工程数学课件

初等函數

*1,指數函數希望能夠在複平面內定義一個函數f(z)具有實函數中的指數函數ex的三個性質:

i)f(z)在複平面內解析;

ii)f'(z)=f(z)

iii)当Im(z)=0時,f(z)=ex,其中x=Re(z)

前面的例1中已經知道,函數

f(z)=ex(cosy+isiny)

是一个在复平面处处解析的函数,且有

f'(z)=f(z),當y=0時,f(z)=ex.f(z)稱為指數函數.

记作expz=ex(cosy+isiny). (2.3.1)

等價於關係式:|expz|=ex,

Arg(expz)=y+2kp (2.3.2)*由(2.3.2)中的第一式可知

expz0.

跟ex一樣,expz也服從加法定理:

expz1expz2=exp(z1+z2) (2.3.3)

事實上,設z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定義有*鑒於expz滿足條件iii),且加法定理也成立,為了方便,往往用ez代替expz.但是必須注意,這裏的ez沒有冪的意義,僅僅作為代替expz的符號使用,因此我們就有

ez=ex(cosy+isiny) (2.3.4)

特別,當x=0時,有

eiy=cosy+isiny (2.3.5)

由加法定理,我們可以推出expz的週期性,它的週期性是2kpi,即

ez+2kpi=eze2kpi=ez

其中k為任何整數.*2.對數函數對數函數定義為指數函數的反函數.將滿足方程

ew=z (z0)

的函數w=f(z)稱為對數函數.令w=u+iv,z=reiq,則 eu+iv=reiq,

所以 u=lnr,v=q.

因此 w=ln|z|+iArgz

由於Argz為多值函數,所以對數函數w=f(z)為多值函數,並且每兩個值相差2pi的整數倍,記作

Lnz=ln|z|+iArgz (2.3.6)* Lnz=ln|z|+iArgz (2.3.6)

如果規定上式中的Argz取主值argz,則Lnz為一單值函數,記作lnz,稱為Lnz的主值,因此

lnz=ln|z|+iargz (2.3.7)

而其餘各值可由

Lnz=lnz+2kpi (k=1,2,...) (2.3.8)

表達.對於每一個固定的k,(2.3.8)式為一單值函數,稱為Lnz的一個分支.

特别,當z=x>0時,Lnz的主值lnz=lnx,就是實變數對數函數.*例1

求Ln2,Ln(-1)以及它們相應的主值.

[解]因為Ln2=ln2+2kpi,所以它的主值就是ln2.而Ln(-1)=ln1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k為整數),所以它的主值是ln(-1)=pi.

在实变函数中,負數無對數,此例說明在複數範圍內不再成立.而且正實數的對數也是無窮多值的.因此,複變數對數函數是實變數對數函數的拓廣.利用幅角的性質不難證明:*對數函數的解析性.就主值lnz而言,其中ln|z|除原點外在其他點都是連續的,而argz在原點與負實軸上都不連續.因為若設z=x+iy,則當z<0時,所以,除去原點與負實軸,在複平面內其他點lnz處處連續.綜上所述,z=ew在區域-p<v=argz<p內的反函數w=lnz是單值的,由反函數求導法則可知:*所以,lnz在除去原點及負實軸的平面內解析.由(2.3.8)式就可知道,Lnz的各個分支在除去原點及負實軸的平面內也解析,並且有相同的導數值.

今后我们应用对数函数Lnz時,指的都是它在除去原點及負實軸的平面內的某一單值分支.*3.乘冪ab與冪函數在高等數學中,如果a為正數,b為實數,則乘冪ab可表示為ab=eblna,現在將它推廣到複數的情形.設a為不等於0的一個複數,b為任意一個複數,定義乘冪ab為ebLna,即

ab=ebLna (2.3.9)

由於Lna=ln|a|+i(arga+2kp)是多值的,因而ab也是多值的.當b為整數時,由於

ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arga+2kp)]

=eb(ln|a|+iarga)+2kbpi=eblna,

所以这时ab具有單一的值.*當b=p/q(p和q為互質的整數,q>0)時,由於ab具有q個值,即當k=0,1,...,(q-1)時相應的各個值.除此而外,一般而論ab具有無窮多個值.****zn在複平面內是單值解析函數,(zn)'=nzn-1.**4.三角函數和雙曲函數根據(2.3.5)我們有

eiy=cosy+isiny

e-iy=cosy-isiny

將這兩式相加與相減,分別得到現將其推廣到自變數取複值的情形,定義*當z為實數時,顯然這與(2.3.12)完全一致.由於ez是以2pi為週期的週期函數,因此cosz和sinz以2p為週期,即

cos(z+2p)=cosz, sin(z+2p)=sinz.

