第12讲 三角形的中位线（教师版）-八年级数学下册同步讲义（苏科版）江苏初中数学（苏教版）

第9章中心对称图形——平行四边形

9.5三角形的中位线

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课程标准课标解读

1.理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线

探究并证明三角形的中位线定理定理。

2.掌握中点四边形的形成规律。

源知识精讲

也'知识点三角形的中位线

(-)三角形的中位线

1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

【微点拨】

(1)三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系。

(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周

长的,，每个小三角形的面积为原三角形面积的

24

(3)三角形的中位线不同于三角形的中线。

(二)顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；

(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；

(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；

(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。

【微点拨】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成：

(1)若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形；

(2)若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形：

(3)若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形。

【即学即练1】如图，在口/SC中，AB=AC,4OE1BC于点D

B

D

（1）若。5口/8交/C于点E,证明：匚/CE是等腰三角形；

（2）若8c=12,DE=5,且E为/C中点，求4）的值.

【答案】（1）见解析：（2）8

【分析】（1）根据“三线合一”性质先推出匚历1。=匚C4。，再结合平行线的性质推出BAD=ADE,从而得

到一4OE=EAD,即可根据“等角对等边“证明；

（2）根据题意结合中位线定理可先推出/C=2OE,然后在中利用勾股定理求解即可.

【解析】（1）证：口在RBC中,AB=AC,

□□48C为等腰三角形，

QADUBC于点D,

□由“三线合一''知：BAD=CAD,

口DE二4B交4c于点E,

DDBAD=JADE,

CAD=ADE,

即：JADE=GEAD,

DAE=DE,

□□/OE是等腰三角形；

（2）解：由“三线合一”知：BD=CD,

□BC=12,

QDC=6,

□E为NC中点，

□OE为匚X8C的中位线，

AB=2DE,

AC=AB=2DE=\0,

在R//DC中，AD=^AC1-DC2=>/102-62=8-

/4Z)=8.

【即学即练2】已知：如图，在四边形/8CO中，对角线/C、8。相交于点O,且NC=8DE、/分别是

AB.CD的中点，EF分别交8。、/C于点G、H.求证：OG=OH.

D

【答案】见解析

【分析】取8C边的中点“，连接EM,FM,则根据三角形的中位线定理，即可证得尸是等腰三角形，

根据等边对等角，即可证得匚ME尸=二河尸£,然后根据平行线的性质证得［OGH^OHG,根据等角对等边即

可证得.

【解析】证明：取8c边的中点用，连接FM

□加、尸分别是8C、C。的中点

MFBD,MF=^BD

同理：MEAC,ME=；AC

UAC=BD

ME=MF

MEF=MFE

DMFLBD

QUMFE=COGH

同理，MEF=OHG

OGH=OHG

OG=OH

Q能力拓展

考法三角形的中位线

【典例1】已知：如图，在矩形A8CD中，M、N分别是边A。、BC的中点，E、尸分别是线段8M、CM

的中点.

（1）求证：△BMC为等腰三角形；

（2）判断四边形MEN/是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AO:A8=时，四边形MEN尸是正方形（只写结论，不需证明）.

【答案】（1）见详解；（2）四边形是菱形，理由见详解；（3）2：1

【分析】（1）根据题意可以证明DMC,从而可以证明结论成立；

（2）根据题意和菱形的判定方法可以解答本题；

（3）根据题意和（2）中的结论可以解答本题.

【解析】（1）证明：口四边形488是矩形，

□/B=DC,/=\。=90°,

□M为/。中点，

QAM=DM,

在口/即/和□£）（%/中，

BA=CD

,NA=NO,

AM=DM

\J\JABMJUDCM(SAS\

BM=CM,

△BMC为等腰三角形；

（2）四边形MEN尸是菱形，理由:

□ME、产分别是8。、BM、CW的中点,

NECM,NE=gCM,

MF=^CM,

□NE=FM,

口NEJFM,

四边形MENF是平行四边形，

由(1)知LZBM\LDCM,

BM=CM,

□E、厂分别是8例、CA/的中点，

UME=MF,

□平行四边形MEN尸是菱形；

(3)当AD：AB=2：I时，四边形MEN厂是正方形.

