【模拟测试】数学高考预测试卷及答案解析

高考模拟测试数学试题

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（共12小题）.

1.已知集合M={x[—4<x<2},N=则MDN=（）

A.{R-4cx<3}B.{x|-4cx<-2}

C.{x|-2<x<2}D,{x[2<x<3}

2.若复数z满足（3+4i）z=|4—3i],则z的虚部为（）

44

A.-B.-4C.--D.4

55

3.已知平面a,直线Wa,〃ua,贝ij“相〃。”是“/篦〃〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

'x+y<2

4.设x,>满足<2x—3y«9,则（x+l『+y2的取值范围是（）

x>0

A.[0,10]B.[1,10]C.[1,17]D.[0,17]

5.记S“为等差数列{4}的前〃项和.若4+%=24,S5=3O,贝可叫的公差为（）

A.1B.2C.4D.8

6.已知a,b,c均为正实数，若2"=log2aL2“'=logJ,=iog2c.则（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

v2

7.已知双曲线C：4—尤2=4（0>0）的一条渐近线经过圆p：/+y2—2x—4y+4=0的圆心，则。的离

a

心率为（）

A,更B.石

2

D*

c.回

8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：”三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一

半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走,

从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了

()

A.96里B.72里C.48里D.24里

9.已知函数/(x)=2sin2(x+f+Gsin(2x+m—1,则下列判断正确的是()

A.7(x)图象关于工=一对称B./(x)为奇函数

6

c.f(x)的值域为[—3,1]D./(X)在0,-上是增函数

10.已知三棱锥0-A8C中，A,B,。三点在以。为球心球面上，若AB=3C=2,ZABC=120°,

且三棱锥0-ABC的体积为百，则球。的半径为()

A.2B.5C.13D.V13

11.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点户的直线与抛物线交于A、3两点，且衣=2而，抛物线的准线/

与x轴交于C，AACF的面积为8近，则|明=()

A.6B.9c.9cD.60

12.如图1,在正四棱柱A5CO-4与£〃中，E,尸分别是AB-的中点，则以下结论中不成立的

是()

A.2户与8片垂直B.E户与3。垂直

C.EF与CD异面D.Er与4G异面

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上)

13.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身

体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人

数为.

14.已知点P在曲线y=V一》上移动，设点p处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是.

15.平面向量£、否满足(a+B){2a-B)=-4,且忖=2,网=4,则£与B的夹角等于.

16.已知函数/(%)=，+。的一条切线为y=a(x+l),则ab的最小值为.

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在AABC中，内角A,B,。的对边分别是。，b,c,已知b=B/?=-,sC=-.

4CO5

(1)求c的值；

(2)求AA6c的面积.

18.如图1所示，在直角梯形ABCO中，ZADC=90°,ABHCD,AD=CD=-AB=2,E为AC的

2

中点，将AACD沿AC折起，使折起后的平面ACO与平面ABC垂直，得到如图2所示的几何体D-ABC.

(1)求证：8CL平面ACO；

(2)点尸在棱CO上，且满足AD〃平面孤产，求几何体尸-BCE的体积.

19.改革开放以来，我国经济持续高速增长.如图给出了我国2010年至2019年第二产业增加值与第一产业增

加值的差值(以下简称为：产业差值)的折线图，记产业差值为y(单位：万亿元).

注：年份代码1-10分别对应年份2010-2019.

12345678910年份代码t

(1)求出y关于年份代码♦的线性回归方程;

(2)利用(1)中的回归方程，分析2010-2019年我国产业差值的变化情况，并预测我国产业差值在哪一年约为

34万亿元；

(3)结合折线图，试求出除去2014年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差(结果精确到0.1).

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：J-----------》=y—卯.样本方差

2(河

/=1

1n_2_11010__10_2

公式：=一2(%一》).参考数据：>=高2»=10・8,£hT(y-y)=i32,=211.6.

〃/=i1Ui=ii=ii=\

20.已知椭圆C:工+g=l(a>0>0)的离心率为斗，点£,尸分别为其下顶点和右焦点，坐标原点

为O,且△EOR的面积为0.

(1)求椭圆C方程；

(2)设直线/与椭圆相交于A,B两点,若点尸恰为钻的重心，求直线/的方程.

