八年级数学下册提升 期末复习（含解析）

八年级数学下册提升

期末复习(含解析)

专题23强化提高(1)

知识要点

1.几何的综合题在分析与解题的过程中要能够剥离出基本图形，比如“平分线，平行线，

等腰三角形”“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”“手拉手”“一线三等角”等，如

图.

倍长中线法

截长补短法

对称补缺法

构造全等的

方法依然很

重要

RtAXBC,双中点，单中点补中点

M是斜边AB的中点,①缺中位线补中位线

连接CM②缺第三边补第三边

2.辅助线的添加是解决几何综合题的关键，基本策略仍是构造全等，辅以中点的使用.

3.坐标系内的点坐标若是横、纵坐标出现了参数，则一般情况下应想方设法将纵坐标表示

成关于横坐标的函数，并注意换元法的使用.

典例精析

例1如图①，在AACB和△AEO中，AC=BC,AE=DE,NACB=/AE£>=90。，点E在

A8上，尸是线段8D的中点，连接CE,FE.

(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系；

(2)如图①中的△AEQ绕点A顺时针旋转，使的一边AE恰好与AACB的边AC在同

一条直线上，如图②.连接B。，取BD的中点凡问(1)中的结论是否仍然成立？并说明理

由.

(3)将图①中的△△即绕点A顺时针旋转任意的角度，如图③，连接BO,取8。的中点H

问(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由

【分析】在解(1)(2)时，由于图形结构比较特殊，所以图①可以通过直角三角形斜边上的中

线性质解决，图②则可以通过补全全等来转化，而第(3)题在图形一般化时可以考虑添加中

位线或者通过补全“手拉手”基本图来实现线段的转化.

【解】(1)如图①，连接CF，NBED=NACB=90°

•.,点尸是8。的中点，：.CF=EF=FB=FD.

,：NDFE=ZABD+NBEF,NABD=NBEF,

ZDFE=2ZABD.同理/CFO=2NC8O.

ZDFE+NCTO=2(NAB£>+ZCBD)=90°,

即NCFE=90°

Cfi2=#+E产.CE=V2EF.

①②③

(2)如图②，连接CF,延长EF交CB于点G.

VZACB=ZAED=90°,J.DE//BC.

：.ZEDF=NGBF.

,:NEFD=NGFB,又DF=BF,:.△EDFgAGBF.

:.EF=GF,BG=DE=AE.

"：AC=BC,：.CE=CG.

.•./EFC=90°,CF=EF.

ACE尸为等腰直角三角形.

AZC£F=45°,CE=42EF

(3)法一：如图③，取A£>的中点M,连接EM,MF,取A3的中点N,连接FN,CN,

CF,MF与CN相交于点K.

'：DF=BF,J.FM//AB,且FA7=」AB.

2

：.AE=DE,NAE£>=90°,

：.AM=EM,NAME=90°,

：.CA=CB,/ACB=90°,：.CN=AN^-AB,/ANC=90

2

:.MF"AN,FM=CN=AN.

：.四边形MFNA为平行四边形.

：.FN=AM=EM,NAMF=NFNA

：.ZEMF=NFNC.：.AEMF9丛FNC

：.FE=CF,ZEFM=ZFCN.

又M尸〃AMZANC=90°,

：.NCKF=90°

:.NFCN+NKFC=90°,

/.ZEFM+ZKFC=90°,

Z£FC=90°.

...△CEF为等腰直角三角形.

：.ZCEF=45Q.：.CE=y/2FE

法二：如图④，补全“手拉手”图形.连接CF,延长EF到点G,使FG=EF,连接BG,

CG.延长AE分别交BC,BG于点K,H,易证△£)£：/也△BGF,：.BG=AE,DE//BG.：.

NDEH=NEHB=90°,从而NHBK=NCAK.又4c=8C,AAACE^/XBCG.

：.CE=CG,NECG=90°.：.CE=yjlFE

【点评】几何综合题的辅助线添加是建立在对基本图形进行生成或者还原的基础上再加以解

决的.

拓展与变式1已知正方形ABC。和正方形CGEF,且。点在C尸边上，M为AE的中点，连

接MD,ME.

(1)如图①，请直接给出线段用。，例尸的数量及位置关系：.

(2)如图②，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，贝1](1)中的结论是否成立？若成立，请证明；

若不成立，请给出你的结论并证明.