理由：□”为4。中点，

[JAD=2AMf

DAD：AB=2：1,

r\AM=AB,

□□/=90

□QABM=DAMB=45°1

同理UDMC=45。，

口匚EMF=180°-45°-45°=90°,

□四边形MEN尸是菱形，

□菱形A/外下是正方形，

即当/8=2：1时，四边形MENF是正方形.

故答案是：2：1.

【典例2】如图1,在四边形ABC。中，E、F、G、”分别是AD、BC、BD、AC的中点.

(1)求证：四边形EG/77是平行四边形；

(2)如图2,延长54、8相交于点P,连接PG、PH、GH,若5Ape“=1，求四边形A8CQ的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)4.

【分析】(1)先根据三角形中位线定理可得EG=gA5,EG///W,同理可得R7=3AB,F”〃A5,从而可得

EG=FH,EG//FH,再根据平行四边形的判定即可得证；

(2)连接先根据三角形中位线定理可得EG〃/由，根据同底等高可得S八卬=S庄。，同理

可得S及E"=S?团,从而可得S四边舷AGHO=S/>G"=1,再根据等底同高可得SABG=SADG，SHBG=S“0c,从而

可得鼠边的BH。=2S四边物1cH0=2,然后利用同样的方法即可求出四边形ABC。的面积.

【解析】证明：(1)E,G分别是的中点，

:.EG=-AB,EG//AB,

2

同理可得：FH=-AB,FH//AB,

2

:.EG=FH,EG//FH,

四边形EGFH是平行四边形；

(2)如图，连接PE,AG,BH.DH,

.£G分别是AA3O的中点,

:.EGHAB,

SAEG=SpEG（同底等高），

同理可得：SDEH=SPEH,

S四边形AG//D=SAEG+SEGH+SDEH=SpEG+SEGH+SpEH=SpGH

又・.G是8。的中点，

BG=DG,

•q=qq=q

••*ABG-2ADG»2HBG-°HDG（等底同高）,

二•四边形人〃。四边形。

S8=S48G+SADG+SHBG+SHOG=2(Sadg+SHfXJ)=2sAG"=2,

同理可得：S四边形A8CD=2s四边形.HQ=2x2=4

即四边形ABCD的面积为4.

M分层提分

题组A基础过关练

1.如图，在□48c中，点，E分别是48,4C的中点，若808c加，则（）

A.16cmB.8c77?D.无法确定

【答案】C

【分析】根据中位线的性质得到。E=3BC即可求解.

【解析】点，E分别是4C的中点,

DE是48c的中位线

口DE=；BC=4

故选C.

2.如图，平行四边形ABC。中，对角线AC,80交于点O,点石是3c的中点.若OE=6cm,则AB的长

为()

A.3cmB.6cm12cm

【答案】D

【分析】根据平行四边形的性质，可得出点。平分ZC,则。£是三角形/8C的中位线，则力8=2OE,继

而求出答案.

【解析】解：「四边形N8C。为平行四边形,

AO=CO,

点£是C8的中点,

0E为48C的中位线,

AB=2OE,

OE=6cm,

AB=12cm.

故选：D.

3.如图，在AABC中，ZC=90°,AB=13,AC=5,D、E分别是AC、AB的中点，则OE的长是（)

D.怨

A.6.5B.6C.5.5

【答案】B

【分析】根据勾股定理可先求出8C,然后结合中位线定理得出结论.

【解析】由勾股定理得：BC=\lAB2-AC2=12>

。、E分别是AC、AB的中点,

DE是4ABC的中位线,

则OE=g8C=6,

故选：B.

