2023年上海市普陀区曹杨高考数学三模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数二满足（1—，）z=-l+2i,则|为=（）

3「1

旦B.-VioD.-

V222

x-y+\<0,

2.已知所为圆（x—iy+（y+l）2=l的一条直径，点M（x,y）的坐标满足不等式组，2x+y+3N0,则砥.赤的

”1.

取值范围为（）

*13

A.B.[4,13]

D.1U2

C.[4,12]

3.过抛物线C的焦点且与C的对称轴垂直的直线/与C交于A，8两点，IAB1=4,尸为C的准线上的一点，则八45P

的面积为（）

A.1B.2C.4D.8

4.已知复数2=±,则忖=（）

A.1+zB.1-zC.V2D.2

5.已知是两条不同的直线，机1.平面a,贝是"/的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

OO4

6.设a=logom004,b=log030.2,c=o,3»则b、c的大小关系为（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

7.已知正四面体A8CD的棱长为1,0是该正四面体外接球球心，且豆=+x,y,zeR,则

x+y+z=()

3]_

A.

43

]_

C.

24

4

8.“tan8=2”是“tan26=--”的（)

3

A.充分不必要条件B.必要不充分条件充要条件D.既不充分又不必要条件

31*

—X4~X,X<1

9.已知函数/(x)=,a]nx,,若曲线y=/(x)上始终存在两点A,B,使得。4_LO3,且A3的中点在>

------------,x>1

x(x+l)

轴上，则正实数。的取值范围为（）

1

A.(0,+oo)0,-一,+8D.[e,+oo)

ee

10.数列｛4｝满足：a+a=a,)

n+2nn+i%=1,出=2,Sn为其前n项和，则S2019=（

C.3D.4

11.已知数列满足：包%…％-厂/，"26"N|若正整数使得可+丐+…+延=。户成立，则

C.18D.19

12.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范

围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20）,20,22.5）,22.5,25）,25,27.5）,27.5,30）.根据直方图，这200名学

生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知复数z=l+2i,其中i为虚数单位，则/的模为•

/x-y<0

14.已知变量.x,j满足约束条件X+2VS3,贝！JZ=X-2）的最小值为_________

[4x-y>r6

15.某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为.

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

16.命题“大<0,V-2x-l>（）”的否定是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）本小题满分14分）

已知曲线。的极坐标方程为/7=4sin6,以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线/的

1

参数方程为c为参数），求直线/被曲线。截得的线段的长度

上

rt+\

18.（12分）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机

支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，

从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下

（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.

男性女性

035

7408

885535

20605男性女性合计

870手机支付族

38558

095非手机支付族

850001000

98220115合计

50001208

55420130

6610145

54320156

5016

(1)根据上述样本数据，将2x2列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？

(2)用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为求随

机变量J的期望和方差；

(3)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：

手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为工，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次

2

打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优

惠方案更划算？

附:

2

p(K>k0)0.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

n(ad-be)?

(a4-b)(c+d)(〃+c)(h+d)

19.(12分)选修4・5：不等式选讲

已知函数f(x)=logz(|x+l|+|x-2|-m).

(1)当m=7时，求函数f(x)的定义域；

(2)若关于x的不等式f(x)>2的解集是R,求m的取值范围.

20.(12分)在三棱锥S-ABC中，A4BC是边长为2G的正三角形，平面SAC,平面ABC,S4=SC=2,M、

A

(1)证明：AC±SB;

(2)求三棱锥8-OWN的体积.

21.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点。，其短半轴长为1,一个焦点坐标为(1,0),点A在椭圆C上，点8在

直线y=夜上，且。4J_O6.

（1）证明：直线AB与圆/+;/=1相切;

（2）设AB与椭圆C的另一个交点为O,当AAQB的面积最小时，求8的长.

22.（10分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242

倍多，综合国力大幅提升.

国内生产总值-GDP（万亿）

将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替，并表示为1；y表示全国GOP总量，表中

一15

Zj=Iny（z=1,2,3,4,5）,z=

3i=\

"TUT

tyz力”）（一）

i=\i=l/=1

326.4741.90310209.7614.05

（1）根据数据及统计图表，判断9与$=ce力（其中e=2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国

GO尸总量V关于/的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出V关于/的回归方程.

