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数列中的裂项放缩训练题一、先求和后放缩1.已知等比数列的公比,且,是,的等差中项,数列的通项公式.(I)求数列的通项公式;(II)证明:2.设数列的前项和(I)求首项与通项公式;(II)设,求证:.3.已知正项数列{an}的n项和为Sn,且an2+2an=4Sn﹣1(n∈N*).(I)求数列{an}的通项公式;(II)若bn,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的取值范围.二、先放缩后求和4.已知是数列的前项和,,且,其中.(I)求数列的通项公式;(II)若数列满足,是数列的前项和,求证:.5.记数列的前项和为,且满足,,(I)求的通项公式;(II)求证:对一切,均有.6.已知正项数列的首项,其前项和为,且.数列满足:an+1(b1+b2.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记,证明:.三、不求通项放缩7.设公差不为零的等差数列,若是与的等比中项,,(I)求;(II)若数列满足,,求证:.【参考解析】一、先求和后放缩1.已知等比数列的公比,且,是,的等差中项,数列的通项公式.(I)求数列的通项公式;(II)证明:【解析】(Ⅰ)由是,的等差中项得,所以,解得,由,得,解得或,因为,所以,所以;(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得,,∴,2.设数列的前项和(I)求首项与通项公式;(II)设,求证:.【解析】(Ⅰ)由①得,所以.再由①有②将①和②相减得整理得,因而数列是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即,因而,(Ⅱ)将代入①得所以,3.已知正项数列{an}的n项和为Sn,且an2+2an=4Sn﹣1(n∈N*).(I)求数列{an}的通项公式;(II)若bn,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的取值范围.【解析】(I)由题意,当n=1时,a12+2a1=4S1﹣1=4a1﹣1,整理,得a12﹣2a1+1=0,解得a1=1.当n≥2时,由an2+2an=4Sn﹣1,可得,两式相减,可得,即an2﹣an﹣12=2an+2an﹣1,∴(an+an﹣1)(an﹣an﹣1)=2(an+an﹣1),∵an+an﹣1>0,∴an﹣an﹣1=2,∴数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,n∈N*.(II)由(1)知,Sn=n2=n2,则bn[],∴Tn=b1+b2+…+bn(1)()[][1][1],又∵an>0,n∈N*,∴bn>0,∴Tn≥T1=b1(1),∴Tn.∴Tn的取值范围为[,).二、先放缩后求和4.已知是数列的前项和,,且,其中.(I)求数列的通项公式;(II)若数列满足,是数列的前项和,求证:.【解析】(I)(*),又由,求得,满足(*)式,所以故时首项为2,公差为2的等差数列,所以.(II),当时,;当时,.综上,5.记数列的前项和为,且满足,,(I)求的通项公式;(II)求证:对一切,均有.【解析】(I)由,所以,又满足此式,所以,根据,得,所以.(II)所以当时,,当时,,显然成立,所以.6.已知正项数列的首项,其前项和为,且.数列满足:an+1(b1+b2.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记,证明:.【解析】由得,两式相减得,又由,得,进一步得.(Ⅱ)由,得,则,那么,故,同理,,故.三、不求通项放缩7.设公差不为零的等差数
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