2023年中考数学重难点复习-角度问题（旋转综合题）

2023年中考数学重难点专题复习-角度问题(旋转综合题)

一、解答题

1.取一副三角板按图①拼接，固定三角板AQC,将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为4的

角(0。＜0445。)得到丫48。'，如图所示.

试问：

(1)当a为多少度时，能使得图②中A3DC；

(2)当旋转至图③位置，此时a又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；

(3)连接80,当0。＜。＜45。时，探寻ND8C+NC4C+N3DC值的大小变化情况，并给出你的证明.

2.【问题背景】如图1,点E、F分别在正方形A8CD的边BC、C。上，ZEAF=45°,连接EF,我们可以

通过把../3E绕点A逆时针旋转90。到△ADG,容易证得：EF=BE+DF.

⑴【迁移应用】如图2,四边形A3CD中，AB=AD,/B4)=90。，点E、尸分别在边8C、CD上，ZEAF=45°,

若NB、ND都不是直角，且/8+/。=180。，试探究£尸、BE、。尸之间的数量关系，并说明理由.

(2)【联系拓展】如图3,在43C中，/R4C=90°,4?=AC,点。、E均在边BC上，且ND4E=45。.猜

想BD、DE、EC满足的等量关系(直接写出结论，不需要证明).

3.抛物线y=a/+bx经过点A(4,0),B(2,2),连结OB,AB.

⑴求a、b的值；

(2)求证：AOAB是等腰直角三角形；

(3)将40AB绕点O按顺时针方向旋转135。得到△OAB,写出AB的中点P的出标.试判断点P是否在此抛

物线上，并说明理由.

4.(1)如图1,。是等边AABC内一点，连接04、OB、0C,且。4=3,0B=4,0C=5,将△54。绕点

8顺时针旋转后得到△BCD,连接0D.

求：①旋转角的度数—;

②线段0D的长；

③求NBOC的度数.

(2)如图2所示，。是等腰直角△4以；(NABC=90。)内一点，连接OA、OB、0C,将ABAO绕点8顺

时针旋转后得到△BCZ),连接00.当OA、OB、0C满足什么条件时，NOOC=90。？请给出证明.

5.如图，在RSABC中，ZABC=90°,BC=4,tanA=—,将△A8C沿CB方向平移得到△DEF.

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备用图

(1)当4OEF重叠部分的面积是△ABC面积一半时，求4ABC平移的距离；

(2)当。F的中点M恰好落在N4C5的平分线上时，

①求AABC平移距离；

②将△力EF绕点E旋转后得到AGE，(点。的对应点是点G,点尸对应点是点”)，在旋转过程中，直线

G”与直线AB交于点K,与直线AC交于点J,当△AKJ是以A/为底边的等腰三角形时，请直接写出此时

AJ的长为.

6.我们定义：如图1,在AABC中，把A8绕点A顺时针旋转a(0。<6(<180。)得到A8,把AC绕点4逆

时针旋转£得到AC,连接8C,当a+6=180。时，我们称AAB'C是AABC的“旋补三角形”，△A8C边B'C'

上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”.

(1)［特例感知］在图2,图3中，CAffC是△ABC的“旋补三角形”,A。是△A8C的“旋补中线”.

①如图2,当△ABC为等边三角形，且BC=6时，则4力长为.

②如图3,当N8AC=90。，且8c=7时，则长为.

(2)［猜想论证］在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AO与2C的数量关系，并给予证明.(如果你没

有找到证明思路，可以考虑延长4。或延长8A,…)

(3)［拓展应用］如图4,在四边形ABC。中，ZBCD=150°,A8=12,CD=6,以CD为边在四边形A8C。内

部作等边△PCD，连接AP,BP.若△山。是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及

四边形ABCD的边A。长.

7.如图，。。为等边△ABC的外接圆，半径为2,点D在劣弧AB上运动(不与点A，B重合)，连接D4,

DB,DC.

(1)求证：OC是NAO8的平分线；

(2)四边形AO8C的面积S是线段。C的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理

由；

(3)若点M,N分别在线段CA,C8上运动(不含端点)，经过探究发现，点。运动到每一个确定的位置,

△OMN的周长有最小值f,随着点。的运动，r的值会发生变化，求所有，值中的最大值.

8.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，43c的顶点均在格点(网格线的交点)上.

(1)将一ABC向上平移4个单位得到△AgG,画出△4片£.

⑵将(1)中的△ABC绕点C1逆时针旋转90。得到△4BK-画出2G.此时，4G与AC的位置关

系是.

9.综合与实践

问题情境

在，ABC中，ZABC=90°,8A=3C,点仞是直线AC上一动点.连接MB,将线段MB绕点例逆时针旋

转90。得到MD.

操作证明

(1)如图1,当点M与点A重合时，连接OC,判断四边形A8CQ的形状，并证明；

(2)如图2,当点M与点C重合时，连接。B,判断四边形ABOC的形状，并证明；

(3)探究猜想：当点M不与点A,点C重合时.

①试猜想DC与BC的位置关系，并利用图3证明你的猜想；

②直接写出A8,C。和AM之间的数量关系.

10.理解：数学兴趣小组在探究如何求加"15。的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路:

思路一如图1,在R/A48C中，ZC=90°,/ABC=30。，延长C8至点£),使BC=BA,连接AD设AC=1,

|2—yf^

则BD=BA=2,BC=S/3.tanD=tan\50=--------------7==----尸-------T=-

2+J3(2+后(2-扬

tanaztanB

思路二利用科普书上的和(差)角正切公式：tan(a±p)=-----------4.假设a=60。，0=45。代入差角

1千tanatans

八iiu。ZXMO/U。、tan60-tan45V3-1/-

正切公式：tan\5=tan(60-45)=--------------=----产=2一，3.