4.如图，在AABC中，AB=7,AC=6,BC=5,D、E分别是A3、AC的中点，则OE的长为（）

A.3B.2.5C.4D.3.5

【答案】B

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，OE等于BC的一半.

【解析】解：点。、E分别是边48、AC的中点,

DE是AABC的中位线,

D£=-fiC=-x5=2.5.

22

故选：B.

5.如图，在四边形A8C。中，AD=BC,BC,E、F、G分别是43、CD、AC的中点，若ND4C=10°,

Z4CB=66°,则NFEG等于（

A.76°B.56°

【答案】D

【分析】利用EG、FG分别是A4BC和AAOC两个三角形的中位线，求出EG=FG,从而得出ZFGCZEGC,

再根据EG=FG,利用三角形内角和定理即可求出NFEG的度数.

【解析】解：E、F、G分别是A3、CD、4c的中点，

EG、FG分别是AABC和AA£>C两个三角形的中位线，

EG//BC,FG//AD.S.EG=FG=—=—,

22

ZFGC=ZDAC=\O°,ZEGC=180°-Z4CB=114°,

ZEGF=ZFGC+Z£GC=124°,

又［:EG=FG,

NFEG=；(180°-NEGF)=g(180°-124。)=28°.

故本题答案为：D.

6.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD=BC,JPEF=

25°,则□EPF的度数是()

A.100°B.120°C.130°D.150°

【答案】C

【分析】根据三角形中位线定理得到PE=gAD,PF=yBC,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理

计算即可.

【解析】解：DP是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，

UPE=|AD,PF=|BC,

AD=BC,

UPE=PF,

□PFE=PEF=25°,

□□EPF=130°,

故选C.

7.如图，点E在平行四边形/8C。的边/。上，@LAE=2ED,M、N分别是BE、CE的中点，连接MN,

已知A/N=3,则/E的长是.

【答案】4

【分析】由三角形的中位线定理可得8c=2MN=6,由平行四边形的性质可得40=6,由线段关系可求解.

【解析】解：匚A/、N分别是8E、CE的中点，

BC=2MN=6,

□四边形/8CO是平行四边形，

DAD=BC=6f

□4E=2ED,

2

AE=-AD=4,

3

故答案为：4.

8.如图，在aABC中，点。、E分别是Z8、/C的中点，若。£=1.5,则8c的长是.

【答案】3

【分析】根据三角形中位线定理解答即可.

【解析】解：口点。、E分别是/仄AC的中点，

是I48C的中位线，

L8C=2Z)E=2x1.5=3,

故答案为：3.

9.已知以三角形各边中点为顶点的三角形的周长为6cm,则原三角形的周长为cm.

【答案】12

【分析】三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角

形周长的一半，己知中点三角形的周长，可以求出原三角形的周长.

【解析】解：由中点和中位线定义可得原三角形的各边长分别为新三角形各边长的2倍，所以原三角形的

周长为新三角形的周长的2倍为12.

故答案为12.

10.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OMIIAB交AD于点M,若OM=2,BC=6,则OB的

长为.

【答案】V13

【分析】已知OM是［ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC

的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出.

【解析】解：「四边形ABCD是矩形，

□□D=90°,

□O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM匚AB,

□OM是C3ADC的中位线，

□OM=2,

□DC=4,

AD=BC=6,

AC=7AD2+CD2=2V13.

BO=1AC=VF3,

故答案为：A/F3

题组B能力提升练

1.如图，在口48。中，点。、&F分别为各边的中点，是高.若口。EF=65。，则□£>〃尸的度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】连结。尸，根据点。、从K分别为各边的中点，可得。E,£尸为/8C的中位线，可确定。EAC,

EFAB,利用平行线性质可得：D4尸=：EFC=DEF=650,由4，8C,点。为中点，点尸为4C中点,

根据直角三角形斜边中线性质可得FH=AF=CF,可证在口/£>尸和//£>F中，ADFHDF

(SSS)即可.

