初中数学模型解题法

初中数学模型解题法

解答题

1.（2001江苏苏州6分）如图，已知AB是半圆0的直径,AP为过点A的半圆的

切线。在上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D;

过点C作CE1AB,垂足为E.连接BD,交CE于点F。

（1）当点C为的中点时（如图1）,求证:CF=EF;

（2）当点C不是的中点时（如图2）,试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，

并证明你的结论。

【答案】解：⑴证明：•..DA是切线,AB为直径，.•.DA_LAB。

•••点C是的中点，且CEJ_AB,.,.点E为半圆的圆心。

又YDC是切线，...DCLEC。

又•••CELAB,四边形DAEC是矩形。

.,.CD/7A0,CD=ADo即EF=AD=EC。

...F为EC的中点,CF=EF。

（2）CF=EF保持不变。证明如下：

如图,连接BC,并延长BC交AP于G点,连接AC,

-AD、DC是半圆0的切线，.JDC=DA。

.\ZDAC=ZDCAO

：AB是直径，，NACB=90°。.,.ZACG=90°。

：.ZDGC+ZDAC=ZDCA+ZDCG-90°。

.,.ZDGC=ZDCGo

■△GDC中,GD=DC»

VDC=DA,.\GD=DA»

VAP是半圆0的切线，.'.APLAB。

XVCE1AB,ACE^APo.,.△BCF^ABGD,ABEF^ABAD»

VGD=AD,.\CF=EFo

【考点】探究型，圆的综合题,切线的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段

成比例定理,等腰三角形的判定,相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由题意得DA_LAB,点E为半圆的圆心,DC1EC,可得四边形DAEC

是矩形，即可得出，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF»

（2）连接BC,并延长BC交AP于G点,连接AC,由切线长定理可得

DC=DA,ZDAC=ZDCA,由角度代换关系可得出NDGC=NDCG,即可得GD=DC=DA,由已知

可得CE/7AP,所以，即可知CF=EF»

2.（2001江苏苏州7分）已知一个三角形纸片ABC,面积为25,BC的长为

10,NB、NC都为锐角,M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MN〃BC

交AC于点N,设MN=x。

(1)用x表示AAMN的面积;

(2)AAMN沿MN折叠，使aAMN紧贴四边形BCNM(边AM、AN落在四边形BCNM

所在的平面内)，设点A落在平面BCNM内的点A',4A'MN与四边形BCNM重叠部分

的面积为y。

①用的代数式表示y,并写出x的取值范围；

②当x为何值时,重叠部分的面积y最大,最大为多少？

【答案】解：⑴:MN〃BC,，△AMNsAABC。。

即。

(2)①当点A'落在四边形BCMN内或BC边上时，

(0<xW5)。

当点A'在四边形BCMN外，

连接AA'与MN交于点G与BC交于点F,

VMN/7BC,即。

.*.AG=xo.'.AA'=2AG=Xo:.A'F=x-5。

即。

*

••o

...重合部分的面积。

综上所述，重合部分的面积。

②：

当X=时,y最大，最大值为y最大=。

【考点】翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】(1)根据已知条件求出△AMNs/^ABC,再根据面积比等于相似比的平

方的性质即可求出AAMN的面积。

(2)根据已知条件分两种情况进行讨论,当点A'落在四边形BCMN内或BC边

上时和当点A，在四边形BCMN外时进行讨论,第一种情况很容易求出，第二种情况

进行画图,连接AA'与MN交于点G与BC交于点F,再根据面积比等于相似比的平方

的性质求出即可.再根据求出的式子，即可求出重叠部分的面积y的最大值来。

3.(江苏省苏州市2002年7分)已知：。与。外切于点,过点的直线分别交

。、。于点、，。的切线交。于点、，为。的弦，

(1)如图⑴，设弦交于点，求证：;

(2)如图(2),当弦绕点旋转，弦的延长线交直线B于点时，试问：是否仍然成立?