（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.

线性回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

.t（西-可回-方

b=-..--------------,a=y-bx.

£（七•一元）2

i=l

参考数据:

n45678

e"的近似值5514840310972981

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解.

【详解】

/、-l+2z(-l+2z)(l+z)31

解：由(l_j)z=T+2i,得2=------=1

v71-z(l-z)(l+z)、：_2_+2-i,

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

2.D

【解析】

首先将磁•砺转化为祈2_1，只需求出的取值范围即可，而MT表示可行域内的点与圆心丁(1,-1)距离，数

形结合即可得到答案.

【详解】

作出可行域如图所示

设圆心为则何•赤=(而+定)•(而+取")=

’・‘.»21'>2.2

(MT+TE)(MT-TE)=MT-TE=MT-b

过T作直线x-y+l=O的垂线，垂足为8,显然MBWMTWMA，又易得

所以M4=J[1_(_2)/+(_1_1)2=屈,T8」二竽,

--27

故ME.MF=MT-le[-,12].

故选：D.

【点睛】

本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化

与划归的思想，是一道中档题.

3.C

【解析】

设抛物线的解析式y2=2px(p>0),得焦点为对称轴为x轴，准线为x=-§,这样可设A点坐标为

(5,2),代入抛物线方程可求得，，而P到直线AB的距离为“，从而可求得三角形面积.

【详解】

设抛物线的解析式y2=2px(p>0),

则焦点为尸0),对称轴为x轴，准线为*=-彳，

•••直线/经过抛物线的焦点，A，B是/与C的交点,

又43'x轴，.•.可设A点坐标为[§,21，

代入/=2px,解得〃=2,

又,点尸在准线上，设过点P的AB的垂线与A6交于点。，\DP\=^+--^=p=2,

•••^=|l^|-|ABhlx2x4=4.

故应选C.

【点睛】

本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A点坐标，从而求得参数，的值.本题难度一

般.

4.C

【解析】

根据复数模的性质即可求解.

【详解】

Qz喑，

••瓦黑卷S

故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.

5.A

【解析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.

【详解】

当机J_平面a时，若/〃a"则成立，即充分性成立，

若LLwr,贝!|/〃a或/ua,即必要性不成立，

则“/〃a”是“LL/n”充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题

6.D

【解析】

因为a=logo,o80.04=2log0080.2=log师0.2>log耐1=0,b=log030.2>log031=0,

所以J=log02Va08,1=log020.3且y=log02x在((),+<»)上单调递减，且血而<0,3

所以,〉,，所以b>a,

ab

O(M

又因为a=log向丽0.2〉log耐而=1,C=O.3<0.3°=b所以”>c,

所以方>a>c.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间

值“0,1”比较大小.

7.A

【解析】

3

如图设平面8c。，球心。在A/上，根据正四面体的性质可得AO='AE,根据平面向量的加法的几何意义,

4

重心的性质，结合已知求出x+y+z的值.

【详解】

如图设平面8c。，球心。在AE上，由正四面体的性质可得：三角形BCD是正三角形,

,在直角三角形EO8中,

OB2=OF2+BF2=OA2=-AO）2+邛

3___,_______

AO=Z-AF,AF=AB+BF>AF=AD+DF>AF=AC+CF^因为F为重心，因此尸占+尸3+/方=0,则

4

3AF=AB+AC+AD>因此〃=；（而+/+印方），因此x=y=z=；,则x+y+z=],故选A.

【点睛】

本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.

8.A

【解析】

4

首先利用二倍角正切公式由tan26=求出tan。，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;

【详解】

解：•."2gh2tan)二可解得tan8=2或—,，

l-tai?。32

4

・・・“tan。=2”是“tan20=--"的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题.

9.D

【解析】

根据中点在y轴上，设出两点的坐标A(T/+『)，B(Z,/(/)),C>0).对f分成=三类，利用

Q4_LO3则砺•丽=0,列方程，化简后求得。=工，利用导数求得」一的值域，由此求得。的取值范围.

