第3周-第一章-整式乘除(三)(解析版)

过关过手周周清2019-2020七下周练最佳方案第3周第一章整式乘除（三）（内容：§1.5平方差公式—§1.6完全平方公式）本周知识清单1．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．2．平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．3．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．4．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）5．完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2＝（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”本周同步周练第3周第一章整式乘除（三）A卷（100分）（内容：§1.5平方差公式—§1.6完全平方公式）（时间：120分钟满分：150分）一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2019•孟津县期末）已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8 B．3 C．﹣3 D．10【点拨】根据平方差公式解答即可．【解析】解：∵a+b＝﹣3，a﹣b＝1，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣3）×1＝﹣3．故选：C．2．（2019•惠州期末）如果x2+2ax+9是一个完全平方式，则a的值是（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．9或﹣9【点拨】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值．【解析】解：∵x2+2ax+9是一个完全平方式，∴2a＝±（2×3），则a＝3或﹣3，故选：C．3．（2019•襄州区期末）已知（m﹣n）2＝38，（m+n）2＝4000，则m2+n2的值为（）A．4038 B．2017 C．2018 D．2019【点拨】根据完全平方公式，即可解答．【解析】解：（m﹣n）2＝38，m2﹣2mn+n2＝38①，（m+n）2＝4000，m2+2mn+n2＝4000②，①+②得：2m2+2n2＝4038，m2+n2＝2019．故选：D．4．（2019•邹平县期中）若a+b＝7，ab＝10，则a2+b2的值是（）A．5 B．21 C．29 D．85【点拨】根据完全平方公式进行计算即可．【解析】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∵a+b＝7，ab＝10，∴a2+b2＝72﹣20＝29．故选：C．5．（2019•罗庄区期末）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2【点拨】根据同底数幂的乘法，可判断A，根据幂的乘方，可判断B，根据同底数幂的除法，可判断C，根据平方差公式，可判断D．【解析】解：A、底数不变指数相加，故A错误；B、底数不变指数相乘，故B错误；C、底数不变指数相减，故C错误；D、两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D正确；故选：D．6．（2019•高邮市期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣1）（﹣x+1） B．（﹣x+1）（﹣x﹣1） C．（﹣x﹣1）（x﹣1） D．（x+1）（﹣x+1）【点拨】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解析】解：下列各式中不能用平方差公式计算的是（x﹣1）（﹣x+1），故选：A．7．（2019•德城区期末）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）【点拨】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．【解析】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：A．8．（2019•霸州市期末）如图1，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a+1的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图2所示的长方形ABCD（不重叠、无缝隙），则AD，AB的长分别是（）A．3，2a+2 B．5，2a+8 C．5，2a+3 D．3，2a+5【点拨】利用已知得出矩形的长分为两段，即大正方形边长+小正方形边长，宽AD为大正方形边长﹣小正方形边长即可求出．【解析】解：由题意可得：拼成的长方形一边的长AD＝（a+4）﹣（a+1）＝3，另一边的长为AB＝（a+4）+（a+1）＝2a+5．故选：D．9．（2019•香洲区期末）一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加99cm2，这个正方形的边长为（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【点拨】可根据：边长增加后的正方形的面积＝原正方形的面积+99，列出方程，求出正方形的边长．【解析】解：设这个正方形的边长为x，则（x+3）2＝x2+99，解得：x＝15cm．故选：C．10．（2019•通城县期末）如图是用4个相同的小长方形与一个小正方形密铺而成的大正方形图案．已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用a，b分别表示小长方形的长与宽（其中a＞b），则baA．964 B．38 C．25 【点拨】先根据大小正方形的面积，求得其边长，再根据图形得关于a和b的二元一次方程组，解得a和b的值，则易得答案．【解析】解：∵大正方形的面积为64，小正方形的面积为9∴大正方形的边长为8，小正方形的边长为3由图形可得：a解得：a∴b故选：D．二．填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）11．（2019•苏州期末）若a+b＝2，a﹣b＝4，则a2﹣b2＝8．【点拨】根据平方差公式计算即可．【解析】解：∵a+b＝2，a﹣b＝4，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8．故答案为：812．（2019•延庆区期末）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的一条边长是a，另一条边长是a+6．【点拨】用（a+3）2﹣32分解因式即可．【解析】解：根据题意：（a+3）2﹣32＝（a+3+3）（a+3﹣3）＝（a+6）•a．