也容易推出cosz是偶函數:

cos(-z)=cosz

而sinz是奇函數:

sin(-z)=-sinz

由指數函數的導數公式可以求得

(cosz)'=-sinz,(sinz)'=cosz

由(2.3.13),易知

eiz=cosz+isinz (2.3.14)

普遍正確,即對於複數,歐拉公式仍然成立.*由定義可知三角函數許多公式仍然成立由此得cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.但當z為純虛數iy時,我們有*所以這兩個公式對於計算cosz與sinz的值有用.當y

時,|siniy|和|cosiy|都趨於無窮大,因此,|sinz|1和|cosz|1在複數範圍內不再成立.其他複變數三角函數的定義如下:*與三角函數密切相關的是雙曲函數,定義分別稱為雙曲余弦,正弦和正切函數.chz和shz都是以2pi為週期的函數,chz為偶函數,shz為奇函數,它們都是複平面內的解析函數,導數分別為: (chz)'=shz, (shz)'=chz (2.3.18)不難證明chiy=cosy,shiy=isiny (2.3.19)*5.反三角函數與反雙曲函數反三角函數定義為三角函數的反函數,設

z=cosw,

则称w為z的反余弦函數,記作

w=Arccosz.*用同樣的方法可以定義反正弦和反正切函數,並且重複上述步驟,可以得到它們的運算式:*反雙曲函數定義為雙曲函數的反函數.用與推導反三角函數運算式完全類似的步驟,可以得到各反雙曲函數的運算式:*它們都是多值函數.第三章複變函數的積分§1複變函數積分的概念*1.積分的定義設C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線.如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),則將C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.設曲線C的兩個端點為A與B,如果將A到B的方向作為C的正方向,則從B到A的方向就是C的負方向,並記作C-.常將兩個端點中一個作為起點,另一個作為終點,則正方向規定為起點至終點的方向.而簡單閉曲線的正方向是指當曲線上的點P順此方向沿該曲線前進時,鄰近P點的曲線內部始終位於P點的左方.*定義設函數w=f(z)定義在區域D內,C為在區域D內起點為A終點為B的一條光滑的有向曲線.把曲線C任意分成n個弧段,設分點為

A=z0,z1,...,zk-1,zk,...,zn=B*Az1z1z2z2z3z3...zk-1zkzkDzkBxyO在每個弧段zk-1,zk(k=1,2,...,n)上任意取一點

k,並作和式*容易看出,當C是x軸上的區間a

x

b,而f(z)=u(x)時,這個積分定義就是一元實函數定積分的定義.*2,積分存在的條件及計算法設光滑曲線C由參數方程

z=z(t)=x(t)+iy(t),a

t

b (3.1.2)

給出,正方向為參數增加的方向,參數a及b對應於起點A及終點B,並且z'(t)0,a<t<b.

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內處處連續,則u(x,y)及v(x,y)均為D內的連續函數.設zk=xk+ihk,由於

Dzk=zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1)

=(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=Dxk+iDyk,

所以,**由於u,v都是連續函數,根據線積分的存在定理,我們知道當n無限增大而弧段長度的最大值趨於零時,不論對C的分法如何,點(xk,hk)的取法如何,上式右端的兩個和式的極限都是存在的.因此有**上式右端可以寫成如果C是由C1,C2,...,Cn等光滑曲線首尾連接而成,則我們定義*例1計算,其中C為原點到點3+4i的直線段.

[解]直線的方程可寫作

x=3t,y=4t,0

t1,

或 z=3t+i4t,0

t1.

在C上,z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt.於是*例2計算,其中C為以z0為中心,r為半徑的正向圓周,n為整數.*z0rqz-z0=reiqzOxy[解]C的方程可寫作

z=z0+reiq,0

q2p,dz=ireiqdq*所以這個結果以後經常要用到,它的特點是與積分路線圓周的中心和半徑無關.應當記住.*3.積分的性質*

複變函數*1.複變函數的定義定義設G是一個複數z=x+iy的集合,如果有一個確定的法則存在,按照這一法則,對於集合G中的每一個複數z,就有一個或幾個複數w=u+iv與之對應,則稱複變數w是複變數z的函數(簡稱複變函數),記作

w=f(z)*如果z的一個值對應著w的一個值,則函數f(z)是單值的;否則就是多值的.集合G稱為f(z)的定義集合,對應於G中所有z對應的一切w值所成的集合G*,稱為函數值集合.在以後的討論中,定義集合G常常是一個平面區域,稱之為定義域,並且,如無特別聲明,所討論的函數均為單值函數.

由于给定了一个复数z=x+iy就相當於給定了兩個實數x和y,而複數w=u+iv亦同樣地對應著一對實數u和v,所以複變函數w和引數z之間的關係w=f(z)相當於兩個關係式:

u=u(x,y),v=v(x,y),

它們確定了引數為x和y的兩個二元實變函數.*例如,考察函數

w=z2

令z=x+iy,w=u+iv,則

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,

因而函数w=z2對應於兩個二元函數:

u=x2-y2,v=2xy*2.映射的概念如用z平面上的點表示引數z的值,而用另一個平面w平面上的點表示函數w的值,則函數w=f(z)在幾何上就可以看做是把z平面上的一個點集G(定義集合)變到w平面上的一個點集G*(函數值集合)的映射(或變換).這個映射通常簡稱為由函數w=f(z)所構成的映射.如果G中的點z被映射w=f(z)映射成G*中的點w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象.*設函數w=z,*xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2設函數w=z2,*2axyOuvOz1z2w2z3w3aw1假定函數w=f(z)的定義集合為z平面上的集合G,函數值集合為w平面上的集合G*,則G*中的每個點w必將對應著G中的一個(或幾個)點.按照函數的定義,在G*上就確定了一個單值(或多值)函數z=j(w),它稱為函數w=f(z)的反函數,也稱為映射w=f(z)的逆映射.

