福建省宁德市2022-2023学年高二上学期区域性学业质量检测（期末）数学试题（含答案详解）

2022-2023学年第一学期期末高二区域性学业质量检测数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.若直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】利用直线斜率等于其倾斜角的正切值求解即可.【详解】设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为直线倾斜角的范围为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：C2.双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】由双曲线方程可判断双曲线的焦点位置并同时求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此可求其渐近线方程.【详解】由双曲线SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以渐近线方程为SKIPIF1<0，故选：B3.圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系为（）A.内切 B.相交 C.外切 D.外离【答案】B【解析】【分析】求出圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，由圆心距与半径之间的关系即可判断【详解】由题意，SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知，两圆的位置关系为相交.故选：B.4.已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0等于（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】【分析】利用数列的项与前SKIPIF1<0项和的关系求解即可.【详解】由题可知SKIPIF1<0故选：C5.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A.y2＝12x B.y2＝－12xC.x2＝12y D.x2＝－12y【答案】A【解析】【分析】设出点M的坐标，由题意可知|MA|＝|MN|，进而根据抛物线的定义即可得到答案.【详解】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.故选：A.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种 B.120种 C.240种 D.480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有SKIPIF1<0种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有SKIPIF1<0种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7.如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成SKIPIF1<0，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据题干条件作出辅助线，求出SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，进而求出离心率.【详解】如图，由题意得：∠BAC=30°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且AC=DE，则在直角三角形ABC中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以此椭圆的离心率SKIPIF1<0.故选：C8.中国自古就有“桥的国度”之称，福建省宁德市保留着50多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥，堪称木拱廊桥的宝库.如图是某木拱廊桥的剖面图SKIPIF1<0是拱骨，SKIPIF1<0是相等的步，相邻的拱步之比分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，且直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】利用题中关系建立等式求解即可.【详解】由题可知SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0故选:B二、多项选择题（本题每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，则下列命题正确的有（）A.直线SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0B.直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BD【解析】【分析】根据已知直线方程，逐个验证直线过的定点、方向向量和垂直平行所需的条件.【详解】把SKIPIF1<0代入直线SKIPIF1<0的方程，等式不成立，A选项错误；直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，则直线斜率SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，B选项正确；直线SKIPIF1<0方向向量为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，C选项错误；若SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，D选项正确.故选：BD10.在SKIPIF1<0的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为160B.第3项二项式系数最大C.所有项的二项式系数和为SKIPIF1<0D.所有项的系数和为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】【分析】先求SKIPIF1<0的通项公式可得选项A的正误，利用SKIPIF1<0的值可得选项B、C的正误，所有项的系数和可以利用赋值法求解【详解】SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以常数项为SKIPIF1<0，A正确；二项式展开式中共有SKIPIF1<0项，所以第SKIPIF1<0项二项式系数最大，B错误；由SKIPIF1<0及二项式系数和的性质知，所有项的二项式系数和为SKIPIF1<0，C正确；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所有项的系数和为SKIPIF1<0，D正确；故选：ACD11.为了考察冰川融化状况，一支考察队在某冰川划定一考察区域，考察区域的边界曲线SKIPIF1<0由曲线SKIPIF1<0和曲线SKIPIF1<0组合而成，其方程为：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.则下列结论正确的是（）A.曲线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴成轴对称图形B.曲线SKIPIF1<0关于原点成中心对称图形C.曲线SKIPIF1<0上两点之间的距离的最大值为SKIPIF1<0D.直线SKIPIF1<0到曲线SKIPIF1<0的最短距离为3【答案】ACD【解析】【分析】画图即可验证选项A,B选项，通过图像可知曲线SKIPIF1<0上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离即可求解选项C，选项D利用平行与SKIPIF1<0的直线相切与曲线SKIPIF1<0时切点到直线SKIPIF1<0的距离最短即可求解.【详解】如图所示可知，曲线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，故A正确，B错误.由图像可知曲线SKIPIF1<0上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离为：SKIPIF1<0，故C正确，因为直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，当平行与直线SKIPIF1<0的直线与曲线SKIPIF1<0的SKIPIF1<0部分相切时，切点到直线SKIPIF1<0的距离最小，设此时直线方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足题意，故SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0解得切点为：SKIPIF1<0所以直线SKIPIF1<0到曲线SKIPIF1<0的最短距离为点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离：即SKIPIF1<0，故D正确，故选：ACD.12.已知等比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则以下结论正确的有（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，确定数列SKIPIF1<0相邻两项的特性判断AC；再判断等差数列SKIPIF1<0单调性判断BD作答.【详解】因为等比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0的正负不确定，因此不能确定SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的正负及大小关系，AC错误；显然SKIPIF1<0和SKIPIF1<0异号，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中至少有一个是负数，而SKIPIF1<0，于是等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0单调递减，因此SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，BD正确.故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.已知SKIPIF1<0，则两平行线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】两平行线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离，转化为SKIPIF1<0上一点到SKIPIF1<0的距离，利用点到直线距离公式计算.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以两平行线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为2.故答案为：214.某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晩会.晩会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有__________种不同排法.（用数字作答）【答案】42【解析】【分析】分两种情况讨论：2个教师节目相邻与不相邻，分别算出相加即可.【详解】①当2个教师节目相邻时利用插空法则有：SKIPIF1<0种情况，②当2个教师节目不相邻时有：SKIPIF1<0种情况，所以共有SKIPIF1<0种情况，故答案为：42.15.