故答案是：a+6．13．（2019•开福区校级期中）已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3．（1）观察以上各式并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+……+xn）＝1﹣xn+1（n为正整数）．（2）根据你的猜想计算：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝﹣63；②2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2（n为正整数）．【点拨】（1）根据题意易得（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1；（2）利用猜想的结论得到①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝1﹣26＝1﹣64＝﹣63；②先变形2+22+23+24+…+2n＝2（1+2+22+23+24+…+2n﹣1）＝﹣2（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+2n﹣1），然后利用上述结论写出结果．【解析】解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1；所以答案为：1﹣xn+1；（2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝1﹣26＝1﹣64＝﹣63；所以答案为：﹣63；②2+22+23+24+…+2n＝2（1+2+22+23+24+…+2n﹣1）＝﹣2（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+2n﹣1）＝﹣2（1﹣2n）＝2n+1﹣2；所以答案为：2n+1﹣2．14．（2019•泰兴市期末）若a+b＝4，ab＝﹣2，则a2+b2＝20．【点拨】先将所求式子进行变形后，代入可得结论．【解析】解：∵a+b＝4，ab＝﹣2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×（﹣2）＝16+4＝20，故答案为：20．三．解答题（共6小题，满分54分）15．（8分）（2019•长白县期末）运用乘法公式计算：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣6）（4x+3）．【点拨】分别根据平方差公式以及多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可．【解析】解：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣6）（4x+3）＝（2x）2﹣1﹣（4x2+3x﹣24x﹣18）＝4x4﹣1﹣4x2﹣3x+24x+18＝21x+17．16．（8分）（2019•延边州期末）如图，将边长为m的正方形纸板，沿虚线剪成两个正方形和两个长方形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三个图形拼成一个新的长方形．（1）求拼成的新的长方形的周长（用含m或n的代数式表示）；（2）当m＝7，n＝4时，直接写出拼成的新的长方形的面积．【点拨】（1）用含m或n的代数式表示拼成的新的长方形的长和宽即可求周长；（2）当m＝7，n＝4时，代入（1）所得长方形的长和宽即可写出拼成的新的长方形的面积．【解析】解：（1）根据题意，得矩形的长为m+n．矩形的宽为m﹣n．矩形的周长为2[（m+n）+（m﹣n）]＝4m．（2）当m＝7，n＝4时，矩形的面积为：（m+n）（m﹣n）＝11×3＝33．17．（8分）（2019•西湖区校级月考）我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．（1）如图1所示，甲同学从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），求矩形的面积；（2）乙同学用如图2所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图3所示的正方形．①用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；②根据①中的结论计算：已知（2016﹣m）（2018﹣m）＝2009，求（2018﹣m）2+（m﹣2016）2【点拨】（1）根据矩形的面积公式计算；（2）①根据正方形的面积公式表示出阴影部分的面积，根据图形表示出阴影部分的面积，得到等式，根据完全平方公式证明结论；②根据①的结论计算即可．【解析】解：（1）矩形的面积＝（a+4）2﹣（a+1）2＝a2+8a+16﹣a2﹣2a﹣1＝6a﹣15；（2）①如图2，阴影部分的面积＝a2+b2，如图3，阴影部分的面积＝（a+b）2﹣2ab，则得到等式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，证明：（a+b）2﹣2ab＝a2+2ab+b2﹣2ab＝a2+b2；②（2018﹣m）2+（m﹣2016）2＝（2018﹣m+m﹣2016）2﹣2×（m﹣2016）（2018﹣m）＝4+2009×2＝4022．18．（10分）（2019•榆树市期中）计算：（1）（﹣3m2）2•（﹣5m3）（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）【点拨】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再运用单项式乘单项式的运算法则计算可得到结果；（2）原式利用平方差公式计算即可得到结果．【解析】解：（1）（﹣3m2）2•（﹣5m3）＝（9m4）•（﹣5m3）＝﹣45m7；（2）（﹣a﹣b）（a﹣b）＝（﹣b﹣a）（﹣b+a）＝（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2．19．（10分）（2019•全椒县期中）图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同方法，求②中阴影部分的面积（不用化简）方法1：（m+n）2﹣4mm；方法2：（m﹣n）2（2）观察图②，写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系，并验证；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值；②若2a+b＝5，ab＝2，求2a﹣b的值．【点拨】（1）利用已知图形结合边长为（m+n）的大正方形的面积减去长为m，宽为n的4个长方形面积以及边长为（m﹣n）的正方形的面积，分别求出答案；（2）分别化简（1）中求得阴影部分的面积可得答案；（3）①②利用（2）中关系式，将已知变形得出答案．