【解析】解：连结。尸，

।点。、E、尸分别为各边的中点，

DE,E/为「/8C的中位线，

UDEDAC,EFUAB,

DAF=EFC=DEF=65°,

UAHVBC,点。为中点，点厂为ZC中点，

DDH=AD=BD,FH=AF=CF,

在ZUDF和口〃。尸中，

AD=HD

<AF=HF,

DF=DF

DOADFLiQHDF(SSS),

DAF=rDHF=65°.

故选择C.

2.如图，在AABC中，。是A8上一点，AD=AC,AE1CD,垂足为点E,尸是BC的中点，若80=32,

则EF的长为()

A.32B.16C.8D.4

【答案】B

【分析】由等腰三角形的性质可知4E是中线，然后根据三角形的中位线求解.

【解析】解：AD=AC,AE±CD,

/E是△ACD的中线，

产是8c的中点，

E尸是△ABD的中位线，

□EF*BD,

30=32,

□£F=16.

故选民

3.在RABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=4,0.E分别为AC、A3边上的中点，连接OE到F,使得

EF=2ED,连接8尸，贝1」8厂长为()

A.2B.25/3C.4D.46

【答案】C

【分析】根据直角三角形的性质求出48,进而求出/£、EB,根据三角形中位线定理得到OEBC,得到

AED-AED=60°,根据等边三角形的判定定理和性质定理解答即可.

【解析】解：在Rf口/BC中，口。=90。，1A=3O°,BC=4,

UAB=2BC=S,UABC=60°,

□E为Z8边上的中点，

□4E=EB=4,

CD.E分别为/C、边上的中点，

UDEQBC,

AED=AED=60°,

□BEF=ABC=60°,

在R/AED^,HJ=30o,

AE=2DEt

nEF=2DEf

AE=EF,

口OBEF为等边三角形,

DBF=BE=4,

故选：C.

4.如图，在^ABC中，点。、E分别是A3、AC的中点，AC=10,点/是£>E上一点，DF=\.连接AF、

CF,若NAFC=90。，则8c的长度为（）.

A.18B.16C.14D.12

【答案】D

【分析】根据直角三角形的性质求出EF,进而求出OE,根据三角形中位线定理计算，得到答案.

【解析】解：.NAFC=90。，点E是AC的中点，AC=IO,

.'.EF=-AC=-xlO=5,

22

DF=l,

:.DE=DF+EF=6,

点。、E分别是48、4c的中点，

:.BC=2DE=12,

故选：D.

5.如图，菱形AB8中，对角线AC、相交于点O,E为AO边中点，菱形43C。的周长为28,则0E的

长等于（）

A.3.5B.4C.7D.14

【答案】A

【分析】首先根据菱形的性质求出边长并得出。8=0。，然后利用三角形中位线的性质即可求出答案.

【解析】菱形ABQ）的周长为28,

A8=28+4=7,OB=OD,

E1为AO边中点，

0E是的中位线，

OE=-AB=-xl=3.5,

22

故选：A.

6.如图，在UABC中，点D、E分别是AB、AC的中点、DE=3,那么BC的长为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE《BC,从而求出8c.

【解析】解：匚0、£分别是48、4c的中点.

DE是48c的中位线，

BC=2DE,

QDE=3,

5C=2x3=6.

故选C.

7.如图，在AABC中，AB=AC,A£＞是43c的角平分线，E是AC中点，连接OE,若DE=3,则A8=

A

【答案】6

【分析】根据等腰三角形三线合一可得。为8c的中点，再结合E为/C的中点，可得。E为48c的中位

线，从而可求得48的长度.

【解析】解：□ZBjIC,平分OB/C,

。为8c的中点，

□£为/C的中点，

AB=2DE=6.

故答案为：6.

8.如图，在矩形488中，对角线/C、8。相交于点。，点及尸分别是/。、的中点，若48=6cm,

8c=8cm,贝I］后/二cm.