从反函数的定义可知,對任意的w

G*,有

w=f[j(w)],

當反函數為單值函數時,也有

z=j[f(z)],z

G*今後,我們不再區分函數與映射(變換).如果函數(映射)w=f(z)與它的反函數(逆映射)z=j(w)都是單值的,則稱函數(映射)w=f(z)是一一的.此時,我們也稱集合G與集合G*是一一對應的.*§6複變函數的極限和連續性*1.函數的極限

定義设函数w=f(z)定義在z0的去心鄰域

0<|z-z0|<r內,如果有一確定的數A存在,對於任意給定的e>0,相應地必有一正數d(e)(0<d

),使得當0<|z-z0|<d時有

|f(z)-A|<e,

则称A為f(z)當z趨向於z0時的極限,記作或記作當z

z0時,f(z)A*這個定義的幾何意義是:當變點z一旦進入z0的充分小的d鄰域時,它的象點f(z)就落A的預先給定的e鄰域中.應當注意,z趨向於z0的方式是任意的,無論以何種方式趨向於z0,f(z)都要趨向於同一常數A.*xyOz0dzOuvAef(z)極限示意*xyOuvO定理一設f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,則*證必要性:*充分性:*定理二*2.函數的連續性

定義則說f(z)在z0處連續.如果f(z)在區域D內處處連續,我們說f(z)在D內連續.定理三函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0處連續的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)處連續.*定理四1)在z0連續的兩個函數f(z)與g(z)的和,差,積,商(分母在z0不為零)在z0處連續;

2)如果函数h=g(z)在z0處連續,函數w=f(h)在h0=g(z0)連續,則複合函數w=f[g(z)]在z0處連續.

由以上定理,可以推得有理整函數(多項式)

w=P(z)=a0+a1z+a2z2+...+anzn

對複平面內所有的z都是連續的,而有理分式函數其中P(z)和Q(z)都是多項式,在複平面分母不為零的點也是連續的*還應指出,所謂函數f(z)在曲線C上z0點處連續的意義是指在閉曲線或包括曲線端點在內的曲線段上連續的函數f(z)在曲線上是有界的.即存在一正數M,在曲線上恒有

|f(z)|

M*第二章解析函數*§1解析函數的概念*1.複變函數的導數與微分

i)導數的定義

定義设函数w=f(z)定義於區域D,z0為D中一點,點z0+Dz不出D的範圍.如果極限存在,則就說f(z)在z0可導,此極限值就稱為f(z)在z0的導數,記作*也就是說,對於任給的e>0,存在d(e)>0,使得當0<|Dz|<d時,有應當注意,定義中z0+Dz

z0(即Dz0)的方式是任意的,定義中極限值存在的要求與z0+Dz

z0的方式無關,也就是說,當z0+Dz在區域D內以任何方式趨於z0時,比值*如果f(z)在區域D內處處可導,就說f(z)在Ｄ內可導.

例1

求f(z)=z2的導數

[解]因為所以 f'(z)=2z.*2.函數的連續性

定義則說f(z)在z0處連續.如果f(z)在區域D內處處連續,我們說f(z)在D內連續.定理三函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0處連續的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)處連續.*ii)可導與連續容易證明,在z0點可導的函數必定在z0點連續.

事实上,由在z0點可導的定義,對於任給的e>0,相應地有一個d>0,使得當0<|Dz|<d時,有由此得f(z0+Dz)-f(z0)=f'(z0)Dz+r(Dz)Dz(2.1.2)*iii)求導法則與實函數同樣的辦法可得:

1)(c)'=0,其中c為複常數.

2)(zn)'=nzn-1,其中n為正整數.

3)[f(z)

g(z)]'=f'(z)g'(z).

4)[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z).6){f[g(z)]}'=f'(w)g'(z),其中w=g(z).*iv)微分的概念設函數w=f(z)在z0可導,則有

Dw=f(z0+Dz)-f(z0)=f'(z0)Dz+r(Dz)Dz,因此,|r(Dz)Dz|是|Dz|的高階無窮小量,而f'(z0)Dz是函數w=f(z)的改變量Dw的線性部分,稱為函數w=f(z)在點z0的微分,記作

dw=f'(z0)Dz (2.1.3)如果函數在z0的微分存在,則稱函數f(z)在z0可微.* dw=f'(z0)Dz (2.1.3)