【答案】1)MD=MF,MDA.MF.

(2)解:尸，尸仍成立，

证明:如图，延长OM到N,使。.连接尸。，FN,EN,延长EN与OC相交于点

是中点，：.MA=ME,ZAMD=ZEMN,MD=MN.

：./\AMD^AEMN

NZMM=NNEM,AD=NE.

又V在正方形ABCD和CGEF中,

CF=EF,AD=DC,ZADC=90°,

NCFE=NADC=NFEG=NFCG=90°,

:.DC=NE

VZDAM=NNEM,：.AD//EH.

；.NEHD=NADC=90°

VNCKH=NEKF,：.NKCH=NKEF.

又DC=NE,:ADCFqANEF.

：.FD=FN,NDFC=NNFE.

VZCFE=90°,

:.ZDFN=90.

：.FMLMD,MF=MD.

拓展与变式2已知：△ABC中，以AC,BC为边分别向外作等边△AC。和BCE,M为CD

中点，N为CE中点,P为A8中点.

(1)如图①，当NAC8=120°时，NMPN的度数为.

(2)如图②，当/AC8=a(0°<«<180°)时，/MPN的度数是否变化？给出你的证明.

【答案】⑴60。

(2)取AC,5c的中点分别为K,T,如图，连接MK,KP,PT,TN.

'：MK是等边△AC。的中位线，

MK=-AZ)=1AC,MK//AD,

22

PT是△A5C的中位线，

：.PT=-AC,rr/ZAC.

2

：.MK=PT.

同理:KP=NT.

四边形CKFT是平行四边形，，ZCKP=NCTP.

:.ZMKC+ZCKP=NCTN+NCT尸，

即NMKP=/PTN.

:.AMKP^APTN.:.NKMP=NTPM

,.,PT〃4C,

:.NCAB=NTPB

'：ZMKC+NCKP+ZKMP+ZKPAf=180°,

又NMKC=60°,

：.ZCKP+ZKMP+NKPM=120°,

NCKP=NCAB+ZKPA,

:.ZCAH+ZKPA+ZKMP+ZKPA/=120°

■:NKMP=NTPN,ZCAB=ZTPB,

...NTP5+NKA4+NTPN+NKPM=120°,

：.ZMPN=60°.

【反思】利用中点构造全等，现在我们除了可以考虑补全“手拉手”基本图之外，还可以通

过构造中位线解决问题.

例2如图,在线段AB的同侧作射线AM和BN,若NMAB与NNBA的平分线分别交射线BN,

AM于点E,F,4E和8尸交于点P.点点同学发现当射线AM,8N交于点C,且NACB=

60°时，有以下两个结论：①NAPB=120°；@AF+BE=AB.那么，当AM〃BN时：

(1)点点发现的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请求出/AP8的度数，写

出AF,BE,A8长度之间的等量关系，并给出证明；

(2)设点。为线段AE上一点，QB=5.若AF+BE=16,四边形ABEF的面积为32G,求

AQ的长.

【分析】先画出当AM〃而V时的图形，根据基本图发现问题中的相等线段，再由此判断四

边形A8E尸的形状，利用勾股定理完成计算.

【解】(1)原命题不成立.

如图①，"."AM//BN,：.ZMAB+ZNHA=]80°,

'：AE,BF分别平分/M48,/NBA,

：.ZEAB=-ZMAB,NFBA=L/NBA,

22

AZEAB+ZFBA=-(ZMAB+ZNBA)=90°,

2

AZAPB=90°,

,：AE平分NM4B,

NMAE=NBAE.

'SAM//BN,：.ZMAE=ZBEA.：.ZBAE=ZBEA.：.AB=BE.

同理：AF=AB.：.AF=BE=AB.

(D②③

(2)如图②，过点尸作尸于G.

①当点G在A2上时，'：AF=BE,AF//BE,

：.四边形ABEF是平行四边形.

'：AF=AB,四边形4BEF1是菱形.

'：AF+BE=\6,：.AB=AF=BE=S.

,：8FG=32也,：.FG=4B：.AG^\lAF2-FG2=4.

：.GB=4.：.FB=dGB2+FG?=8.

：.AF=FB=AB.：.ZFAB=60°.

ZPAB=30°.：.PB=4.

：•PQ=ylQB。-B产=3.