【答案】2.5

【分析】根据勾股定理求出/C,根据矩形性质得出ABC=90°,BD=AC,BO=OD,求出8。、0D,根据三

角形中位线求出即可.

【解析】解：口四边形N88是矩形,

ABC=90°,BD=AC,BO=OD,

AB=6cm,BC=Scm,

由勾股定理得：BD=AC=\j62+82=10(cm),

□£>O=5cm,

□点E、尸分别是“0、NO的中点,

EF=^OD=2.5cm,

故答案为：2.5.

9.如图，在放口/BC中，MC8=90。，。、E、/分别为/8、AC,8c的中点，若C£>=5,则EF

【答案】5

【分析】已知C。是处/8C斜边的中线，那么/8=2C。，E尸是F8C的中位线，则即应等于的

一半.

【解析】口49c是直角三角形，CD是斜边的中线，

:.CD=~AB,

AB=2CD=2x5=\0,

又EF是口48。的中位线，

.■.EF=^xlO=5,

故答案为：5.

10.如图，RtZVIBC中，ZC=90°,BC=6,AC=10,D,E分别是AC和BC上的点，且CE=2,CD=4,

连接BO,AE,G、H分别是AE和BO的中点，连接G〃，则线段G”的长为.

【答案】713

【分析】取A8的中点产，连接FG,FH,可得尸G、FH分别是ZVIBE、Z^ABD的中位线，利用三

角形中位线定理可得FG=2,FH=3,再由NC=90。，可得NGrH=90。，然后利用勾股定理即可求解.

【解析】解：取A3的中点F,连接FG,FH,

:.FGHBE,FG=-BE,

2

CE=2,BC=6,

FG='BE=L(BC-EC)=2,

22

同理，FH//AD,FH=^AD

AC=10,CD=4,

FH=-AD=-(AC-CD)=3

22f

ZC=90°,

AC±BC,

FHHAD,FGHBE,

QFG1FH,

・•.ZGFH=90°,

・•.GH=yjFG2+FH2=+32=屈•

故答案为：V?3.

11.如图所示，在.ABC中，M为5c的中点，AO为NB4c的平分线，3£>_LA£>于。，AB=12,AC=18,

求MD的长.

【答案】3

t分析】延长8。交AC于点E,根据已知条件可得AABE是等腰三角形，则A5=A£,DB=DE,由中位

线定理可得。M=gcE,即可求得MD的长.

【解析】如图，延长8。交AC丁点E,

A£>_LBE,AO平分ZBAC,

/.NBAD=NEAD,ZADB=ZADE,

又AO=A。，

AA£>的AADE,

BD=DE>

.--AB=AE,

M为8c的中点，

:.DM=-EC^-(AC-AE)=-(AC-AB)=-x(lS-U)=3.

2222

12.如图，在四边形"8中，P是对角线8。的中点，E、F分别是48、8的中点，AD=BC,UPEF=20。,

求P/芯的度数.

【答案】20。

【分析】根据三角形中位线定理得到力。，PF=^BC,得到尸打尸凡根据等腰三角形的性质解答.

【解析】解：是8。的中点，E是48的中点，

□PE是口/以)的中位线，

PE=^AD,

同理，PF=gBC,

DAD=BC,

QPE=PF,

PFE-PEF=20°.

13.如图，AABC中，是边8c上的高，C尸是边上的中线，OC=8尸，点E是C尸的中点.

(1)求证：DE1CF；

(2)求证：ZB=2ZBCF.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】(I)连接。尸，根据直角三角形的性质得到。尸进而证明。C=〃忆根据等腰三角形

的三线合一证明结论；

(2)根据三角形的外角性质得到/FDB=2NT>nC,根据等腰三角形的性质证明结论.

【解析】ft?：(1)连接。尸，

DAD是边8c上的高，

ZA£>B=90°,

□点厂是43的中点，

DF=^AB=BF,

QDC^BF,

ODC=DF,

口点E是CF的中点.

