2024届河南省周口市高三下学期3月七校联考数学试题试卷

2024届河南省周口市高三下学期3月七校联考数学试题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知P是双曲线渐近线上一点，，是双曲线的左、右焦点，，记，PO，的斜率为，k，，若，-2k，成等差数列，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是（）A．， B．存在点，使得平面平面C．平面 D．三棱锥的体积为定值3．把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A． B． C． D．4．已知集合，，则A． B．C． D．5．已知函数且的图象恒过定点，则函数图象以点为对称中心的充要条件是()A． B．C． D．6．已知，，若，则向量在向量方向的投影为（）A． B． C． D．7．复数的虚部是()A． B． C． D．8．设，则（）A． B． C． D．9．在平面直角坐标系中，已知是圆上两个动点，且满足，设到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知数列满足：，则()A．16 B．25 C．28 D．3311．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为()A． B． C． D．12．已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.14．安排名男生和名女生参与完成项工作，每人参与一项，每项工作至少由名男生和名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.15．已知是等比数列,若，,且∥,则______.16．已知集合,,则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若函数的最小值为，求的最小值.18．（12分）设都是正数，且，．求证：．19．（12分）已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值．20．（12分）已知，.（1）解；（2）若，证明：.21．（12分）如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.22．（10分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

求得双曲线的一条渐近线方程，设出的坐标，由题意求得，运用直线的斜率公式可得，，，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值．【题目详解】设双曲线的一条渐近线方程为，且，由，可得以为圆心，为半径的圆与渐近线交于，可得，可取，则，设，，则，，，由，，成等差数列，可得，化为，即，可得，故选：．【题目点拨】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．2、B【解题分析】

根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，判断D.【题目详解】在A中，因为分别是中点，所以，故A正确；在B中，由于直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故B错误；在C中，由平面几何得，根据线面垂直的性质得出，结合线面垂直的判定定理得出平面，故C正确；在D中，三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确；故选：B【题目点拨】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.3、D【解题分析】

试题分析：把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），可得的图象；再将图象向右平移个单位，可得的图象，那么所得图象的一个对称中心为，故选D.考点：三角函数的图象与性质.4、D【解题分析】

因为，，所以，，故选D．5、A【解题分析】

由题可得出的坐标为，再利用点对称的性质，即可求出和.【题目详解】根据题意，，所以点的坐标为，又，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.6、B【解题分析】

由，，，再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【题目详解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影为.故选：B.【题目点拨】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题7、C【解题分析】因为，所以的虚部是，故选C.8、C【解题分析】试题分析：，．故C正确．考点：复合函数求值．9、B【解题分析】

由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍，所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和，即可通过不等式来求解的取值范围.【题目详解】由，得，.设线段的中点，则，在圆上，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍，点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆的圆心到直线的距离为，，，..故选：【题目点拨】本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.10、C【解题分析】

依次递推求出得解.【题目详解】n=1时，，n=2时，，n=3时，，n=4时，，n=5时，.故选：C【题目点拨】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11、B【解题分析】

首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合，那么，利用的最小正周期为，从而求得结果.【题目详解】的最小正周期为，那么(∈)，于是，于是当时，最小值为，故选B.【题目点拨】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.12、A【解题分析】

先利用最高点纵坐标求出A，再根据求出周期，再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.【题目详解】由图象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），将代入得φ）＝1，∴φ，结合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故选：A.【题目点拨】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2.【解题分析】

如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.【题目详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，，又，得即；又平面，为与平面所成角，令，当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2【题目点拨】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.14、1296【解题分析】

先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.【题目详解】由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有种.故答案为：1296【题目点拨】本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.15、【解题分析】若，,且∥,则，由是等比数列,可知公比为..故答案为.16、【解题分析】

直接根据集合和集合求交集即可.【题目详解】解:,,所以.故答案为:【题目点拨】本题考查集合的交集运算,是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式；（2）由（1）得的最小值为4，则由，代换后用基本不等式可得最小值．【题目详解】解：（1）讨论：当时，，即，此时无解；当时，；当时，.所求不等式的解集为（2）分析知，函数的最小值为4，当且仅当时等号成立.的最小值为4.【题目点拨】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最小值．解绝对值不等式的方法是分类讨论思想．18、证明见解析【解题分析】

利用比较法进行证明：把代数式展开、作差、化简可得,,可证得成立,同理可证明,由此不等式得证.【题目详解】证明:因为,，所以，∴成立，又都是正数，∴，①同理，∴．【题目点拨】本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。19、(Ⅰ).(Ⅱ).【解题分析】

(Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；(Ⅱ)，由数列的错位相减法求和可得，解方程可得所求值．【题目详解】(Ⅰ)等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是即有，解得：(Ⅱ)由(Ⅰ)知：则相减可得：化简可得：，即为解得：【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．20、（1）；（2）见解析.【解题分析】

（1）在不等式两边平方化简转化为二次不等式，解此二次不等式即可得出结果；（2）利用绝对值三角不等式可证得成立.【题目详解】（1），，由得，不等式两边平方得，即，解得或.因此，不等式的解集为；（2），，由绝对值三角不等式可得.因此，.【题目点拨】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.21、（1）证明见解析（2）【解题分析】

（1）要证明平面，只需证明，即可：（2）取中点，连，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，再利用计算即可.【题目详解】（1）∵底面为菱形，∵直棱柱平面.∵平面..平面；（2）如图