21.已知函数f(x)=x-lnx

(1)求f(x)的最小值；

(2)设，〃为整数，且对于任意正整数"，(1+最")*(1+(卜…x1求机的最小值.

X=V2sina+V2cosa

rr(a为参数).经过伸缩变换。:

(y=V2sina-v2cosa

x=——x

<2后，曲线G变为曲线a.

⑴求曲线G和曲线的普通方程；

(2)己知点尸是曲线。2上的任意一点，曲线G与X轴和>轴正半轴的交点分别为A,B,试求面

积的最大值和此时点P的坐标.

23.已知函数/(x)=|x+2］一2+4

(1)当a=l时，画出>=/(%)的图象；

⑵若关于X不等式“X”3。有解，求。的取值范围.

答案与解析

一、选择题（共12小题）.

1.已知集合加={x|-4<x<2},N=7^|<O:,则A/UN=()

A.{x|-4cx<3}B.{x|-4<x<-2}

C.{x|-2<x<2}D.{x［2<x<3}

［答案］A

［解析］

［分析］化简集合N,结合集合并集运算即可.

［详解］解：•.•M={R_4<X<2},7V=jx|^|<oU{x|-2<x<3},

MuN={X-4<x<3},

故选：A.

2.若复数z满足（3+4i）z=|4—3i］,则Z的虚部为（）

44

A.-B.-AC.——D.4

55

［答案］C

［解析］

［分析］直接对（3+旬2=|4-3才化简，求出z,从而可求出z的虚部

/、।।55（3-4z）34

［详解解由（3+4i）z=|4-3i|,得z=G=（3+4i）（3.4『次

,-4

:•z的虚部为一二.

故选：C.

3.已知平面a,直线wa,nua,则“加〃a”是“6〃〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］B

［解析］

L分析］利用充分条件、必要条件的定义结合空间中线线位置关系以及线面平行的判定定理判断可得出结论.

［详解］因为机Ua，nua,当加〃a时，加与〃平行或异面，即充分性不成立；

当，〃//〃时，满足线面平行的判定定理，成立，即必要性成立；

所以“mHa”是“的必要不充分条件.

故选：B.

'x+y<2

4.设x,>满足2x—3yK9,则（x+lp+V的取值范围是（）

x>0

A.［0,10］B.［1,10］C.［1,17］D.［0,17］

［答案］C

［解析］

［分析］由约束条件作出可行域，（x+lp+V的几何意义为可行域内动点与定点P（—l,0）距离的平方，由图

即可求解取值范围.

［详解］解：由约束条件作出可行域如图，

2x-3y=9/、

联立《

x+y_2，解得A(3,—1),

（x+l）2+y2几何意义为可行域内动点与定点尸（-1,0）距离的平方,

由图可知，可行域内动点与定点尸（-L0）距离的最小值为俨。|=1,

最大值为|PA|=^/(-1-3)2+12=V17，

.•.(x++V的取值范围是[117]

故选：C.

5.记S“为等差数列｛%｝的前〃项和.若出+牝=24,$5=30,贝34｝的公差为（）

A.1B.2C.4D.8

［答案］c

［解析］

［分析］由已知%+%=24,55=30,列方程组求解即可

［详解］解：因为等差数列｛4｝中，%+%=24,S5=30,

一、12q+7d=24

所以&+104=30,

解得”=4,卬=-2,

故选：C.

6.已知4,4C均为正实数，若2"=log2aL2"=logJ,（；）=iOg2C,贝女）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

［答案］C

［解析］

［分析］根据指数函数与对数函数的单调性可得0<a<g，g<b<l,l<c<2,由此可得答案.

［详解］因为。>0,所以2">1，所以晦/>1=喧2,所以1〉2,所以0<”g；

因为b>0,所以0<2“<1，所以所以

22

因为c>0,所以<1，所以0<log2c<1,所以l<c<2,

\2）

所以

故选：C.

［点睛］本题考查了利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.

v2

7.已知双曲线。：4一/=4（。>0）的一条渐近线经过圆月：/+v2-2人一4丁+4=0的圆心，则。的离

a

心率为（）

A.更B.75

2

C.VWD.叵

2

［答案］A

［解析］

［分析］

22

由题可知，先求出双曲线的标准形式」;-工=1,进而得出渐近线方程，带入圆心(1,2),求出a,4c,

4a24

带入离心率公式即可得结果.