DE1CF；

(2)QDC=DF,

ZDFC=ZDCF,

ZFDB=ZDFC+ZDCF^2ZDFC,

r\DF=BF,

4FDB=4B,

NB=2NBCF.

14.如图，在四边形"88中，ACUBD,BD=12,AC=16,E,尸分别为C£>的中点，求我尸的长.

【答案】EF的长是10.

【分析】如图，取BC边的中点G,连接EG、FG.根据三角形中位线定理易求EG、FG的长度，并且；EGF=9Q°,

所以在直角DEGF中，利用勾股定理来求跖的长度.

【解析】解：如图，取8c边的中点G,连接EG、FG.

口&尸分别为C。的中点，

EG是48C的中位线，尸G是8CO的中位线，

EGDAC,EG=-AC,FGBD,FG=-BD,

22

又BD=12,AC=16,ACQBD,

EG=8,FG=6,EG\FG,

I在直角EGF中,由用勾股定理，得

E^^IEG2+FG2=782+62=10>即EF的长度是10.

题组C培优拔尖练

1.如图，在矩形｛88中，AB=3,AD=10,点E在4）上且。E=2,点G在/E上且GE=4,点、P为BC

边上的一个动点，下为EP的中点，则GF+EF的最小值为（）

【答案】D

【分析】连接/P,首先证明G尸=；A尸从而得到G尸+EF=，4P+PE),作/关于8c的对称点T,连接

TE与BC交于P,此时PE+PA的值最小，利用勾股定理求解即可.

【解析】解：如图所示，连接力P,

□/D=10,DE=2,

口/E=8,

□G£>4,

□G是4E的中点,

□GF是［"E的中位线,

GF^-AP,

2

GF+EF=^（AP+PE）,

只需要求出AP+PE的最小值即可,

作Z关丁-BC的对称点T,连接出与BC交于P，此时PE+PA的值最小,

□四边形48co是矩形,

EAT=90°,

AB=BT=3,

AT=6,

P'E+P'A=TE=yjAT2+AE2=10,

GF+E尸的最小值为5,

故选D.

2.如图，已知四边形A8CD中，ACA.BD,AC=6,BD=8,点、E、尸分别是边A。、BC的中点，连接EF,

则EF的长是（）

A.724B.5C.732D.10

【答案】B

【分析】取的中点G,连接EG、GF,利用三角形中位线性质得到£G=T8O=4,EGBD,GF=^AC

=3,GFU\AC,再判断EGGF,然后利用勾股定理计算E厅的长.

【解析】解：取的中点G,连接EG、GF,

□点E、F、G分别是边/£＞、CB、N8的中点，

EG为.48。的中位线，GF为48c的中位线，

EG=^BD=4,EGBD,GF=^AC=3,GFAC,

r\ACBD,

UAC3EG,

QGFDAC,

□EGGF,

在RtGE/中，EF=J32+42=5.

故选：B.

D

C

3.如图，在矩形ABC。中，AB=3,43=10,点E在A。上且£>E=2.点G在AE上且GE=4,点尸为BC

边上的一个动点，尸为EP的中点，则GF+EF的最小值为（）

A.V10+2B.V10+3C.4D.5

【答案】D

【分析】首先证明G尸+所=3（PA+PE）,求出Ri+PE的最小值即可，作点/关于8c的对称点T,连

接ET交BC于P',此时P'E+P'A的值最小.

【解析】解：如图，连接口.

AD=10,DE=2,GE=4,

DAG=EG,即：点G是/E的中点，

又1F为EP的中点，

GF是VAPE,

UGF=^PA,

□GF+£F=|（,PA+PE）,

作点/关于8c的对称点兀连接E7交8C于P,此时PE+P为的值最小，

四边形/8CO是矩形，

□□Ea=90。，

□4B=BT=3,

DAT=6,

口4）=10,DE=2,

AE=AD-DE=\0-2=S,

匚P'E+P'A=P'E+P'T=ET=yjAE2+AT2=旧+62=10-

EG+M的最小值为gxl0=5,

故选D.