特別,當f(z)=z時,由(2.1.3)得dz=Dz.於是(2.1.3)變為

dw=f'(z)dz,

即由此可見,函數w=f(z)在z0可導與在z0可微是等價的.如果f(z)在區域D內處處可微,則稱f(z)在D內可微.*2.解析函數的概念定義如果函數f(z)在z0及z0的鄰域內處處可導,則稱f(z)在z0解析,如果f(z)在區域D內每一點解析,則稱f(z)在D內解析,或稱f(z)是D內的一個解析函數(全純函數或正則函數)如果f(z)在z0不解析,則稱z0為f(z)的奇點.由定義可知,函數在區域內解析與在區域內可導是等價的.但是,函數在一點處解析和在一點處可導不等價.即,函數在一點處可導,不一定在該點處解析.*根據求導法則可知定理

1)在區域D內解析的兩個函數f(z)與g(z)的和,差,積,商(除去分母為零的點)在D內解析.2)設函數h=g(z)在z平面上的區域D內解析,函數w=f(h)在h平面上的區域G內解析.如果對D內的每一個點z,函數g(z)的對應值h都屬於G,則複合函數w=f[g(z)]在D內解析.所有多項式在複平面內是處處解析的,任何一個有理分式函數P(z)/Q(z)在不含分母為零的點的區域內是解析函數,使分母為零的點是它的奇點.*§2函數解析的充要條件*在工程中,往往是要用複變函數來解決實際問題.而實際問題中遇到的複變函數,通常都是某個實變函數延拓而來的.即,如果原來有一個實變函數f(x),引數是實數,函數值也是實數,則將x用一個複數代替,就產生了一個引數和函數值都是複數的複變函數.

事实上我们只关心这样的复变函数.比如說

實變函數f(x)=x2-x+1,則相應的延拓的複變函數就是f(z)=z2-z+1.

經常就是實變函數中的基本初等函數及組合構成的初等函數延拓到複變函數.*假設f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數,我們也可以將它看作是變數x,y的二元函數,則對x求偏導和對y求偏導,得兩個公式*定理一設函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區域D內,而f(z)在D內一點z=x+iy可導的充分必要條件是:u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微,並且在該點滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

*定理二函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內解析的充要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內可微,並滿足柯西-黎曼方程(2.2.1).例1判斷下列函數在何處可導,在何處解析:[解]1)因為u=x,v=-y,*可知柯西-黎曼方程不滿足,所以w=z在複平面內處處不可導,處處不解析2)因為u=excosy,v=exsiny,柯西-黎曼方程成立,由於上面四個偏導數都是連續的,所以f(z)在複平面內處處可導,處處解析,且根據(2.2.2)式有

f'(z)=ex(cosy+isiny)=f(z)今後將知道這個函數就是指數函數ez.*3)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以容易看出,這四個偏導數處處連續,但僅當x=y=0時,它們才滿足柯西-黎曼方程,因而函數僅在z=0可導,但在複平面內任何地方都不解析.*例2設函數f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2).問常數a,b,c,d取何值時,f(z)在複平面內處處解析?

[解]由於ux=2x+ay,uy=ax+2by,

vx=2cx+dy,vy=dx+2y

從而要使ux=vy,uy=-vx,

只需2x+ay=dx+2y,2cx+dy=-ax-2by.

因此,當a=2,b=-1,c=-1,d=2時,此函數在複平面內處處解析,這時

f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)

=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2*例3如果f'(z)在區域D處處為零,則f(z)在D內為一常數.

[证]因為所以u=常數,v=常數,因而f(z)在D內是常數.*例4如果f(z)=u+iv為一解析函數,且f'(z)0,則曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交,其中c1,c2為常數.

[证]由於f'(x)=-iuy+vy0,故uy與vy不全為零.

如果在曲线的交点处uy與vy都不為零,由隱函數求導法則知曲線族中任一條曲線的斜率分別為 k1=-ux/uy和k2=-vx/vy,

利用柯西-黎曼方程得

k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=(-vy/uy)(uy/vy)=-1

因此,二曲線族互相正交.如果uy與vy其中有一個為零,則另一個必不為零,此時易知交點的切線一條是垂直,一條是水準,仍然正交.*傅氏變換

1.傅氏變換的概念我們知道,若函數f(t)滿足傅氏積分定理的條件,則在f(t)的連續點處,有(1.8)式叫做f(t)的傅氏變換式,(1.9)式為F(w)的傅式逆變換式,f(t)與F(w)可相互轉換,可記為

F(w)=F[f(t)]和f(t)=F-1[F(w)]還可以將f(t)放在左端,F(w)放在右端,中間用雙向箭頭連接:

f(t)

F(w)

(1.8)式右端的积分运算,叫做f(t)的傅氏變換,同樣,(1.9)式右端的積分運算,叫做F(w)的傅氏逆變換.

F(w)稱作f(t)的象函數,

f(t)稱作F(w)的象原函數.

