2023年全国高中数学联赛重庆预赛(含答案)

2023年全国高中数学联赛重庆预赛试题

一、填空题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)

1.设集合｛：+yI141Wy45｝中的最大元素与最小元素分别为M,N,则MN=

2.设/(x)是二次函数，且2r2-4i+3</(*)<3--6工+4./(3)=11.则/(5)=

3.若实数上,g满足4/_2灯+2/=1.则3H2+切+/的最大值与最小值的和为

4.•只蚂蚁在正方体ABCD-EFGH的顶点A处，每次等概率地爬行到相邻二个顶点中的•

个.那么六次爬行之后回到顶点A处的概率为.

5.设0.3,二丘肢，且满足曲88月+|cosa・sin向=sina•|cosa|+|曲1。|・cos3,则(tan)—

sina)2+(cot7-cos。产的最小值为.

6.双曲线的左、右焦点分别为AR尸是双曲线上一点，若△2相的内切豳心

为/(3.1),则4PAB外接圆的半径为.

7.已知第数2满足㈤=1,则*3+z,2-5z+3］的最大值为

8.棱长为V2的正四面体ABCD中，已知AP=^AB,而=部,AR=.若点K为

△BCD的重心，则四面体KPQR的体积为.

1

二、解答题（本题满分56分）

9.（本题满分16分）设z,y,z20、且：r+u+z=2,证明:3t+蚓+16印z412,并指出其中

"="成立的条件.

10.（本题满分20分）已知A为正实数，数列｛%,｝满足：a,=2an+l=n=

o4a*—2%+1

m

1,2,3,若对任意的w€N-,都有£a*V*求:的坡小值.

工2”29

11.（本题满分20分）已知椭圆C：/+,=1（。>b>1）的离心率为g.以其左顶点K为

圆心.几为半径作圆K.圆K交椭圆］A.B两点.且线段AH中点的横坐标为一，

（1）求椭圆C的方程；

9

（2）圆K交直线上=-］于CO两点，点P在线段CD上.过点P作椭圆的两条不同切线

PE,PF（E,F为切急.求4PEF面积的取值范困.

2

2023年重庆市高中联赛预赛试题参考答案

考试时间：80分钟

填空圈(本题满分64分，鼻小JS8分)

I.【答案】2M

【解析】由14xS)，45.9+/42+5=10.*=1,尸=5时取得最大值”=10.乂』+|，2,+'220.

X1XX

*=),=石时取得最小值N=2〃,则A/N=20>/5.

2.【答案】41

【解析】2(x-lf+lS/(x)43(x-iy+l.设/(x)=a(x-lf+IJ(3)=1l=a=；,WI./'(5)=4I.

3.【答案】3

【解析】齐次化,设3乂2+封+1/=“4./-4；9，+2/).期

(4«-3*-(44+1)中+(21)炉=0

当*=3时.-4.n-+—y2=0.x=1.y=0是力I解.

422

力A★°时,A=(4A+|)y-4(4A-3X2Jl-l)/20.

若歹=0.则=舍；

44

得-16犬+4网-1120=>!$43以，

且均能取等.

44

从而3『+孙+/的最大值与最小值和为3.

4.【答案】—

243

[MtfrJ如图将顶点分成四类{/},{BQ.£},{G//•用佝

第•次后在四个集合微率分别为：(0,1,0.0)

第：次后在四个集合概率分别为：(；,0$0)BG

.

72

第：次后在四个集合概率分别为：(o,3,o,‘)

7,0

第四次后在四个集公概率分别为：(不.0,二.0)

2727

第五次后在四个第合概率分别为：(0,9,0,彳)/R

O1O1

第六次后在四个集合概率分别为：(£,0.典.0)

243243

则第六次问到4的概率为包.

5.【答案】3-2&

【解析】已知等式变形为(§ina-|sin夕"cos夕-|cosa|)=0.令x=sinaj=cosA.则

卜一Ji二了)(y-Ji7m)=0.从而x=J|_y?或y=Jl-/.其图望是单位K1在-、二、四软限

(包括坐标轴)的制分.乂(tany.coty)为双曲线町，=1上的点.由儿何意义知道所求值为距离矮小值的

平方(&-1『=3-2&.

6.【答案】

【解析】由双曲线性质如。=3,设右顶点为C.则4-P8=2R(sin8-sin/)=6.

_5rIArI“—a..16._4八、、5c65

Ztan—=—=-.tan-=----=-.从而竹sin/=—,sinn=—,代入得/?=一.

2BC22AC865512

7」挎案】萼

【解析】==x+j，i(x,ywH),x:^y:=1.从而行

i/=|z5+z:-5z+3|=|(z-lX-2+2z-3)|=|(z-l):(z+3)|

=|z-l|-|z-l|-|z+3|=“*一]/+j・?・'(x-lf+y2•J(*+3'

=42-2*■>/2-2x-710+6.V=|j3-3x-13-3.r-V10+6x

J2-3x+3-3x+IO+可=&.当且仅nx=」时取等.

33)219

s.(n«i—.

36

【解析】如图由JK为盛心，则％+匕M+公

根据.4P=；48./Q=gXC./A=[AD得

v_l_11

1a/X*一5r,84®_5°§.*

2..2II3..3II..

=§—CPU=QW匕as**=Z卜/*XM=*5.31

将四面体放入边长为1的正方体中知匕“0=；

=5；旧+//)

2

二,解答题(本题满分56分)

9.(本小题满分16分)

【解析】证明:

由二元均值不等式

3x+8.0+16.nr=3x+8xv(l+2z)

=3x+4x(2.v)(1+2:)43x+4x[2>'+1+2]=3J+4/l±2(2-jr)'|=4x，_20x'+28x

'‘八’I2JV2J

只褥证4x’-20x2+28x412……8分

这等价于4(3-x)(x-l)'2O……12分

取等为x=l,2y=l+2z.解褥x=l,y=2,z=L.……16分

44

10.(本小题满分20分)

【解析】A=l

I4fl,2-2a.+l1,II

H无，a,*0.则---=----r®—n=2---+-rS分

2a”a“|a,2a/

^—=b,,则3-2=-"+，.

a.2

接下来证明引理：>M.

由『泊=J>=3,根据"“一2=&(4-2)知">2H.单调增.

42

一2>^(力”-2)=h,>(：)"'(4-2)+2.引理得证.

10分

再根据““-2="“+与有广二=瓷厂

22.1一2bM—2bli

15分

对""J杏，喈占-仕）=出-1=»占

井II若4vl,令m充分大，，引理不用.20分

3

IL（本小题满分20分）

l9,5,

c23V5-cY

【理析】（I）设e=±=W,«iJa=-c,/>=—c,联汇44消去y得:

“322，3Y,

卜+：cj+/=6

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