4.如图，在放口48。中，□/C8=90。，。是N8的中点，且ZL4C£>=30。，DE〃C交AC于点E,BFDCD

于点F,连接EF.若BF=2杷,则EF的长是（）

3

A.@）B.2C.—D.3

【答案】B

【分析】先说明/8=28C,再根据勾股定理求出8c和N5,进而得到8Z>8c=4>2,说明尸和E分别是

AC.co的中点，最后根据三角形的中位线定理即可解答.

【解析】解：□□NC8=90°,。是月8的中点

\JDC=^AB=AD

Li/CO=30°

<nA^r\ACD=30°

0AB=2BC,ABC=60°,

□8C=N。,即口£>3。为等边三角形

BFUCD于一点、F,

口CF=FD,DBF=30°

BD=2DF

设。F=x,则&。尸+8尸=8》，即/+（26）2=（涮2,解得尸2或-2（舍去）

口4D=BD=2x=4

□DE-BC交4c于点E,。是48的中点

QAE=EC

CF=FD

口川是三角形力。的中位线

EF=；AD=2.

故选8.

5.如图，四边形A8CD中，ZA=90°,AB=20，AD=2,点M,，分别为线段BC,A8上的动点（含

端点，但点M不与点8重合），点E、尸分别为DM、MN的中点，则所长度的最大值为（）.

A.3B.2GC.4D.2

【答案】D

【分析】由题中条件可判定E尸是AOMN中位线，可得E尸=；》V,当动点N与点8重合时，ON值最大,

DN=DB=^AD2+AB2，此时EF长度取最大值.

【解析】解：如图，连接。M

点E、厂分别为DW、M/V的中点,

EF是&DMN中位.线,EF=^DN,

当动点N与点5重合时，DN=DB,此时ON长度取最大值，即此时E尸长度取最大值.

ZA=90°,AD=2,AB=2。

DN=DB=y/AD2+AB2=J22+（2可=4,

EF=2.

故选：D.

6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,tABC=60。，点E是AB的中点，连接CE、

OE,若AB=2BC,下歹J结论：□□ACD=30°；口当BC=4时,BD=4";OCD=40E；OSCOE='S四边彩ABCD.其

6

中正确的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据ABC=60。，点E是AB的中点，且AB=2BC判断出ABEC是等边三角形，从而得出

ABAC=ZACE=30°,判断；

过点B作交DC于H,计算CH,BH长度,再根据勾股定理计算83判断；

根据E,O分别为AB,BD的中点利用中位线定理和AB=2BC判断；

通过中位线定理得出相似以及线段等量关系从而得出面积的关系判断.

【解析】□□ABC=60。，点E是AB的中点，且AB=2BC

AE=BE=BC

ASEC是等边三角形，AE=EC

ABAC=ZACE=30°

448=30。,正确；

过点B作，OC交DCrH如图：

BC=4,ZBCH=ZABC=60°

CH=2,BH=2底AB=CD=2BC=8

BD=JQ2+Q国=477,正确；

E,O分别为AB,BD的中点

BC=2OE

又［AB=CD=2BC

C£）=4O£J正确；

OE为三角形ABC的中位线

\AOE~MCB,\EMO~CMB

BC=2OE,MC=2EM,MB=2MO

设三角形EOM的面积为S,则三角形MOC面积为2S,三角形MBC面积为4S,三角形EMB面积为2s

口三角形ABC面积为12s

［平行四边形ABCD面积为24S

□SCOE=-S四边形ABCD，□错误

O

故答案选：C

7.如图，在匚X2C中，D、E分别是48、NC的中点，尸是直线DE上一点，连接/尸、BF,若ZMEB=90。,

AB=6,BC=1Q,则跖的长是.

【答案】2或8

【分析】分两种情况讨论，由题意，直角三角形斜边上的中线。尸等于斜边的一半，中位线DE等于8c的

一半，相减（或相加）即可求得EF.