可以说象函数F(w)和象原函數f(t)構成了一個傅氏變換對.tf(t)根據(1.8)式,有這就是指數衰減函數的傅氏變換.根據(1.9)式,有因此有如果令b=1/2,就有可見鐘形函數的傅氏變換也是鐘形函數求鐘形脈衝函數的積分運算式,根據(1.9)式2.單位脈衝函數及其傅氏變換在物理和工程技術中,常常會碰到單位脈衝函數.因為有許多物理現象具有脈衝性質,如在電學中,要研究線性電路受具有脈衝性質的電勢作用後產生的電流;在力學中,要研究機械系統受衝擊力作用後的運動情況等.研究此類問題就會產生我們要介紹的單位脈衝函數.在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設為t=0)進入一單位電量的脈衝,現在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數,則由於電流強度是電荷函數對時間的變化率,即所以,當t0時,i(t)=0,由於q(t)是不連續的,從而在普通導數意義下,q(t)在這一點是不能求導數的.如果我們形式地計算這個導數,則得這表明在通常意義下的函數類中找不到一個函數能夠表示這樣的電流強度.為了確定這樣的電流強度,引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數,簡單記成d-函數.有了這種函數,對於許多集中於一點或一瞬時的量,例如點電荷,點熱源,集中於一點的品質及脈衝技術中的非常窄的脈衝等,就能夠象處理連續分佈的量那樣,以統一的方式加以解決.對於在(-,)上定義的所有可積函數的集合,也可以構成一線性空間,進一步地在上面定義內積,就可以構成一歐氏空間,兩個函數f(t)和g(t)的內積可以定義為:對於給定的f(t),我們希望找到一個函數和它的內積能夠正好等於f(0).如果f(t)在0處連續,我們可以用一非常小的正數e>0,計算f(t)在區間[0,e]上的平均值,則這個平均值近似等於f(0):而實際上這相當於f(t)和一稱作de(t)的函數內積:tde(t)1/eeO稱de(t)的弱極限為d-函數,記為d(t)de(t)1/eeO如f(t)在0點連續,則在0附近的非常小的一個領域可以看作是常數c=f(0).因此,任給一個在(-,)上積分值為1的函數g(t)圖例:OtOt工程上將d-函數稱為單位脈衝函數,可將d-函數用一個長度等於1的有向線段表示,這個線段的長度表示d-函數的積分值,稱為d-函數的強度.tOd(t)1d-函數有性質d-函數的傅氏變換為:tOd(t)1wOF(w)1

可見,單位脈衝函數d(t)與常數1構成了一傅氏變換對.同理,d(t-t0)和亦構成了一個傅氏變換對.在物理學和工程技術中,有許多重要函數不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件,即不滿足條件例如常數,符號函數,單位階躍函數以及正,余弦函數等,然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈衝函數及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.所謂廣義是相對於古典意義而言的,在廣義意義下,同樣可以說,象函數F(w)和象原函數f(t)亦構成一個傅氏變換對.pwO|F(w)|Otu(t)若F(w)=2pd(w)時,由傅氏逆變換可得所以1和2pd(w)也構成傅氏變換對.同理,如F(w)=2pd(w-w0)由上面兩個函數的變換可得例4求正弦函數f(t)=sinw0t的傅氏變換如圖所示:tsintpp-w0w0Ow|F(w)|

在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數,而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).由於w是連續變化的,我們稱之為連續頻譜,對一個時間函數作傅氏變換,就是求這個時間函數的頻譜.例5作如圖所示的單個矩形脈衝的頻譜圖f(t)單個矩形脈衝的頻譜函數為:tE-t/2t/2矩形脈衝的頻譜圖為wEt|F(w)|O振幅函數|F(w)|是角頻率w的偶函數,即我們定義為f(t)的相角頻譜.顯然,相角頻譜j(w)是w的奇函數,即j(w)=-j(-w).傅氏變換的性質*這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質,為了敘述方便起見,假定在這些性質中,凡是需要求傅氏變換的函數都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質時,不再重述這些條件.*線性性質設F1(w)=F[f1(t)],

F2(w)=F[f2(t)],a,b是常數,則

F[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)(1.13)

這個性質的作用是很顯然的,它表明了函數線性組合的傅氏變換等於各函數傅氏變換的線性組合.它的證明只需根據定義就可推出.

同样,傅氏逆變換亦具有類似的線性性質,即

F

-1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t)(1.14)*2.位移性質證由傅氏變換的定義,可知*微分性質如果f(t)在(-,+)上連續或只有有限個可去間斷點,且當|t|+時,f(t)0,則

F[f'(t)]=jwF[f(t)]. (1.17)

證由傅氏變換的定義,並利用分部積分可得推論

F[f(n)(t)]=(jw)nF[f(t)]. (1.18)*同樣,我們還能得到象函數的導數公式,設

F[f(t)]=F(w),則*本書中的積分的記號有不嚴格的寫法,即*4.積分性質*例2求微分積分方程的解,其中<t<+,a,b,c均為常數.根據傅氏變換的微分性質和積分性質,且記F[x(t)]=X(w),F[h(t)]=H(w).在方程兩邊取傅氏變換,可得