：.AQ=APPQ=4^±3.

②当点G在线段BA延长线上时，如图③，ZMB=120°.

,:PB=4+>5,二线段4E上不存在点Q.

综上所述，A。的长为4G±3.

【点评】动态几何问题在计算过程中要注意分类讨论，特别在需要画图时.

拓展与变式3一张矩形纸片ABCD,已知AB=8,AD=1,E为4B上一点，AE=5,现要

剪下一张等腰三角形纸片(△AEP),使点P落在矩形ABCD的某一条边上，则等腰三角形

AEP的底边长是.

【答案】5&或46或5

拓展与变式4在矩形ABCZ)中，AO=5,AB=4,点E,P在直线AO上，且四边形8CFE

为菱形.若线段所的中点为点M,则线段AM的长为.

［答案］0.5或5.5

【反思】分类讨论是平行四边形计算或者证明问题中的重要方法，是解决问题的一种基本思

路.

例3无论“取什么实数，点P(a—1,2“一3)都在直线/上，Q(m,〃)是直线/上的点，则2加

—九+3=.

【分析】点P中的横纵坐标是有关联的，由此可以得到点P的纵坐标关于横坐标的函数解

析式.

【提示】令l=x，贝!J2。-3=2(。—1)—l=2x—1,・••直线/为y=2x—1.*.n=2m—\.

2m一〃+3=4.

【点评】利用整体思想，得到纵坐标关于横坐标的函数解析式是解决问题的基本策略.

拓展与变式5无论机为何值，点P(l+m,1—〃?)都在某个固定图象上，若点Q(a,3也在这

个图象上.则小b满足的关系式是.

【答案】b=2-a

拓展与变式6若无论。取什么实数，点尸(〃一1,2〃-6)都在直线/上，点。(W〃)是直线上

的一个动点，则m2+n2的最小值为.

【答案】-

5

【反思】坐标系内点的横纵坐标的参数若互相关联，则可以判断出点的运动是沿着某种路径

运动的，再运用整体思想判断出运动路径所符合的解析式.

专题突破

1.无论。取什么实数，点A(2a,4a+l)都在直线/上，则直线/的表达式是.

【答案】j=2x4-1

2.若直线y=ax+l与直线2的交点在x轴上，则a：b—.

【答案】」

2

3.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，矩形0ABe中，4(10,0),C(0,4),。为OA的

中点,P为BC边上一点.若△POO为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为.

【答案】(3,4),(8,4),(2.5,4),(2,4)

4.我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰

点(如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点)，则正方形的腰点共有个.

【答案】9

5.某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

(1)操作发现：在等腰△A8C中，AB=AC,分别以A8和AC为斜边，向△ABC的外侧作等

腰直角三角形，如图①所示，其中。尸_L4B于点F,EG_LAC于点G,M是BC的中点，连

接"。和ME,则下列结论中正确的是(填序号).

®AF=AG^-AB；@MD=ME；③整个图形是轴对称图形；@MD1.ME.

2

(2)数学思考：在任意△A8C中，分别以A8和AC为斜边，向△A8C的外侧作等腰直角三角

形，如图②所示，M是8c的中点，连接和ME,则和ME具有怎样的数量关系？

请给出证明过程.

(3)类比探究：在任意△ABC中，仍分别以A8和AC为斜边，向AABC的内侧作等腰直角三

角形，如图③所示，M是8c的中点，连接MD和ME.请判断的形状是(只

需说明辅助线是如何添加的即可).

②③

【答案】1)①②③④提示:连接FM,GM即可.

(2)如图，取A8,AC的中点尸，G,连接。凡MF,EG,MG.

：.AF=-AB,AG=-AC.

22

•.•△A8O和△AEC是等腰直角三角形，

：.DF±AB,DF=1AB,EGLAC,EG=-AC.

22

：.ZAFD=ZAGE=90°,DF=AF,GE=AG.

是BC的中点，：.MF//AC,MG//AB.

:.四边形AFMG是平行四边形

：.AG=MF,MG=AF,ZAFM=ZAGM

：.MF=GE,DF=MG,ZAFM+ZAFD=ZAGM+ZAGE.

:.NDFM=NMGE

:.ADFM^AMGE.：.DM=ME.

(3)如图等腰直角三角形，辅助线作法:分别取48,AC的中点乩G,连接/M,FD,BG,

MG.