证明你的结论。

【答案】解：(1)证明:连结,过点作。与。的公切线。

又•••是。的切线，

人v•••，•・•O

v•••

即。

（2）仍成立。证明如下：

连结,过点作。和。的公切线。

•••是。的切线，

又

又

即。

【考点】相切两圆切线的性质，弦切角定理,切线长定理,等腰三角形的性质，

对顶角的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）连结,过点作。与。的公切线。根据弦切角定理可得，由也是。的

切

线,根据切线长定理可得,从而根据等腰三角形等边对等角的性质，得到，由对

顶角相等的性质，得到。又,从而,根据相似三角形的性质即可证明。

（2）同⑴可以证明。

4.（江苏省苏州市2002年7分）如图,梯形0ABC中,0为直角坐标系的原

点,A、B、C的坐标分别为（14,0）、（14,3）、（4,3）。点P、Q同时从原点出发，分别

作匀速运动。其中点P沿0A向终点A运动,速度为每秒1个单位;点Q沿0C、CB向

终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动。

(1)设从出发起运动了秒,如果点Q的速度为每秒2个单位,试分别写出这时点

Q在0C上或在CB上时的坐标(用含的代数式表示,不要求写出的取值范围)；

(2)设从出发起运动了秒,如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC

的周长的一半。

①试用含的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；

②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？

如有可能,求出相应的的值和P、Q的坐标;如不可能,请说明理由。

【答案】解：⑴当点Q在0C上时，如图,过点C作CE10A于点E,过点Q作

QF1.0A于点F。

依题意,有0E=4,EC=3,0C=5,0Q=2。

由△OCEs/\()QF得，

即。

二。，当点Q在0C上时，点Q的坐标为。

当点Q在CB上时,如图,过点C作CM10A于点M,过点Q作QN±OA于点N。

VCQ=2-5,/.0M=4+2-5=2-1。

又MQ=3,当点Q在CB上时，点Q的坐标为()»

(2)①•.•点P所经过的路程为，点Q所经过的路程为0Q,且点P与点Q所经过

的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，

/.+0Q=(14+3+10+5),即0Q=16-o

.•.点Q所经过的路程为16-速度为。

②不能。理由如下：

当Q点在0C上时，如图，过点Q作QF10A于点F。

则0P=,QF=o

*

••o

又•••，••.令,解之，得。

,/当时,，这时点Q不在0C上,故舍去；

当时,，这时点Q不在0C上,故舍去。

.•.当Q点在0C上时,PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部

分。

当Q在CB上时,CQ=16—5=11-,

••O

•,

/.当Q点在CB上时,PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部

分。

综上所述,这时PQ不可能同时平分梯形OABC的面积。

【考点】动点问题,勾股定理,相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)当点Q在0C上时,作直角三角形OCE和OQF,由二者相似即可求

出此时点

Q的坐标。当点Q在CB上时,过点C作CM±OA于点M,过点Q作QN±OA于点

N,即可得出0M=4+2—5—2—1,从而求出此时点Q的坐标°

(2)①由点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半,列出等

式,+()Q=(14+3+10+5),即可求出点Q所经过的路程。用路程+时间即可求得速度。

②分Q点在OC上和Q点在OC上,分别讨论即可得出结论。

5.(江苏省苏州市2003年7分)如图1,O0的直径为AB,过半径0A的中点G

作弦CE1AB,在上取一点D,分别作直线CD、ED,交直线AB于点F、M。

⑴求/C0A和NFDM的度数；

(2)求证：△FDMs/^cOM;