InfInf

【详解】

根据条件可知A,3两点的横坐标互为相反数,不妨设A(T—+『)，(f>0),若f<l,则/⑺=—/+产，

由。4_L06,所以丽.丽=0,即-/+。3+/2乂_/+尸)=0,方程无解；若(=],显然不满足04,06；若/>1,

“、

a\nt_._.2/32\^lnzt(t\ln/-lt

则/(，)=­;~-，由O4-OB=0，即一厂+(厂+厂)-;^--=0,即。="；—，因为|■；-|=7—P，所以函数■；—

々+1)'Inf(In/)'In/

在(O,e)上递减，在(e,+8)上递增，故在f=e处取得极小值也即是最小值所以函数y=5在(1+s)上的

值域为[e,+00),故ae[e,+8).故选D.

【点睛】

本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最

小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.

10.D

【解析】

用〃+1去换%+2+%=4川中的n,得。，.=4+2，相加即可找到数列用“｝的周期，再利用

S2019=336s6+q+%+%计算.

【详解】

由已知,4+2+a“=%①，所以4+3+an+i=a"+2②，①+②，得4+3=一)，

从而4+6=%,数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以§6=0,

S，oi9=336(。]+a,+,,,+4)+4+4+/=0+1+2+1=4.

故选：D.

【点睛】

本题考查周期数列的应用，在求§239时，先算出一个周期的和即$6,再将$2019表示成336s6+4+%+%即可，本题

是一道中档题.

11.B

【解析】

由题意可得勺=%=%=*"5=2,%==2一]=〃，“R6时，ala2-an-l11%,将啜为"I，两

a=aa+1

式相除，n»+rn,心6,

**/嬴+$+…+《=%厂％+2即有£+$+…+4=2。+%厂。6+2=%J+I6,结合条件，

累加法求得67*K1O即日

即可得到所求值.

【详解】

..m，心6g二

/TT•

5

即勺=。2=%=%=%=2,a6=aia^}...a5-l=2-1=31t

时，勺。2…

ala2-an=1+%+」,

两式相除可得/十""，

贝产：=%+厂%+1,后6,

由小叫"/,

a=aa+1

'78-7,

…,

a=aa+1

kk+rk,k>5,

可得3+a；+…+W=%+/-%+»5

222

a；+q；+...+a]=20+a.+/・06+人-5=+,+k・16

且。产2…%=/+%+/,

222

正整数%他>5）时,要使得可+与+…+ak="尸2…4成立，

则*j+k-/6=*/+/,

则上=忆

故选：B.

【点睛】

本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数

列相关的方程，本题属于难题.

12.C

【解析】

试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为（Q16+0.08+0.04）X2.5=0.7,故自习时间不少于22.5小时

的频率为0.7x200=140,故选C.

考点：频率分布直方图及其应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.5

【解析】

利用复数模的计算公式求解即可.

【详解】

解：由z=l+2i,得z?=（1+21）2=-3+43

所以团=J（_3）+42=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查复数模的求法，属于基础题.

14.-5

【解析】

画出x,）满足的可行域，当目标函数z=x-2）经过点.4时，z最小，求解即可。

【详解】

画出x,）满足的可行域，由&:_?二，解得H-L2）,当目标函数z=x-2j经过点1,2）时，Z取得最小值为-5.

本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。需要注意的是：一，

准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免

出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。

【解析】

利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积.

【详解】

此四棱锥的高为0,底面是长为0,宽为2的矩形，

所以体积^=!*2*0*0=△.

33

4

所以本题答案为孑.

【点睛】

本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确

理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.

16.Vx<0,X2-2X-1<0

【解析】

根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.

【详解】

解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题3x<0,x2-2x-1>0,

则该命题的否定是：Vx<0,%2-2X-1<0

故答案为：Vx<0,X2-2X-1<0.