6.在菱形A8C。中，ZBAD=}20°.动点P在直线BC上运动，向AP右侧作NAPM=60。,

且直线PM与直线CD相交于点。，点Q到直线BC的距离为QH.

(1)如图所示，若动点P在线段BC上运动，求证：CP=DQ-,

(2)若动点P在线段BC上运动，探求线段AC,CP,Q”的一个数量关系，并证明你的结论;

⑶若动点P在直线BC上运动，菱形ABC。的周长为8,AQ=娓,求Q”的长

【答案】(1)如图，在4c上截取PK=PC,连接AQ,

...△KPC是等边三角形.

.♦.NAKP=120°,NQPC+NK尸。=60°

V四边形ABCD是菱形，

ZBCD=NBAD=120°.：,NAKP=NPCQ.

；N4PK+NKPQ=60°,:.NQPC=NAPK.

；.4APK2AQPC.：.AK=QC,AP=PQ.

...△APQ是等边三角形，

VZP=60°,AD=CD.

.♦.△AOC是等边三角形，：.AD=AC.

：.ZPAC+ZCAQ=ZQAD+ZCAQ=6Q°,

:.ZPAC=ZQAD.：.△APCg/MQO.

：.CP=DQ.

(2)如图所示，NQCH=60°,.,.设C"=x,则CQ=2x.

:NQHC=90°

:.QH=yJCQ2-CH2=s/3x

...C0=竽”.

:.AC=AK+KC=CQ+PC=^QH+CP.

•.•菱形的周长是8,

：.AB=AC=BC=CD=AD=2.

V瓜>2,

，点尸在BC延长线上或者BC反向延长线上.

①当点尸在5c延长线上时，同（2）得享。H=AC+CP.作AT_LBC于点T,

.,.BT=TC=1.

：.AT=dAB2-BT?=G.

:.PT=JAP2-AT?=G.：.CP=PT~TC=V3-1.

A

:.QH==5(AC+CP)=3+x/3

2

②当点尸在3c反向延长线上时，如图所示，同⑵得，CP==^QH+AC,CP=PT+TC

=6+1,

专题24强化提高（2）

知识要点

1.一次函数中最值问题的解题技巧，在于十〃中的％的正负性进行研究，k〉0

时，则y随x

的增大而增大；k<0时，则y随x的增大而减小，所以解决最值问题的关键在于对于自变

量的讨论，即若人>0时，自变量x最小时，函数值），也最小，自变量x最大时，函数值y

也最大；反之同理.

2.解决面积问题与一次函数综合问题的常用方法：在动态几何问题中，（1）将目标图

形割补成规则图形；（2）将目标图形通过全等等手段转化至已知图形的位置；（3）如图24

-1，三角形面积可以用&垂高X水平宽”计算：注意分段函数中的变量情况。

2

3.一次函数与平行四边形的综合要注分类讨论，如图24—2一般来说分类标准是以已

知线段为边或

对角线进行讨论求点的坐标则可以利用平行四边形对边相等且平移，通过点平移规律解决问

题。

仙：粉垂高EF：水平贪A(a.6)-^D,(a+p-m.6+fl-n)

图24-1图24-2

典例精析

例1某市A,8两个蔬菜基地得知四川C,O两个灾民安置点分别急需蔬菜240f和260

的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A蔬菜基地有蔬菜20033蔬菜基地有蔬菜300f,

现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点，从4地运往C,D两处的费用分别为每吨

20元和25元，从B地运往C,。两处的费用分别为每吨15元和18元，设从B地运往C

处的蔬菜为X%

CD息计

A(240-x)t(x-40)t200t

BJCt(300-x)t300t

总计240t260t500t

(1)填写表格，设A,B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的关系式，并求

总运费最小

的调运方案；

(2)经过抢修，从B处到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少〃？

元(0〈小

<15),其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案.

【分析】根据运输的方式将表格补全，注意横行竖列的和都应该等于总和，再计算运费

写出函数解析式，最后根据后值大小判断函数的增减性.

【解】(1)w=20(240-x+25(x-40)+15x+18(300-x)=2x+9200

240-x>0口40-x>0____

o.MOWxEO.

300-x>0

•.Z=2>0,随着x的增大而增大，，当x最小时，w最小，即x=40时，w,„,„=9280

元。

2)由题意知w—(2—〃?.)x+9200.

