2024高考复习A版数学考点考法讲解：抛物线及其性质

高考

数学平面解析几何抛物线及其性质基础篇考点一抛物线的定义及标准方程1.定义:把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的

点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准

线.2.标准方程:焦点在x轴上:y2=±2px(p>0);焦点在y轴上:x2=±2py(p>0).考点二抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形

范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0准线x=-

x=

y=-

y=

焦点

对称性关于x轴对称关于y轴对称顶点(0,0)离心率e=1焦半径长x0+

-x0+

y0+

-y0+

焦点弦长x0+x1+p-(x0+x1)+py0+y1+p-(y0+y1)+p其中P(x0,y0),Q(x1,y1)是抛物线上两动点,且PQ过焦点F,线段PF称为抛物线

的焦半径,线段PQ称为抛物线的焦点弦.考点三直线与抛物线的位置关系1.直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p>0),直线与抛物线交点的个数等价于方程

组

解的个数,也等价于方程ky2-2py+2bp=0解的个数.1)当k≠0时,若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若Δ=0,则直线和

抛物线相切,有一个公共点;若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点.2)当k=0时,直线y=b与抛物线y2=2px(p>0)相交,有一个公共点.3)特别地,当直线l的斜率不存在时,设l:x=m,则当m>0时,l与抛物线相交,有

两个公共点;当m=0时,l与抛物线相切,有一个公共点;当m<0时,l与抛物线

相离,无公共点.2.焦点弦的性质以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是过抛物线焦点F的一条弦,AB所在直线

的倾斜角为θ,A(x1,y1),B(x2,y2),A、B在准线上的射影为A1、B1,则有以下结

论:1)x1x2=

,y1y2=-p2;2)若A位于x轴上方,B位于x轴下方,则|AF|=

,|BF|=

;3)|AB|=x1+x2+p=

,抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦;4)S△AOB=

;5)

+

=

为定值;6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切.3.弦中点AB为抛物线的一条弦,其中点为M(x0,y0).1)若抛物线为y2=2px,则kAB=

;2)若抛物线为x2=2py,则kAB=

.(其中p≠0,y0≠0)综合篇考法一利用抛物线的定义解题

例1

(2022广东茂名调研五,14)已知圆C:x2+y2+6x+8y+21=0,点A是圆C上

任一点,抛物线y2=8x的准线为l,设抛物线上任意一点Р到直线l的距离

为m,则m+|PA|的最小值为

.解析由圆C:x2+y2+6x+8y+21=0可得圆心C(-3,-4),r=2.设y2=8x的焦点为F,则F(2,0),l:x=-2,

过点P作PH⊥l于点H,则|PH|=m,由抛物线的定义可知|PH|=|PF|,所以m+|

PA|=|PH|+|PA|=|PF|+|PA|≥|FC|-r=|FC|-2=

-2=

-2,当且仅当P,F,C(P在线段FC上)三点共线时等号成立,所以m+|PA|的最小值为

-2.答案

-2考法二直线与抛物线的位置关系问题

例2

(多选)(2022辽宁名校联盟联考,12)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线

l的方程为y=-1,过C的焦点F的直线与C交于A,B两点,以A,B为切点分别作

C的两条切线,且两切线交于点M,则下列结论正确的是

(

)A.C的方程为x2=2yB.∠AMB=90°C.M恒在l上D.|MF|2=|AF|·|BF|解析由题意得-

=-1,所以p=2,因此C的方程为x2=4y,A项错误;由题意可知直线AB的斜率存在,F(0,1),设AB的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由

得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由y=

x2得y'=

x,所以AM的斜率为kAM=

x1,所以AM的方程为y-y1=

x1(x-x1),即y-

=

x1(x-x1)①,同理BM的斜率为kBM=

x2,所以BM的方程为y-

=

x2(x-x2)②,所以kAMkBM=

x1x2=-1,即AM⊥BM,所以∠AMB=90°,B项正确;由①②得(x2-x1)y=

x1x2(x2-x1),因为x1≠x2,所以y=-1,将y=-1分别代入①②得x=

=2k,所以点M的坐标为(2k,-1),又C的准线l的方程为y=-1,所以M恒在l上,C项正确;当AB的斜率k不

为零时,kMF=

=-

,所以kAB