高中数学必修五高中数学必修5公开课教案2.3.2-等差数列的前n项和(二)-教案课时训练练习教案课件

2.3.2等差数列的前n项和(二)从容说课“等差数列的前n项和”第二节课的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，进一步去了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；学会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值，学会其常用的数学方法和体现出的数学思想.从而提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻.通过本节例题的教学，使学生能活用求和公式解题，并进一步感受到数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成，通过探究一些特殊数学求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用.在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容，学会学习并能积极地发展自己的能力.教学重点熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点灵活应用求和公式解决问题.教具准备多媒体课件、投影仪、投影胶片等三维目标一、知识与技能1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3.会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.二、过程与方法 1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展.三、情感态度与价值观通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学过程导入新课师首先回忆一下上一节课所学主要内容.生我们上一节课学习了等差数列的前n项和的两个公式：(1)；(2).师对，我们上一节课学习了等差数列的前n项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和问题的一些方法，本节课我们继续围绕等差数列的前n项和的公式的内容来进一步学习与探究.推进新课［合作探究］师本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n的函数形式.生我将等差数列{an}的前n项和的公式整理、变形得到：n.(*)师很好!我们能否说(*)式是关于n的二次函数呢?生1能，(*)式就是关于n的二次函数.生2不能，(*)式不一定是关于n的二次函数.师为什么?生2若等差数列的公差为0，即d=0时，(*)式实际是关于n的一次函数!只有当d≠0时，(*)式才是关于n的二次函数.师说得很好!等差数列{an}的前n项和的公式可以是关于n的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征?生它一定不含常数项，即常数项为0.生它的二次项系数是公差的一半.……师对的，等差数列{an}的前n项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n项和为n的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗?生不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列.师说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗?生当d=0时，(*)式是关于n的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d≠0时，(*)式是n的二次函数，它的图象是在二次函数的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n,Sn)(n=1，2，3，…).师说得很精辟.［例题剖析］【例】(课本第51页例4)分析:等差数列{an}的前n项和公式可以写成，所以Sn可以看成函数(x∈N*)当x=n时的函数值.另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n的值.(解答见课本第52页)师我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差.生它的首项为5，公差为.师对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？生老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是an=a1+(n-1)d=.我令≤0，得到了n≥8，这样我就可以知道a8=0，而a9＜0.从而便可以发现S7=S8，从第9项和Sn开始减小，由于a8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大.师说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况.［方法引导］师受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律：①当等差数列{an}的首项大于零，公差小于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值?生Sn有最大值，可通过求得n的值.师②当等差数列{an}的首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值?生Sn有最小值，可以通过求得n的值.［教师精讲］好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：(1)利用an取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；(2)利用Sn：由利用二次函数求得Sn取最值时n的值.课堂练习请同学们做下面的一道练习：已知：an=1024+lg21-n(lg2=0.3010)n∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演)解：1°+13401＜n＜3403.所以n=3402.2°Sn=1024n+(-lg2)，当Sn=0或Sn趋近于0时其和绝对值最小，令Sn=0，即1024+(-lg2)=0,得n=+1≈6804.99.因为n∈N*，所以有n=6805.(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)［合作探究］师我们大家再一起来看这样一个问题：全体正奇数排成下表：1357911131517192123252729…………此表的构成规律是：第n行恰有n个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2005是第几行的第几个数?师此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我.生1我发现这数表n行共有1+2+3+…+n个数，即n行共有个奇数.师很好!要想知道2005是第几行的第几个数，必须先研究第n行的构成规律.生2根据生1的发现，就可得到第n行的最后一个数是2×-1=n2+n-1.生3我得到第n行的第一个数是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.师现在我们对第n行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看?生4我设n2-n+1≤2005≤n2+n-1，解这不等式组便可求出n=45，n2-n+1=1981.再设2005是第45行中的第m个数，则由2005=1981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2005是此表中的第45行中的第13个数.师很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键.课堂小结本节课我们学习并探究了等差数列的前n项和的哪些内容?生1我们学会了利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值的方法：①利用an：当an＞0，d＜0，前n项和有最大值.可由an≥0，且an+1≤0，求得n的值；当an≤0，d＞0，前n项和有最小值.可由an≤0，且an+1≥0，求得n的值.②利用Sn：由Sn=n2+(a1-)n利用二次函数求得Sn取最值时n的值.生2我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法.师本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列.布置作业课本第52页习题2.3A组第5、6题.预习提纲：①什么是等比数列？②等比数列的通项公式如何求？板书设计等差数列的前n项和(二)Sn与函数的联系例4求Sn最值的方法学生练习数表问题下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：

1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”

主持人口述谜语：

“双手抓不起，一刀劈不开，

煮饭和洗衣，都要请它来。”

主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”

主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”

甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》

竹板一敲来说话，水的用处真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，

煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；

鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；

采煤发电要靠它，京城美化更要它。

主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？

甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。

乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。

丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。

2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？

（1）（生）：我要节约用水，保护水源。

（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。

（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。

3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。

（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。

（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。

（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）

（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？

主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》

大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”

旁白：“那又是谁家的呢？”

主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？

甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。

乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。

主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？

齐：主动关好。

小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？

主持人：可以。

小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？

答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。

小记者：请这位同学谈谈好吗？

答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。

小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！

水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你们还有发言的吗？

答：有。

生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。

动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！

花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同学们的笑声不断。

主持人：水伯伯，您这是干什么呢？

水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！

主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！

4.主持人：大家欢迎老师讲话！

同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。

5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。

6.活动效果：

此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵

活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：

1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”

主持人口述谜语：

“双手抓不起，一刀劈不开，

煮饭和洗衣，都要请它来。”

主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”

主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”

甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》

竹板一敲来说话，水的用处真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，

煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；

鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；

采煤发电要靠它