复变函数课件第三章

第3章复变函数的积分§3.1复变函数积分的概念和性质§3.2柯西积分定理及其应用§3.3柯西积分公式和解析函数的高阶导数§3.4解析函数与调和函数的关系复习、引入1.回忆定积分.设一元函数y=f(x)在[a,b]可积.则如图0xyabxixi+1

iy=f(x)f(i)其中

i[xi,xi+1],xi=xi+1

xi,表小区间[xi,xi+1]的长,f(i)xi表示小矩形的面积.2.二重积分的概念求曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、求和、取极限。求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．第一型曲线积分

设有光滑曲线

,,.

f(x,y)是定义在

L上的连续函数.则:第二型曲线积分设L为光滑或按段光滑曲线:

函数P(x,y)和Q(x,y)在L上连续,则沿L的自然方向有:3.1复变函数积分的概念和性质

一、定义

设在复平面C上有一条连接Z0及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。

把曲线C用分点分成n个更小的弧，在这里分点在曲线C上,按从到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一点，那么下列和式的极限(对任意分法和的取法都存在且相同),记与实函数中第二型线积分类比C的参数方程线积分dz«复积分一个复积分的实质是两个实二型线积分二、积分存在的条件及其计算方法1)f(z)为连续函数,且C是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。3)化为参变量的定积分来计算。2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。例1计算其中为以为圆心，为半径的正向圆周,为整数.三、积分的性质例2计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段所连结成的折线。

解:例3计算的值，其中为沿

从（0，0）到（1，1）的线段：解:例4计算其中为从原点到点的直线段。解直线的方程可写成

练习:对例4中的积分沿下列路径计算

(1)当C为从原点到(3,0),再从(3,0)到点(3,4)的折线;(2)当C为从原点到(0,3),再从(0,3)到点(3,4)的折线时,积分的结果又为何值呢?

观察例3、例4两个线积分的结果，分析两种被积函数的特征，你会得出怎样的结论？小结与思考本节我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.思考题思考题答案即为一元实函数的定积分.观察上节例4,此时积分与路线无关.观察上节例1,3.2柯西积分定理及其应用观察上节例2,3由于不满足柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.回顾一、柯西积分定理 1、定理3.3.1关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域B的边界,(2)如果曲线C是区域B的边界,定理仍成立.常用结论2、典型例题例1解根据柯西积分定理,有例2证由柯西积分定理,由柯西积分定理,由上节例1可知,例3解根据柯西积分定理得运用柯西积分定理应注意什么(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用.定理一由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)1.两个主要定理:由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)二、解析函数的原函数与等价定理定理二证明见P452.原函数的定义:原函数之间的关系:证那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:[证毕]3.不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)证根据柯西-古萨基本定理,[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.解:

例4计算

例5计算

解：例6计算

解：三、复合闭路定理—柯西定理在多连域的推广所围成的多连通区域，

(互不包含且互不相交)，定理四：四、闭路变形原理—复合闭路定理的特例证明：取这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。------闭路变形原理例7试求的值，C为包含0和1在内的任何一条正向简单闭曲线。解：闭路变形原理§3.3柯西积分公式和解析函数的高阶导数若

f(z)在D内解析，则分析：一、柯西积分公式(3.3.1)

上述公式称为柯西积分公式.通过该公式可以把一个函数在C内部任何一点的值,用它在边界上的值表示出来。关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.例8计算(沿圆周正向)

解由公式(3.3.1)得例9

解：二、解析函数的高阶导数问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?定理证根据导数的定义,从柯西积分公式得再利用以上方法求极限至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推,利用数学归纳法可证[证毕]高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.例10求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=r>1.

高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于利用求导计算积分.§3.4解析函数与调和函数的关系定义1若(称此为调和方程或Laplace方程)

定理1：证明：同样可得且u,v有任意阶连续偏导数注：逆定理显然不成立，即

对区域D内的任意两个调和函数不一定是解析函数.例如：定义2定理2：在区域D内解析

解析函数的虚部必为实部的共轭调和数已知共轭调和函数中的一个，可利用C-R方程求得另一个，从而构成一个解析函数。例1已知调和函数求一解析函数解：（法一）由C-R方程于是（法二）(0,0)(x,y)(x,0)（法三）例2证明：函数都是调和函数但不是解析函数。证由于所以故是全平面上的调和函数，除原点外在全平面上调和。但,不满足C-R条件，所以不是解析函数。例3证明：若为调和函数且不等于常数，则不是调和函数。证因为为调和函数，所以又同理例4求形如的最一般的调和函数。并求其共轭调和函数及其对应的解析