222

［详解］因为双曲线。：5—炉=4(。＞0),所以二—二=1,

a24a24

即焦点在y轴上的双曲线，d=2a,b=2,则渐近线方程y=±区x=±ac,

b

圆尸：^+/一2x—4y+4=0,得。一1尸+(丁一2)2=1,圆心为(1,2),半径为1,

由于渐近线经过圆的圆心(1,2),圆心在第一象限，代入y=6得。=2,"=4,

又因为：c2=a'2+b2,得c=2书,

离心率6=，=拽=好.

a42

故选:A.

［点睛］本题考查双曲线的标准方程，以及渐近线方程，离心率等，运用双曲线的相关性质特点，同时还考查

圆的一般方程化为标准方程，圆的圆心和半径.

8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：”三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一

半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走,

从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了

()

A.96里B.72里C.48里D.24里

［答案］B

［解析］

［分析］

人每天走的路程构成公比为1的等比数列，设此人第一天走的路程为外,计算q=192,代入得到答案.

［详解］由题意可知此人每天走的路程构成公比为J的等比数列，设此人第一天走的路程为外,

3

'9I

则L」二378,解得％=192,从而可得生=192x—=96,牝=192x=24,故

I2

i—

2

a,-g=96-24=72.

故选：B.

［点睛］本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

9.已知函数/（幻=25立卜+高+小皿（2%+3—1,则下列判断正确的是（）

7T

A.7a）的图象关于x=一对称B./（幻为奇函数

6

jr

c.f（x）的值域为［―3,1］D.在0,-上是增函数

［答案］A

1解析］

［分析］

利用降塞扩角公式以及辅助角公式，将三角函数化简为标准正弦型三角函数，再对选项进行逐一分析即可.

［详解］/（x）=2sin2（x+f+百sin（2x+^）-l

=1-cosf2x+yj+也sinf2x+yj-1

=2可2x+f丁

2sin[2x+?).

因为/（m］=2sin［=2是该函数的最大值，故工=工是函数的对称轴，故A正确;

16J26

因为/（-力=-2$42不一看卜一/（元）,

故该函数不是奇函数，故8错误;

因为2sin（2元+工卜［-2,2］,故“力的值域为［—2,2］,故C错误;

jl式冗54

由xw0,-,可得2x+/G,在此区间内，正弦函数不单调，故。错误;

_3J6［_66_

综上所述，正确的是A.

故选：A.

［点睛］本题考查利用降哥扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及正弦型函数性质的求解，属综合性基

础题.

10.已知三棱锥o—ABC中，A,B,。三点在以。为球心球面上，若/W=BC=2,NABC=120。，

且三棱锥0-ABC的体积为石，则球。的半径为（）

A.2B.5C.13D.V13

［答案］D

［解析］

［分析］设AABC的外接圆的圆心为。I,半径为「，由正弦定理求得，，由三棱锥体积求得。。，由勾股定

理得球半径.

［详解］解：如图，抽取三棱锥0-ABC,设AABC1的外接圆的圆心为。|,半径为「，

在△ABC中，AB^BC=2,ZABC=120°,

由余弦定理可得AC=AB?+BO?一2AB-BCcosNABC=2百，

由正弦定理可得2，=一——=2也_=4,解得r=2，

sinZABCsin120°

所以=’・AB,8C-sinNA8C='x2x2x^=6，

△谢222

又三棱锥0-ABC的体积为百，

所以%.ABC=；-50苑-001=；xGxOq=6,

故三棱锥0-ABC的高。Q=3,

所以球O的半径为我+3?=V13-

故选：D.

ti

’r4/

［点睛］关键点点睛：本题考查棱锥的外接球问题，解题关键是掌握球的截面圆性质，截面圆圆心以球心连线

和截面圆垂直.由勾股定理可得球半径与截面圆半径，球心到截面圆距离的关系.

II.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点E的直线与抛物线交于A、3两点，且通=2万，抛物线的准线/

与X轴交于C,AACF的面积为8板，则|蝴=()

A.6B.9C.9&D.672

［答案JB

［解析］

［分析］

设点A(X1,yJ、网与,当),并设直线的方程为x由衣=2而得X=-2%，将直线

的方程代入韦达定理，求得|x|，结合AACF的面积求得。的值，结合焦点弦长公式可求得MM.