*運用傅氏變換的線性性質,微分性質以及積分性質,可以把線性常係數微分方程轉化為代數方程,通過解代數方程與求傅氏逆變換,就可以得到此微分方程的解.另外,傅氏變換還是求解數學物理方程的方法之一.*此外還有*性質小結:若F[f(t)]=F(w),F[g(t)]=G(w)*乘積定理若F(w)=F[f(t)],G(w)=F[g(t)],則*能量積分若F(w)=F[f(t)],則有這一等式又稱為帕塞瓦爾(Parserval)等式證在(1.20)式中,令f(t)=g(t),則**實際上,只要記住下麵四個傅裏葉變換,則所有的傅裏葉變換都無須從公式直接推導而從傅裏葉變換的性質就可導出.*注意第一類間斷點處的求導數,首先有*d(t)u(t)ttOO假設函數f(t)在t0處有一個上升了a的第一類間斷點,則f(t)可以分為在此處連續的一個函數f1(t)加上au(t-t0)*aa=+tt0t0t0ttf(t)f1(t)au(t-t0)例求方波的傅氏變換*t/2-t/2Etf(t)t/2-t/2Etf'(t)-E推導過程為*習題二14題求如圖所示的頻譜函數*t/2-t/2AOtf(t)t/2-t/2aOtf'(t)t/2-t/2aOtf''(t)a-2a-a因此有*習題二,2.(1)*tOf(t)1-1tOf'(t)1-12-2f(t)的二階導和三階導如下圖:*tOf''(t)1-12-2tOf'''(t)1-12-2因此有*習題二2.(2)***習題二2.(3)*-1-111f(t)tO-121f'(t)tO-1-1因此*習題二3.(1)f(t)=e-b|t|(b>0)

令g(t)=u(t)e-bt,則f(t)=g(t)+g(-t)*tg(t)tg(-t)tf(t)OOO因此有*習題二3.(2)f(t)=e-|t|cost**習題二3.(3)**習題二4題*習題二5.F(w)=p[d(w+w0)+d(w-w0)]*習題二6f(t)=sgnt*1-1tf(t)2tf'(t)OO習題二7.*習題二8.f(t)=costsint*習題二9.f(t)=sin3t*習題二13.週期為T的函數f(t)可表示為*

共形映射*§1共形映射的概念*z平面內的任一條有向曲線C可用

z=z(t),a

t

b

表示,它的正向取為t增大時點z移動的方向,z(t)為一條連續函數.

如果z'(t0)0,a<t0<b,則表示z'(t)的向量(把起點放取在z0.以下不一一說明)與C相切於點z0=z(t0).*z(t0)z(a)z(b)z'(t0)事實上,如果通過C上兩點P0與P的割線P0P的正向對應於t增大的方向,則這個方向與表示的方向相同.*Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)當點P沿C無限趨向於點P0,割線P0P的極限位置就是C上P0處的切線.因此,表示的向量與C相切於點z0=z(t0),且方向與C的正向一致.如果我們規定這個向量的方向作為C上點z0處的切線的正向,則我們有Argz'(t0)就是z0處C的切線正向與x軸正向間的夾角;相交於一點的兩條曲線C1與C2正向之間的夾角就是它們交點處切線正向間夾角*1.解析函數的導數的幾何意義設函數w=f(z)在區域D內解析,z0為D內的一點,且f'(z0)0.又設C為z平面內通過點z0的一條有向光滑曲線,它的參數方程是:

z=z(t),a

t

b,

它的正向相应于参数t增大的方向,且z0=z(t0),z'(t0)0,a<t0<b.則映射w=f(z)將C映射成w平面內通過點z0的對應點w0=f(z0)的一條有向光滑曲線G,它的參數方程是

w=f[z(t)],a

t

b

正向相应于参数t增大的方向.*根據複合函數求導法,有

w'(t0)=f'(z0)z'(t0)

0

因此,在G上點w0處也有切線存在,且切線正向與u軸正向的夾角是

Argw'(t0)=Argf'(z0)+Argz'(t0)*OxyOuvz0P0rzPDsC(z)(w)Gw0Q0QwrDs即

Argw'(t0)-Argz'(t0)=Argf'(z0)(6.1.1)

如果假定x軸與u軸,y軸與v軸的正向相同,而且將原來的切線的正向與映射過後的切線的正向之間的夾角理解為曲線C經過w=f(z)映射後在z0處的轉動角,則(6.1.1)式表明:

1)导数f'(z0)0的輻角Argf'(z0)是曲線C經過w=f(z)映射後在z0處的轉動角;

2)转动角的大小与方向跟曲线C的形狀與方向無關.所以這種映射具有轉動角的不變性.*通過z0點的可能的曲線有無限多條,其中的每一條都具有這樣的性質,即映射到w平面的曲線在w0點都轉動了一個角度Argf'(z0).*OxyOuv(z)(w)z0w0相交於點z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角,在其大小和方向上都等同於經w=f(z)映射後C1與C2對應的曲線G1與G2之間的夾角,所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質.這種性質稱為保角性*OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2此極限值稱為曲線C在z0的伸縮率.*OxyOuvz0P0rzPDsC(z)(w)Gw0Q0QwrDs(6.1.3)表明:

|f'(z)|是經過映射w=f(z)後通過點z0的任何曲線C在z0的伸縮率,它與曲線C的形狀及方向無關.所以這種映射又具有伸縮率的不變性.*定理一設函數w=f(z)在區域D內解析,z0為D內的一點,且f'(z0)0,則映射w=f(z)在z0具有兩個性質:

