每次计算时，均需把坐标原点移到相应的集中荷载作用点处；正确利用对称性；2〕Aa、Da、Cb等系数是根据相应λx值分别查表得到；

精选课件3.4.2有限长梁思路：把有限长梁转化为无限长梁计算。以无限长梁为根底，利用叠加原理来求得满足有限长梁两自由边界条件的解答。附加荷载FA、MA和FB

、MB称为梁端边界条件力。精选课件设外荷载在梁ⅡA、B两截面上所产生的弯矩和剪力分别为Ma、Va及Mb、Vb，那么精选课件解上述方程组得：精选课件1、将有限长梁视为无限长梁，求解所有集中力和力偶作用下梁端A,B处的内力，并叠加为2、在无限长梁A,B处施加梁端边界条件力MA，PA，MB，PB,使其产生的A,B处的内力为，-Ma，-Va，-Mb，-Vb；可求出梁端边界条件力。3、在无限长梁上，计算梁上外荷载以及两端边界力共同作用下无限长梁上待求位置处的内力及位移。有限长梁的计算步骤：掌握有限长梁的计算精选课件3.4.3柔度指数梁的柔度特征值表征文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值按ll值的大小将梁可划分三种：精选课件计算模式：对于短梁，采用基底反力呈直线分布的简化方法计算；对于有限长梁，应用叠加原理，转化为无限长梁计算；对于长梁，如柔度较大的梁，可直接按无限长梁进行简化计算；但如梁上的集中荷载与梁端的最小距离x<π/λ时，按有限长梁计算。在选择计算方法时，除了按λl值划分梁的类型外，还需兼顾外荷载的大小和作用点位置。精选课件在实际工程中，根底梁还存在一端为有限梁端，另一端为无限长，称为半无限长梁。精选课件基床系数k的大小取决于基底压力大小及分布、土的压缩性、土层厚度、邻近荷载等等因素。物理意义：使土体产生单位位移所需的应力；精选课件2〕按载荷试验成果确定如地基压缩层内土质均匀，可用在载荷试验p-s曲线确定k。取对应于基底平均反力p及其对应的沉降值s。承压板边长30cm

精选课件太沙基建议的方法：1ch*1ch的方形载荷板砂土考虑了砂土的变形模量随深度逐渐增大的影响。粘性土精选课件例图3-1中的条形根底抗弯刚度EI=4.3×103MPa·m4，长l=17m，底面宽b=2.5m，预估平均沉降sm=39.7mm。试计算根底中点C处的挠度、弯矩和