【点睛】

本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.2^22-(1)2=V15

【解析】解：解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为/+〉2-4了=0,

即d+(y—2)2=4,它表示以(0,2)为圆心，2为半径圆，..................4分

直线方程/的普通方程为y=&+1........8分

圆C的圆心到直线/的距离4=,，....................10分

2

故直线/被曲线C截得的线段长度为2,22-g)2=715..........14分

918

18.(1)列联表见解析，99%；(2)—；(3)第二种优惠方案更划算.

525

【解析】

(1)根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论；

(2)有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为尸=£,知自服从二项分布，即4~仇3；),可求得其期望和方差；

(3)若选方案一，则需付款1200-100=11(X)元，若选方案二，设实际付款X元,，则X的取值为1200,1080,1020,

求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案.

【详解】

(1)由已知得出联列表：

男性女性合计

手机支付族10122260x(10x8-12x30)2

,所以K2=«7.033>6.635

非手机支付族3083822x38x40x20

合计402060

有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关;

1233

(2)有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为P=y==，.•4〜8(3,=),

2055

E(4)=3x|⑶=3x|x18

25

(3)若选方案一，则需付款1200-100=1100元

若选方案二，设实际付款X元,，则X的取值为1200,1080,1020,

/P(X=1020)=C；]

.•.P(X=1200)=C；P(X=1080)

4

；.E(X)=1200xi+1080x-+1020x-=1095

424

vll(X)>1095,.•.选择第二种优惠方案更划算

【点睛】

本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题.

19.(1)(-oo,-3)U(4,+oo),(2)(-oo,-l]

【解析】

试题分析：用零点分区间讨论法解含绝对值的不等式，根据绝对值三角不等式得出

|x+l|+|x—2|>|(x+1)—(X—2)|=3,不等式|x+l|+|x-2Rm+4解集是R,只需m+4s3,得出机的范围.

试题解析：

(1)由题设知：|x+l|+|x-2|>7,

不等式的解集是以下不等式组解集的并集：fV或(-1<xc<2或(x<l《

[x+l+x-2>7lx+1+2-x>71-x-1-x+2>7

解得函数f(x)的定义域为(-8,-3)U(4,+00).

(2)不等式f(x)>2BP|x+l|+|x-2|>m+4,

•.•xGR时，fg<|x+l|+|x-2|>|(x+1)-(x-2)|=3,

不等式|x+l|+|x-2|>m+4解集是R,

.,.m+4<3,m的取值范围是（-8,-1].

20.(1)证明见解析；(2)

4

【解析】

(1)取AC中点O,连接S£),DB，证明AC,平面SD8,由线面垂直的性质可得AC_LS3；

(2)由VgwMN=^-CMB，即可求得三棱锥B-CMN的体积.

【详解】

解：(1)证明：取AC中点。，连接SO,DB.

因为S4=SC,AB=BC,所以4CJ_S。且AC_LBD,

因为sr>n8r)=。，sou平面s/用，BOU平面szw,所以ACL平面s/小.

又SBu平面SDB,所以AC_LS3；

(2)解：因为AC,平面S/)8,ACu平面ABC,所以平面SOCL平面ABC,

过N作NELBD于E,则NE_L平面ABC,

因为平面S4C,平面ABC,SDLAC,平面SAC口平面ABC=AC,SOu平面SAC,所以S£>_L平面ABC,

又因为NE_L平面ABC,所以NE//SD,

由于SN=NB,所以NE=SD

所以S.CMB=CM-BM=当,

gepiv°KJr_13百16

所以VB-CMN=V—CMB=S»CMB。NE=§X——X-=—.

【点睛】

本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，属于中档题.

21.(1)见解析；(2)叵,

3

【解析】

(1)分斜率为0,斜率不存在，斜率不为。三种情况讨论，设Q4的方程为丫=日，可求解得到10412=苦奈，

|。8『=2+2左2,可得。到AB的距离为1,即得证;

12+2公

(2)表示“103的面积为5=彳|。41|03|=/,利用均值不等式，即得解.

2241+2r

【详解】

(1)由题意，椭圆C的焦点在x轴上，且h=c=l,所以.=夜.

所以椭圆C的方程为，+9