1)保角性.即通過z0的兩條曲線間的夾角跟經過映射後所得兩曲線間的夾角在大小和方向上保持不變

2)伸縮率的不變性.即通過z0的任何一條曲線的伸縮率均為|f'(z0)|而與其形狀和方向無關.*2.共形映射的概念

定義设函数w=f(z)在z0的鄰域內是一一的,在z0具有保角性和伸縮率不變性,則稱映射w=f(z)在z0是共形的,或稱w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在D內的每一點都是共形的,就稱w=f(z)是區域D內的共形映射.*定理二如果函數w=f(z)在z0解析,且f'(z0)0,則映射w=f(z)在z0是共形的,而且Argf'(z0)表示這個映射在z0的轉動角,|f'(z0)|表示伸縮率.

如果解析函数w=f(z)在D內處處有f'(z)0,則映射w=f(z)是D內的共形映射.*定理一的幾何意義.在D內作以z0為其一個頂點的小三角形,在映射下,得到一個以w0為其一個頂點的小曲邊三角形,這兩個三角形對應邊長之比近似為|f'(z0)|,有一個角相等,則這兩個三角形近似相似.*OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2*OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2§2分式線性映射*分式線性映射*兩個分式線性映射的複合,仍是一個分式線性映射.例如*也可將一般的分式線性映射分解為一些簡單映射的複合,*由此可見,一個一般形式的分式線性映射是由下列三種特殊映射複合而成:下麵討論三種映射,為了方便,暫且將w平面看成是與z平面重合的.*i)w=z+b.這是一個平移映射.因為複數相加可以化為向量相加,z沿向量b的方向平移一段距離|b|後,就得到w.*O(z)

(w)zwbii)w=az,a0.這是一個旋轉與伸長(或縮短)的映射.設a=leia將z先轉一個角度a,再將|z|伸長(或縮短)l倍後,就得到w.*O(z)=(w)zwa圓周的對稱點OP

OP'=r2,因為DOP'T相似於DOPT.因此,OP':OT=OT:OP,即OP

OP'=OT2=r2.*CPP'rTOP與P'關於圓周C互為對稱點*zw1w1.保角性*而i)與ii)構成的複合映射w=az+b經過類似的處理後也可以看作是在整個擴充複平面上共形的,而分式線性映射是上述三種映射複合而構成的,因此有

定理一分式線性映射在擴充複平面上是一一對應的,且具有保角性.*2.保圓性

映射w=az+b和w=1/z都具有將圓周映射成圓周的特性,這裏將直線看作是無窮大半徑的圓,這種性質稱作保圓性.映射w=az+b顯然,

下面说明w=1/z具有保圓性.*因此,映射w=1/z將方程

a(x2+y2)+bx+cy+d=0

變為方程

d(u2+v2)+bu-cv+a=0

當然,可能是將圓周映射為圓周(當a0,d0);圓周映射成直線(當a0,d=0);直線映射成圓周(當a=0,d0)以及直線映射成直線(當a=0,d=0).這就是說,映射w=1/z把圓周映射成圓周.或者說,映射w=1/z具有保圓性.*定理二分式線性映射將擴充z平面上的圓周映射成擴充w平面上的圓周,即具有保圓性.

根据保圆性,在分式線性映射下,如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點,則它就映射成半徑為有限的圓周;如果有一個點映射成無窮遠點,它就映射成直線.*z1,z2是關於圓周C的一對對稱點的充要條件是經過z1,z2的任何圓周G都與C正交.*CRz0z1z2z'G定理三設點z1,z2是關於圓周C的一對對稱點,則在分式線性映射下,它們的象點w1與w2也是關於C的象曲線G的一對對稱點.

[证]設經過w1與w2的任一圓周G'是經過z1與z2的圓周G由分式線性映射過來的.由於G與C正交,而分式線性映射具有保角性,所以G'與C'(C的象)也必正交,因此,w1與w2是一對關於C'的對稱點.*§3唯一決定分式線性映射的條件*分式線性映射中含有四個常數a,b,c,d.但是,如果用這四個數中的一個去除分子和分母,就可將分式中的四個常數化為三個常數.所以,上式中實際上只有三個獨立的常數.因此,只需給定三個條件,就能決定一個分式線性映射.定理在z平面上任意給定三個相異的點z1,z2,z3,在w平面上也任意給定三個相異的點w1,w2,w3,則存在唯一的分式線性映射,將zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1,2,3).**由此得這就是所求的分式線性映射.如果有另外一個分式線性映射,也把z平面上三個相異點z1,z2,z3依次映射成w平面上的三個相異點w1,w2,w3,則重複上面的步驟,消去常數後,最後得到的仍然是(6.3.1)式.所以(6.3.1)式是由三對相異的對應點唯一確定的分式線性映射.*現在研究,在給定兩個圓周C與C',在圓周上分別取定三個點,必能找到一個分式線性映射將C映射成C'.但是這個映射會將C內部映射成什麼呢?.

如果在C內任取一點z0,而點z0的象在C'的內部,則C的內部就映射成C'的內部;如果z0的象在C'的外部,則C的內部就映射成C'的外部.