【解析】解：分两种情况讨论，

第一种情况，如图，

A

□点C,E分别是边NB,4c的中点,8C=10

DE=gBC=5

QUAFB=90°,且N8=6,口点。是边48的中点,

DF=；AB=3

EF=DE-EF=5-3=2；

第二种情况，如图，

□点，£分别是边ZB,/C的中点,8C=10

DE=^BC=5

□必=90。，且/3=6,□点。是边48的中点，

DF=；4B=3

EF=DE+EF=5+3=S；

故答案为：2或8.

8.已知：如图，线段48=6cm,点P是线段48上的动点，分别以ZP、BP为边在4B作等边A4PC、等

边/XBPD,连接CD,点M是。的中点，当点尸从点/运动到点8时，点M经过的路径的长是

cm.

D

M

APB

【答案】3

【分析】分别延长4C,BD交于H,过点M作GN分别交｛，于G,BH于N,易证明四边形CPDH是

平行四边形，从而得到M是/W的中点故在尸运动过程中，/始终在”产的中点，所以”的运动轨迹即为

的中位线，即线段GM由此求解即可.

【解析】解：如图，分别延长/C,8。交于H,过点A7作GN分别交4H于G,BH于N,

□□/PC、8PD都是等边三角形，

A=B=DPB=OCPA=60°,

QAHUPD,BHuCP,

□四边形CPZ»/是平行四边形，

CD与HP互相平分，

是PH的中点，

故在P运动过程中，例始终在“产的中点，所以M的运动轨迹即为的中位线，即线段GM

GN=—AB=3cm,

2

故答案为：3.

9.如图，在平行四边形A3C。中，对角线AC,8。相交于点。，在。C的延长线上取点E,使CE=gc。，

连接0E交BC于点尸，若BC=12,则CP=

A.

O

B----------WVC

F.

【答案】3

【分析】过。作BC交CD于M,根据平行四边形的性质得到8。=。0,根据三角形的中位线的性质

得到CA/=W,可得CF是［EMO中位线，根据中位线性质可求长.

［解析］解：过。作OM二BC交CD于M,

在平行四边形ABCD中，BC=12,

80=。。，

CM=DM^-CD,OM=-BC=6

22

CE=-CD,

2

QCE=CM,

DOMQBC,

b"是"MO中位线，即CF=，OM=3；

2

故答案为:3.

10.如图，在平行四边形488中，M,N分别为8、8c的中点，AM=6,AN=3,UMAN^60°,则对

角线8。的长为

【答案】

【分析】延长/历至E,使得过点£作£〃AN,交/N延长线于”点，连接MN、BD.证明N

点为中点，求出力，,再运用勾股定理求出HE,最后根据三角形的中位线定理可得

即可求解.

【解析】解：延长4W至E,使得过点E作E/T14M交力N延长线于“点，连接MMBD.

H

AE=2AM=\2.

□□£=30°,

AH=^AE=6,

HE=yjAE2-AH2=>/122-362=673

口/N=3,

N点为力，中点，

MN桔HE=3B

M、N分别为C。、8c的中点，

MN=^BD.

BD=HE=6B

故填673.

11.如图.在^ABC中，AB=BC.

A

BC

（1）按要求画图.尺规作图作出ZABC的角平分线（射线）BD.交ZC于点E；

（2）在（1）的结果下.画图并计算：点F为的中点.连接EF,若BE=AC=2,求△出尸的周长.

【答案】（1）见解析；（2）1+V5

【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方式进行解答即可；

（2）根据等腰三角形三线合一以及三角形中位线的知识进行解答即可.

【解析】解：（1）如图即为所作：

(2)AB=BC,8E平分ZA8C,

BE±AC,AE=CE,

EC=-AC=\,

2

在RrZXBECW,

BCNBE'ECZ=,22+1=«,

E是AC的中点，尸为8C的中点，

EF为△C4B的中位线，