数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】将SKIPIF1<0变形得到SKIPIF1<0，然后逐项列举，累加可得到SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，代入即可得出结果【详解】由题意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，上式累加可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<016.反比例函数SKIPIF1<0的图象是双曲线（其渐近线分别为SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴）；同样的，“对勾函数”SKIPIF1<0的图象也是双曲线.设SKIPIF1<0，则此“对勾函数”所对应的双曲线的焦距为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】求得双曲线为SKIPIF1<0可得渐近线方程，运用对称性可得实轴所在的直线方程，与函数联立，求得交点坐标，由两点的距离公式，可得SKIPIF1<0的值，从而可得SKIPIF1<0值，即可得双曲线的焦距．【详解】由题可得双曲线为SKIPIF1<0，所以渐近线为SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，渐近线夹角为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0所以，焦点所在的直线方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，则焦距为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）设数列SKIPIF1<0公差为SKIPIF1<0，依题意得到关于SKIPIF1<0的方程，解得SKIPIF1<0，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）SKIPIF1<0，利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得【小问1详解】方法SKIPIF1<0设数列SKIPIF1<0公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；方法2：设数列SKIPIF1<0公差SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；【小问2详解】解：由（1）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.18.如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求直线SKIPIF1<0的方程；（2）记SKIPIF1<0的外接圆为圆SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0截得的弦长.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）2【解析】【分析】（1）直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0点，由题意可得SKIPIF1<0为等边三角形，故SKIPIF1<0，可求直线SKIPIF1<0的方程；（2）由SKIPIF1<0可求SKIPIF1<0的外接圆方程，几何法求直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0截得的弦长.【小问1详解】（如图）直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0点，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0【小问2详解】设圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，满足圆SKIPIF1<0的方程，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以圆心SKIPIF1<0半径SKIPIF1<0圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0截得的弦长SKIPIF1<0.注：方法二（2）设圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，满足圆SKIPIF1<0的方程，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0截得的弦长SKIPIF1<0.注：方法三（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB的中点为SKIPIF1<0

所以SKIPIF1<0的垂直平分线方程为：SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0的垂直平分线方程为：SKIPIF1<0②，由①②得，圆心为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0截得的弦长SKIPIF1<0.19.定义：SKIPIF1<0为广义组合数，其中SKIPIF1<0是正整数，且SKIPIF1<0.这是组合数SKIPIF1<0是正整数，且SKIPIF1<0一种推广.（1）计算：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；（2）猜想并证明：SKIPIF1<0__________（用SKIPIF1<0的形式表示，其中SKIPIF1<0是正整数）.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，证明见解析【解析】【分析】（1）根据广义组合数公式，计算即可求解．（2）结合(1)中的结果，根据广义组合数公式，化简等号左边的算式，即可得到结果.【小问1详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0【小问2详解】猜想：SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，猜想成立.SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0.20.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，焦点在x轴上的椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）设直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的面积最大值.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）1【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率及椭圆过一点，列方程求解SKIPIF1<0，即可得椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）设SKIPIF1<0，联立直线与椭圆求解交点坐标关系，即可得相交弦长SKIPIF1<0，再利用点到直线距离求得点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，即可得SKIPIF1<0的表达式，利用函数性质求最值即可.【小问1详解】设椭圆方程为SKIPIF1<0，由椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0【小问2详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积取到最大值1.21.已知数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的范围.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，利用相减法得SKIPIF1<0，检验首项后可得数列SKIPIF1<0是等比数列，即可求得数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）直接根据错位相减法求解数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0即可；（3）利用数列单调性判断方法确定最值，即可得实数SKIPIF1<0的范围.【小问1详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，也符合上式，故数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为2的等比数列，SKIPIF1<0.【小问2详解】由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②由①-②有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【小问3详解】SKIPIF1<0记SKIPIF1<0则SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0故实数SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<022.双曲线SKIPIF1<0，恰好过SKIPIF1<0中的三点.（1）求双曲线SKIPIF1<0的方程；（2）记双曲线SKIPIF1<0上不同的三点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为双曲线的右顶点，若直线SKIPIF1<0的斜率之积为1，证明：直线SKIPIF1<0过定点.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线的对称性知，双曲线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0，代入双曲线方程即可求出SKIPIF1<0；（2）法一：设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线与双曲线的方程，由韦达定理结合题意即可表示出SKIPIF1<0两点的坐标，即可表示出直线SKIPIF1<0的方程，求出直线SKIPIF1<0过的定点；法二：设直线SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0，联立直线与双曲线的方程，由韦达定理结合题意即可表示出SKIPIF1<0两点的坐标，即可表示出直线SKIPIF1<0的方程，求出直线SKIPIF1<0过的定点；法三：依据对称性可知，直线SKIPIF1<0必过SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0结合韦达定理化简可得SKIPIF1<0，即可求出直线SKIPIF1<0过的定点；法四：以SKIPIF1<0为原点，构建新的直角坐标系，则SKIPIF1<0，双曲线方程SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0，联立直线与双曲线的方程可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0的值，即可得出答案.【小问1详解】由双曲线的对称性知，双曲线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以双曲线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0【小问2详解】法一：设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联合方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0用SKIPIF1<0代替，得SKIPIF1<0.直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0