当0〈根<2时，2一相>0.二(1)中调运方案总运费最小；

当%=2时，在40WxW240的前提下调运方案的总运费不变；

当2Vm〈15时，x=240总运费最小，此时A运往C点Of,A运往。点200f,8运往C点

240bB运往。点60%

【点评】方案设计类问趣要先根据题意列出相应的函数解析式，再由k值对增减性进行

讨论。

拓展与变式1某乡组织20辆汽车装运A,B,C三个品种的苹果42r到外地销售，按

规定每辆车只装同一品种苹果，且必须装满，每一个品种苹果不少于2车。

革果品牌ABC

每辆汽车送载量〃2.22.12

每咤苹果获利/百元685

(1)设x辆车装运A种苹果，用)，辆车装运8种苹果，根据上表提供的信息，求)，关于x

的函数关系

式，并求x的取值范围；

(2)设此次外销活动的利润为w(百元)，求卬与x的函数关系式以及最大利润，并写出相

应的车辆分

配方案

1.解：(1)由题意uj知2.2x+2.ly+2(20—x-y)=42,即y=20—2

种水果装20-厂(20—2x)=x辆车.

x>2,

:.2<x<9.

20—2x22,

(2)由题意可得:w=2,2X6x+2.1X8(20-2%)+5X2x=-10.4x+336.

;女二TO.4<0,，卬随x的增大而减小.，当x最小时，卬最大，即x=2时，w315.2(百

元)

拓展与变式2某校预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价L5

^6,乙商

品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用2元。若甲、

乙商品每个都只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支

付的总金额是1563.5元.

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于20,但小于210,

求x、y的值。

2.解：(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为m元和〃元,则原计划是mx+ny=1500①

由甲单价上涨L5元这种情况，得(m+L5)(x-10)+(〃+1)=1529②

再由甲商品单价上涨1元这种情况，得(血+1)仕-5)+(〃+1)产1563.5③

1.5x+y-10/77=44,

将①分别代入②③可得

R+y-/w=68.5.

消rn可得x+2y=186.；・y=-0.5x+93.

(2)Vx=-2y+186,2x+y=-3y+372.

2

A205<-3y+372<210,54<y<551.

Yy是正整数，y=55,x=76.

【反思】一次函数的方案设计问题常出现最值或者不等式,在解题过程中要注意对k的讨论。

例2如图24—3在矩形488中，点E是线段3c的中点，动点P以2c〃?/s的速度

从点A出发，沿△4ED的边按照A-E-A的顺序运动一周，设点P从A出发经邓（x

17

>0）后，"8尸的面积是y,当点P在线段EZ）上时，y=]x；当点p在线段A£>上时，

y=32—4x。请根据以上信息出这个运动过程中y关于x的函数表达式。

图24-3图24-4

【分析】根据分段函数中拐点的特征，拐点一般情况下是在包含拐点的前段或者后段

的函数上。

【解】；四边形ABC。是矩形，.•.NB=/C=90°,AB=DC,AD=BC。〈E为BC

中点，

：.BE=EC.：./\ABE^^DCE.：.AE^DE.

io

当点P运动至点。时，S&ABP=S4ABD,由题意得一x=32—4x,Ax=5.

5

当点P运动一周回到点A时，S&ABP=O,由题意得32—WO,X=8O

：.AD=2X（8-5）=6,ABC=6,：.BE=3.

22

VAE+ED=2X5=10,AE=59：.AB=yl5-3=4O

17

如图24—4,作BK_LAE于点K,则BK•AE=A8・BE,：.BK=—又AP=2JGJ当点P

5O

17

从A运动至点。时产不工（0<x<5）.

12

关于X的函数表达式为产〈MOO

32-4x（5<x<8）

拓展与变式3如图24—5,在平面直角坐标系xOy中，矩形OA8C的顶点A,C坐标

分别为（3,0）

（0,5）.设点P沿O-A-B-C的方向运到点C（但不与点0、C重合）.当点尸运动到

线段8c上时，

△OPC的面积y与点尸所行路程x之间的函数关系式为_匕』x+巨（8«11）。

2—2

ffl24-5图24-6

【点评】本题创新地将面积问题中的分段函数的拐点作为解决问题的突破口，需要理解

清楚拐点的意义。

拓展与变式4如图24—6,点尸是等边aABC边上的一个作匀速运动的动点，运动的

速度为打点P

从点A开始沿A8边运动到点8再沿BC边运动到点C为止。设运动时间为f,/XACP的面

积为S,若边长

—«vr(O<t<—)