【解析】解：（1）方法1：（m+n）2﹣4mm，方法2：（m﹣n）2；故答案为：（m+n）2﹣4mm，（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2证明：左边＝m2+2mn+n2﹣4mn＝m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝右边；（3）①（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×5＝29，②（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣8ab＝52﹣8×2＝9，∴2a﹣b＝±3．20．（10分）（2019•皇姑区期末）观察下列等式：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4…利用你的发现的规律解决下列问题（1）（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5（直接填空）；（2）（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（直接填空）；（3）利用（2）中得出的结论求62019+62018+…+62+6+1的值．【点拨】（1）（2）直接根据规律解答即可；（3）利用（2）的结论，把所求式子写成（6﹣1）（62019+62018+…+62+6）×1【解析】解：（1）（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5故答案为：a5﹣b5；（2）（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn故答案为：an﹣bn；（3）62019+62018+…+62+6+1＝（6﹣1）（62019+62018+…+62+6）×1B卷（50分）一．填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）21．（2019•三明期末）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝13，则阴影部分的面积为5．【点拨】阴影部分面积可以用边长为a的正方形面积的一半减去底底（a﹣b），高为b的三角形的面积，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．【解析】解：根据题意得：当a+b＝7，ab＝13时，S阴影=12a2-12b（a﹣b）=12a2-12ab+12b2=12[（a+故答案为：522．（2019•偃师市期中）若（﹣x2﹣4y2）•A＝16y4﹣x4，则A＝x2﹣4y2．【点拨】根据平方差公式分解因式即可求得答案．【解析】解：16y4﹣x4＝（4y2﹣x2）（4y2+x2）＝（﹣x2﹣4y2）（x2﹣4y2）故答案为：x2﹣4y2．23．（2019•建昌县期末）如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【点拨】首先分别求出甲乙两图阴影部分的面积，然后根据面积相等可直接求得等式．【解析】解：∵S甲＝（a2﹣b2），S乙＝（a+b）（a﹣b）又∵S甲＝S乙∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）24．（2019•天津期末）若x﹣y＝6，xy＝7，则x2+y2的值等于50．【点拨】将所求代数式适当变形后整体代入x﹣y＝6，xy＝7即可求解．【解析】解：因为x﹣y＝6，xy＝7，所以x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝62+2×7＝50，故答案为：50．25．（2019•蒸湘区校级期中）四个形状、大小相同的长方形，如图，拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为28厘米，那么，每块小长方形的面积是12平方厘米．【点拨】设每块小长方形的长为xcm，宽为ycm，则由图形可得长是宽的3倍，再结合周长为28厘米，可列出二元一次方程组，解出长和宽，然后相乘即可得每个小长方形的面积．【解析】解：设每块小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：x=3解得x∴每块小长方形的面积是：6×2＝12（cm2）故答案为：12．二．解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）（2019•常德期中）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）（只需表示，不必化简）；（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20172﹣2018×2016．【点拨】（1）求出大正方形及小正方形的面积，作差即可得出阴影部分的面积；图2所示的长方形的长和宽分别为（a+b）、（a﹣b），由此可计算出面积；（2）根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式；（3）利用平方差公式计算即可．【解析】解：（1）大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，故图1阴影部分的面积值为a2﹣b2；长方形的长和宽分别为（a+b）、（a﹣b），故图2重拼的长方形的面积为（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）比较上面的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可以验证平方差公式，这也是平方差公式的几何意义；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）20172﹣2018×2016＝20172﹣（2017+1）（2017﹣1）＝20172﹣（20172﹣1）＝20172﹣20172+1＝1．27．（10分）（2019•太仓市期中）若x，y满足x+2y＝2，xy＝﹣1，求下列各式的值．（1）（x﹣2y）2（2）x4+16y4（3）x3+8y3【点拨】（1）把x+2y和xy看到整体；利用完全平方公式，把式子进行转化为：（x﹣2y）2＝（x+2y）2﹣8xy，最后代入求值；（2）此题也是把x+2y和xy看到整体；利用因式分解法将所求的多项式转化成有关x+2y与xy的式子求解即可；（3）x3+8y3在因式分解过程可以先以x+2y为其中的一个因式，从而求出其他的因式；最后再代入求值；【解析】解：（1）（x﹣2y）2＝（x+2y）2﹣8xy∵x+2y＝2，xy＝﹣1∴原式＝22﹣8×（﹣1）＝4+8＝12（2）x4+16y4＝（x2+4y2）﹣8（xy）2＝[（x+2y）2﹣4xy]2﹣8（xy）2∵x+2y＝2，xy＝﹣1∴原式＝[22﹣4×（﹣1）]2﹣8×（﹣1）2＝162﹣8＝248（3）x3+8y3＝（x+2y）（x2+4y2