1+tan60tan451+J3

思路三在顶角为30。的等腰三角形中，作腰上的高也可以…

思路四…

请解决下列问题(上述思路仅供参考).

(1)类比：求出S”75。的值;

(2)应用：如图2,某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点4,测得A,C两点间距

离为60米，从4测得电视塔的视角(NC4O)为45。，求这座电视塔的高度；

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⑶拓展：如图3,直线y=与双曲线>=一交于A,8两点，与y轴交于点C,将直线A8绕点C旋转

45。后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由.

11.如图1,抛物线>=挛x+2®与x轴相交于4,B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C,

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点。是抛物线的顶点，连接AQ、BD.

(1)求△45。的面积；

(2)如图2,连接AC、8C,若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过P作交AC于点E,作PQ〃y

轴交AC于点。，当VPQE周长最大时，将VPQE沿着直线AC平移，记移动中的VPQE为,连接

CP',求VPQE的周长的最大值及CP'+尸£+；的最小值；

(3)如图3,点G为x轴正半轴上一点，且OG=OC,连接CG,过G作AC于点”，将CGH绕息O

顺时针旋转a(0°<a<180°),记旋转中的二CG"为△C'G'"',在旋转过程中，直线C'G',G'H'分别与直

线AC交于点N,2XG仙W能否成为等腰三角形？若能直接写出所有满足条件的a的值；若不能，请说

12.如图①，/QPN的顶点P在正方形A8C。两条对角线的交点处，NQPN=a,将NQPN绕点P旋转，旋

转过程中NQPN的两边分别与正方形ABC。的边AO和C。交于点E和点产(点尸与点C,。不重合).

(1)如图①，当a=90。时，DE,DF,A。之间满足的数量关系是；

(2)如图②，将图①中的正方形ABCZ)改为/AOC=120。的菱形，其他条件不变，当a=60。时，(1)中的结

论变为。/+。尸=界£>,请给出证明；

(3)在(2)的条件下，若旋转过程中NQPN的边尸Q与射线A。交于点E,其他条件不变，探究在整个运

动变化过程中，DE,DF,AO之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.

13.在四边形ABCD中,对角线AC、8O交于点0,若四边形ABCD是正方形，如图1：则有AC=BD,AC±BD.

旋转图1中的R/ACOD到图2所示的位置，AC'与8ZT有什么关系？(直接写出)；

若四边形ABC。是菱形，NABC=60。,旋转RaCOO至图3所示的位置，AC与又有什么关系？写出结

论并证明.

14.菱形43co的对角线AC,3。交于点0.

(1)如图1，过菱形ABCD的顶点A作8c于点E,交0B于点H,若AB=AC=6,求的长；

(2)如图2,过菱形ABC。的顶点4作""，相>,且AF=A。，线段A尸交。8于点”，交BC于点E.当。,

C,尸三点在同一直线上时，求证：OH+OA=^BH；

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(3)如图3,菱形ABC。中，/A3C=45°,点尸为直线上的动点，连接3P,将线段8尸绕点B逆时针旋

转60。得到线段B。，连接4Q,当线段A。的长度最小时，直接写出/8AQ的度数.

15.在平面直角坐标系中，4A08为直角三角形，点。(0,0),点4(0,3),点B在x轴的正半轴上，/OAB=30。,

点P为AB的中点.

图1图2

(1)如图①，求点P的坐标；

(2)以点。为中心，顺时针旋转/AOP,得到Z4OP/,记旋转角为a(0°<«<180°),点A,P的对应点分

别为A/,Pi.

①如图②，线段04交线段AB于点M,线段。P/交线段AB于点M当ZOMN为等腰三角形时，求点4

的坐标；

②直线。4交直线A3于点M,直线OB交线段A8于点N,当ZOMN为等腰三角形时，求a的度数(直接

写出结果即可).

16.先阅读命题及证明思路，再解答下列问题.

命题：如图1,在正方形ABC。中，已知：ZEAF=45°,角的两边AE、AF分别与BC、CZ)相交于点E、F,

连接所.求证：EF=BE+DF.

证明思路：

如图2,将AABE绕点A逆时针旋转90。至AAOE.•；AB=A。，NBA£>=90。，与AC重合.♦.•/AOC

=NB=90。，.•.NF£F=180。，点F、D、F是一条直线.

根据SAS,得证AAEF丝△AFE,得EF=E'F=E'D+DF=BE+DF.

图4图5

(1)特例应用

如图1,命题中，如果BE=2,DF=3,求正方形ABC。的边长.

(2)类比变式

如图3,在正方形ABC。中，已知/E4F=45。，角的两边AE、AF分别与8C、8的延长线相交于点E、F,

连接EF写出EEBE、OF之间的关系式，并证明你的结论.

(3)拓展深入

如图4,在。。中，AB、A£＞是。。的弦，且AB=AO,M、N是。。上的两点，NMAN=gNBAD.

①如图5,连接MV、MD,求证：MH=BM+DH,DMA.AN；

②若点C在AOM(点C不与点A、D、N、M重合)上，连接CB、CD分别交线段AM、AN或其延长线于

点E、F,直接写出E尸、BE、。尸之间的等式关系.

参考答案：

1.(1)15°

Q)7CBFWCAD,相似比为(2-垃):2；VEFC.sVEAO,相似比为(祈+&-2):2

⑶ZDBC+ZCAC+NBDC的值为定值105°

2.⑴EF=BE+DF,

(2)DE2=BD2+EC2

3.(1)a=-g,b=2；(2)22；(3)点/不在抛物线上.

4.(1)①60°；②4；③150°；(2)当OA、OB、OC满足042+2。中=。。时，ZODC=90°,

5.(