4v

为“，则S关于的函数关系式是—s

昱%巴丝)

42vv

［反思］动态问题中的分投函数问题的讨论要注意自变量的取值情况对图象以及函数解析式

的影响。

例3如图24—7,四边形ABCO为矩形，C点在x轴上，A点在），轴上，/）点坐标是

（0,0）.B点坐标是（3.4）.矩形ABCZ）沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E,

尸分别在AD,A8上，且尸点的坐标是（2,4）。

（1）写出G点坐标；

（2）求出直线EF的解析式；

（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，请直接写出/点坐标；若不存在，请说明理由。

BB24-7

【分析】利用勾股定理求出E、尸点坐标，利用FG为边或者对角线进行分类讨论，求出M

点的坐标。

图24-8

BB24-9

【解】⑴G(3,4—6);

(2)如图24-8所示，由题意得，作EKLBC于点K.设OE=y,则CK=y.

GK=4-G-y.；.EK=AB=3,EG=AE=4-y。'：Gf^+Ek^EG',

：.(4-V3-y)2+32=(4-y)2«：.y=4~2^,设EF的解析式为尸履+4-2君。

VF(2,4),二所的解析式为)=石》+4—26。

(3)提示：①当FG为边时，如图24—9①

•.•尸(2,4)平移到G(3,4—6).则也平移到M纵坐标也相应地减去6。

...点跖的纵坐标是石，.•.后x+4-2出=日：.M\(3-—,石)

3

如图24—9②，可得M(3—43,—G)

3

②当尸G为对角线时，如图24—9③.Mi(1+延，8-V3).

3

【点评】坐标系中的平行四边形问题是一种热门题型，结合平行四边形性质与坐标系内

的点平移的规律是很便捷的解题方法。

拓展与变式5如图24—10,在平面直角坐标系中，zMC。中，ZACO=90°»/\AOB

中.AO=BO

NAOB=90°,作BOLC。于。，点A的坐标为(-3,1),M是AB的中点，连接CM,P

是射线CM上

的一个动点，则在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、0、B、N(N为平面上一点)

为顶点构成

矩形？若存在，则点N的坐标为

拓展与变式6如图24—11,在平面直角坐标系》。），中,矩形48。。的/18边在工轴上，

AB=3,

40=2,经过点C的直线y=x-2与x轴，y轴分别交于点E、F,在直线E尸上和平面直角坐

标系内分别

确定点M,N,使得以0、尸、M、N为顶点的四边形是菱形，则M的坐标

是。

(2,0),(0,>/2-2),(-&,-\/2_2),(_1,1)

【反思】坐标中的平行四边形问题，解决的关键在于正确的分类与应用平规律对点进行

探究。

专题突破

1.公式L=〃+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，及代表弹簧的初

始长度，用厘米（cm）表示；K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘

米（cm）表示下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（A）

A.L=10+0.5PB.L=10+5PC.L=80+0.5PD.L=80+5P

图24-12

2.如图24-12,正方形ABCD的边长为4,P为正方形边上一动点，运动路线是

A-O-C-BfA,设P点经过的路线为x,以点A,P,。为顶点的三角形的面积是y,则

下列图21—13中能大致反映y与x的函数关系的是（B）

图24-13

提示：0WxW4时，P在AO上运动，，此时，ZVIP。面积为0；

3.若直线y=2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9,则k的值为±6。

4.如图24—14①，在矩形ABC。中，动点P从点B出发，沿BC,CD,D4运动至点A停

止，设点P运动的路程为x,AABP的面积为以如果y关于x的函数图象如图24—14②所

示，那么矩形ABC。的面积是20。

：O：

T-49~x

①②

图24・14

5.自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，湖南与欧洲各国经贸往来日益频繁。某欧洲客

商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购4型商品的件数是用7500元，

采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元。

（1）一件A,B型商品的进价分别为多少元？

（2）若该欧洲客商购进A,8型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于8型

商品的件数且不小于80件.已知A型商品的售价为240元/件，8型商品的售价为220元

/件，且全部售出。设购进A型商品，〃件，求该客商销售这批商品的利润v与，"之间