或者在C上取定三點z1,z2,z3,它們在C'的象分別為w1,w2,w3.如果C依z1

z2

z3的繞向與C'依w1

w2

w3的繞向相同,則C的內部就映射成C'的內部,否則映射成C'的外部**z1z2zz3w1w2w3w1w2w3ww現討論在z平面內兩個圓包圍的區域的映射情況.根據前面的討論可知:

(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,這二圓周的弧所圍成的區域映射成二圓弧所圍成的區域;

(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时,這二圓周的弧所圍成的區域映射成一圓弧與一直線所圍成的區域;

(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时,這二圓周的弧所圍成的區域映射成角形區域.**x1-ii-1C1C2y(z)O[解]所設的兩個圓弧的交點為-i與i,且相互正交.交點-i映射成無窮遠點,i映射成原點.因此所給的區域經映射後映射成以原點為頂點的角形區域,張角等於p/2.此點在第三象限的分角線C1'上.由保角性知C2映射為第二象限的分角線C2.*映射的角形區如圖所示*x1-ii-1C1C2y(z)OC2'C1'Ouv(w)例2求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式線性映射.*O1-1xylO1-1uiv(z)(w)[解法一]將上半平面看成半徑為無窮大的圓域,實軸就是圓域的邊界圓周.因為分式線性映射具有保圓性,因此它必能將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1.由於上半平面總有一點z=l要映成單位圓周|w|=1的圓心w=0,*從而所求的分式線性映射具有下列形式:其中k為常數.*反之,形如上式的分式線性映射必將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1.因為當z取實數時即把實軸映射成|w|=1.又因為上半平面中的z=l映射成w=0,所以(6.3.2)必將Im(z)>0映射成|w|<1.*也可以在x軸上與在單位圓周|w|=1上取三對不同的對應點來求:

[解法二]在x軸上任意取定三點:z1=-1,z2=0,z3=1使它們對應於|w|=1上三點:w1=1,w2=i,w3=-1,則因z1

z2

z3跟w1

w2

w3的繞向相同,由(6.3.1)式得所求的分式線性映射為化簡後即得*注意:如果選取其他三對不同點,勢必也能得出滿足要求的,但不同於(6.3.3)的分式線性映射.此可見,把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不是唯一的,而是有無窮多.這從(6.3.2)中的q可以任意取實數值即可明白.(6.3.3)就是取l=i,q=-p/2而得到的.如果以l=i,q=0代入(6.3.2),則這也是一個把上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1,且將點z=i映射成圓心w=0的映射.*例3求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1且滿足w(2i)=0,argw'(2i)=0的分式線性映射.

[解]由條件w(2i)=0知,所求的映射要將上半平面中的點z=2i映射成單位圓周的圓心w=0.所以由(6.3.2)得因為*故有從而得所求的映射為*例4求將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線性映射.*x1y(z)OOuv(w)1a[解]設z平面上單位圓|z|<1內部的一點a映射成w平面上的單位圓|w|<1的中心w=0.這時與*由於z平面上單位圓周上的點要映成w平面上單位圓周上的點,所以當|z|=1,|w|=1.將圓周|z|=1代入上式,得所以 |k'|=1,即k'=eij.這裏j是任意實數.*因此,將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線性映射的一般表示式是反之,形如上式的映射必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.這是因為圓周|z|=1上的點z=eiq(q為實數)映射成圓周|w|=1上的點:*同時單位圓|z|<1內有一點z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.例5求將單位圓映射成單位圓且滿足條件w(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式線性映射.

[解]由條件w(1/2)=0知,所求的映射要將z=1/2映射成|w|<1的中心.所以由(6.3.5)得**例6求將Im(z)>0映射成|w-2i|<2且滿足條件w(2i)=2i,argw'(2i)=-p/2的分式線性映射.

[解]容易看出,映射z=(w-2i)/2將|w-2i|<2映射成|z|<1,且滿足z(2i)=0的映射易知為***2i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)§4幾個初等函數所構成的映射*1.冪函數w=zn(n2為自然數)在z平面內處處可導,它的導數是因而當z0時,*所以,在z平面內除去原點外,由w=zn所構成的映射處處共形.映射的特點是:把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域,但張角變成了原來的n倍*O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn例1求把角形域0<argz<p/4映射成單位圓|w|<1的一個映射.

[解]z=z4將所給角形域0<argz<p/4映射成上半平面Im(z)>0.又從上節的例2知,映射**(z)OO(z)1(w)z=

z4例2求把下圖中由圓弧C2與C3所圍成的交角為a的月牙域映射成角形域j0<argw<j0+a的一個映射.*aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii*aO(z)aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii1[解]先求出把C1,C2的交點i與-i分別映射成z平面中的z=0與z=,並使月牙域映射成角形域0<argz<p;再把這角形域通過映射w=exp(ij0)z轉過一角度j0,即得把所給月牙域映射成所給角形域的映射.

将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式線性函數:*其中k為待定的複常數.*例3求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一個映射.*xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCD*xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w