立体几何与空间向量专项练习

高二（上）数学立体几何与空间向量模块卷试卷满分150分考试时间120分钟一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）已知，，，，，，，，，若，则的坐标是（）A．，， B．，，

C．，， D．，，如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为 （）A．，1，

B．，，

C．，，

D．，，现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，则圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．在平行六面体中，，，，是的中点，用，，表示为 （）A． B． C． D．已知空间四个点，，，，，，，3，，，1，在同个平面内，则实数 （）A．1 B． C．0 D．如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则三棱锥的体积为（）A．

B．

C．

D．已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为 （）A． B． C． D．设，，向量，1，，，，，，，，且，，则 （）A． B． C．3 D．4二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分．不选、错选得0分，漏选得2分）已知为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量，不重合），那么下列选项中，正确的是 （）A． B．

C． D．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列命题正确 （）A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，，则在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A．，，

B．异面直线与所成角的余弦值为

C．平面的一个法向量为，，

D．二面角的余弦值为如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，和分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的平方可以取的值为 （）A．

B．

C．

D．1三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）工匠准备将一块棱长为4的正方体木头切削成一个球，则该球的表面积的最大值为__________．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为__________．在△中，，，沿中线折起，使，连，所得四面体的体积为，则此四面体内切球的表面积为__________．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数__________．

（14题）（16题）四．解答题（共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分．）已知，，，，2，，，0，，．

（1）求实数的值；

（2）若，求实数的值．

如图，直三棱柱中，，，且，分别是，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．

如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．如图，平行四边形的边所在的直线与菱形所在的平面垂直，且，．

（1）求证：平面平面；

（2）若，_____，求二面角的余弦值．从①，②这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题．

如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，分别为，中点，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．

高二（上）数学_立体几何与空间向量模块卷参考答案与试题解析选择题1．设点坐标为，，，则，，又，7，，，，则的坐标是，，故选：．2．设，交于点，连结正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上，且平面，又，是平行四边形是的中点，0，，故选：．3．由题意知，圆锥的高和底面直径都为2则圆锥的母线长所以圆锥的侧面积故选：．4．如图示结合图象得故选：．5．空间四个点，，，，，，，3，，，1，在同个平面内，，，，，4，，，，，且，，，，，，，，解得，，故选：．6．正三棱柱的所有棱长均为1三棱锥的体积等于的体积，也等于的体积取的中点，则由正三棱柱的性质可知，面三棱锥的体积故选：．7．因为三棱柱的6个顶点都在球的球面上若，，，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面，经过球的球心，球的直径是其对角线的长因为，，，所以球的半径为故选：．8．设，，向量，1，，，，，，，且，，解得，，1，，，，，故选：．多选题9．为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量，不重合）则，，，或因此正确故选：．10．若，则与无公共点，又，则与无公共点，可得，故正确若，，则或，故错误若，，则，又，所以，故正确若，，或，又，所以与平行、相交或异面，故错误故选：．11．对于，，2，，，0，，，，，故正确对于，，0，，，0，，，0，，，，设异面直线与所成角为则异面直线与所成角的余弦值为，故错误对于，，2，，，0，，，2，设平面的一个法向量为，，则，取，得平面的一个法向量为，，，故正确对于，平面的一个法向量为，，平面的一个法向量为，1，二面角的余弦值为，又因为二面角为锐角，故正确故选：．12．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系则，0，，，1，，，0，设，，则，0，，，，，，，，，，，，当时，线段长度的最小值是又时，线段长度的最大值是1而不包括端点，故不能取线段的长度的平方的取值范围是，故选：．填空题13．由题意可知可切削的最大的球为该正方体的内切球此时该球的半径，表面积故答案为：．14．连接交于点因为平面，底面是正方形所以，，因此平面故平面连接，则即是直线与平面所成角又因，所以，所以，所以故答案为：．15．可知，面四面体的体积，得，所以四面体的表面积为设内切球的半径为，由，得内切球的表面积为故答案为：．16．连接，交于以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系设，则，0，，，，，0，，，0，，，，，，，设，，则，，，，，，，，，，，解得实数故答案为：4．四．解答题17．（1），，，，2，，0，，0，，可设，，0，，0，，解得实数的值为2（2），，，，，解得18．（1）如图，连接，交于，连接则为的中点，因为为的中点所以为△的中位线，所以又平面，平面所以平面（2）因为，为的中点，所以因为为直棱柱，所以平面，平面所以所以平面因为平面所以因为△，，所以，即因为所以平面19．（1）证明：，分别为，的中点又平面平面（2）如图建立空间直角坐标系，设则，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，设平面的法向量为，则，可取设直线与平面所成角为，则20．（1）在直三棱柱中，，，，点是的中点以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，，，0，，，2，，，1，，0，，，，设异面直线与所成角为则异面直线与所成角的余弦值为（2），1，，，2，设平面的法向量，，则，取，得，，平面的法向量，1，设平面与平面的夹角为则平面与平面的夹角的余弦值为：21．（1）证明：，是等边三角形，为中点，故，平面，，平面平面，平面平面（2）选①解：由（1）知平面，平面，平面平面，平面，平面平面又平面平面，平面平面，平面，是二面角的平面角，，，二面角的余弦值为选②解：由（1）得平面，平面，平面平面，平面，平面平面又平面平面平面平面，平面，，即为二面角的平面角，，，二面角的余弦值为22．（1）作的中点，连接，在中，，为中点平面，平面平面同理可证明平面平面，平面，平面平面平面平面（2）作垂直于，作，连接，做中点，连接为中点侧面底面，