(3)如图2,若将垂足G改取为半径0B上任意一点，点D改取在上,仍作直线

CD、ED,分别交直

线AB于点F、Mo试判断:此时是否仍有△FDMs/SCOM?证明你的结论。

【答案】解：(1)VAB为直径,CEJ_AB,CG=EG。

在RSC0G中，•.，0G=OC,Z0CG=30°。AZC0A=60°。

又YNCDE的度数=的度数=的度数=NCOA的度数=60°,

.,.ZFDM=180°-ZCDE=120°。

(2)证明:，/ZC0M=180°-ZC0A=120°,AZC0M=ZFDMo

在RtACGM和RtAEGM中，,ARtACGM^RtAEGM(HL)o

ZGMC=ZGMEo

XVZDMF=ZGME,AZGMC=ZDMF0AAFDM^ACOMo(3)结论仍成立。证明

如下：

•••/EDC的度数=的度数=的度数=NC0A的度数，

AZFDM=180°-ZC0A=ZC0Mo

VAB为直径，,CELAB。

在RtACGM和RtAEGM中，,RSCGM丝RtAEGM(HL)。

ZGMC=ZGMEoAFDM^ACOMo

【考点】圆周角定理,锐角三角函数,特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的

性质，直角三角形两锐角的关系,平角定义,直角三角形全等的判定和性质，垂径定理,

相似三角形的判定。

【分析】(1)由于CG1OA,根据垂径定理可得出，，那么根据圆周角定理可得出

ZCDE=ZC0A,在RtACOG中，可根据0G是半径的一半得出NA0C是60°,那么就能

得出NFDM=180°-ZCDE=120°。

(2)在(1)中根据垂径定理得出0A是CE的垂直平分线,那么△CMG和△BMG就

应该全等,可得出NCMA=NEMG,也就可得出NCM0=NFMD,在(1)中已经证得

NA0C=NEDC=60°,那么NC0M=NMDF,因此两三角形相似。

(3)可按(2)的方法得出/DMF=NCM0,关键是再找出一组对应角相等,还是用垂

径定理来求,根据垂径定理我们可得此那么NAOC=NEDC,根据等角的余角相等即可

得出ZC0M=ZFDM,由此可证出两三角形相似。

6.(江苏省苏州市2003年7分)0ABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸

片,0为原点，点A在x轴上，点C在y轴上,0A=10,0C=6。

(1)如图1,在OA上选取一点G,将ACOG沿CG翻折，使点0落在BC边上,记为

E,求折痕CG所在直线的解析式。

(2)如图2,在0C上选取一点D,将AAOD沿AD翻折，使点0落在BC边上,记

为。

①求折痕AD所在直线的解析式；

②再作F〃AB,交AD于点F,若抛物线过点F,求此抛物线的解析式,并判断它

与直线AD的交点的个数。

(3)如图3,一般地,在0C、0A上选取适当的点，使纸片沿翻折后，点0落在BC

边上,记为。请你猜想:折痕所在直线与②中的抛物线会有什么关系?用(1)中的情形

验证你的猜想。

【答案】解：(1)由折叠法知，四边形OCEG是正方形，.•.0G=0C=6。

AG(6,0),C(0,6)。

设直线CG的解析式为y=kx+b,贝山解得。

二直线CG的解析式为:y=-x+6。

(2)①在RtAABE'中，。.\CE,=2。

设0D=x,则DE'=x,CD=6-x,

在RtZkDCE'中,，解得。则D(0,)。

设AD所在直线的解析式为y=k'x+,由于它过A(10,0),。

.••AD所在直线的解析式为。

②E'F〃AB,E'(2,6),.•.设F(2,yF)。

•.•F在AD上，.,.F(2,)o

又：点F在抛物线上，解得h=3o

二抛物线的解析式为。

联立和得，即。

•.•△=0,.•.直线AD与抛物线只有一个交点(2,)。(3)例如可以猜想：(i)折痕

所在直线与抛物线只有一个交点；

或(ii)若作E''F''〃AB,交D'G'于F',则F'在抛物线上。

验证：(i)在图1中,折痕为CG,将y=-x+6代入，

得，即。

•.•△=0,.•.折痕CG所在直线与抛物线只有一个交点。

或(ii)在图1中,D'即C,E''即E,G'即G,交点F'也为G(6,0),

/.当x=6时