［详解］设点A(x”yJ、8(%,必)，并设直线A8的方程为x=+

将直线AB的方程与抛物线方程联立，2,消去x得y2-2pmy-p2=0,

)2=2px

2

由韦达定理得y+%=2p〃?，y,y2=­p>

通=［1为，-%)，而=［吃',%)，Q器=2法，二-%=2%，•・,=-2>2,

•,"%=-2£=-22,可得闻=手〃,|x|=2|%|=及P，

抛物线的准线/与X轴交于c-o

AACF的面积为』xpx&p=^p2=8a,解得，=4,则抛物线的方程为/=8x,

22

,32

所以'|阴=%1+/+〃=>；"+4=3~+〃=9・

故选：B.

［点睛］本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

12.如图1,在正四棱柱ABCD—AgGR中，E,歹分别是8G的中点，则以下结论中不成立的

是（）

A.防与垂直B.EF与BD垂直

C.所与CD异面D.E/与4G异面

［答案］D

［解析］

［详解］如图所示，连结48,由几何关系可得点£为48的中点，且5尸=尸£,

由三角形中位线的性质可得：EFPAJ,即EF与4G不是异面直线，

很明显，EF与CZ）异面，

由几何关系可得：AG-LBBpAG则EF1BBt,EF1BD,

综上可得，选项。中的结论不成立.

本题选择。选项.

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上)

13.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身

体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人

数为.

［答案］78

［解析］

［分析］由题意求出高三学生人数，再根据高一学生的抽样比计算高三抽样人数即可.

［详解］设学校有高三学生x人，则高二学生x+30人，(*+30)+480=1290,解得x=390人，该样本

96

中的高三人数为——X390=78人.

480

［点睛］本题主要考查分层抽样的应用，意在考查学生的基本运算能力，属于中档题.

14.已知点尸在曲线y=上移动，设点p处切线的倾斜角为a,则角e的取值范围是.

［答案］°，,卜彳，万

［解析］

［分析］求出导函数的值域后可得切线的斜率的范围，根据斜率与倾斜角的关系可求a的取值范围.

［详解］y=d-x,

y=3x2-i>-i,

tana>-1,

O<a<7r,

\3万

.•.过P点的切线的倾斜角的取值范围是ae0,yu—,n

故答案为：弓，方］

［点睛］本题考查导数的几何意义以及直线倾斜角的范围的计算，一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直

线都有倾斜角，但不一定都有斜率.

15.平面向量满足(。+孙仅4-6)=-4,且忖=2,网=4,则£与石的夹角等于.

［答案号

［解析］

［分析］设的夹角为氏则利用题设条件可求cos6=g,从而可计算£与行的夹角.

［详解］解：由题设(a+B)(2a—B)=-4得8-16+。3=一4，故a4=4

41

所以两向量夹角的余弦为——=一

2x42

兀

可求得两向量夹角大小是一

3

TT

故答案为：一

3

16.已知函数/(x)=e*+Z?的一条切线为y=a(x+l),则"的最小值为.

［答案］一丁

Ie

［解析］

［分析］设切点为(根,〃)，利用导数的几何意义可得切线方程与己知切线方程建立等式得。。=片Ma，设

g,)=〃Ina再利用导数判断单调性可得答案.

［详解］设切点为(加,〃)，可得e"'+人=〃，

由函数/(x)=e*+Z?的导数/'(x)=e"

可得切线的斜率为e"'=a，且e'"+/?=a(根+1),

可得匕=alna,则。匕二宗后。，

设g(a)=a21na,a>Q,则g'(a)=a(21na+l),

当0<a<+时，gr(a)<0,g(a)递减：a>十时,gr(a)>0,g(a)递增,

,、11

可得g(a)在a=一尸处取得最小值一丁，

1

故答案为:

2e

［点睛］本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，解题的关键点是利用导数再求切线方程与已知切线方程

建立等式，考查了运算能力，属于基础题.

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,己知6=6，B=-,cosC=迪.

45

(1)求c的值；

(2)求AABC的面积.

［答案］(1)、历；(2)答案见解析.

［解析］

［分析］(1)由cosC=^，求出sinC=虫，再利用正弦定理可求得。的值；

55

(2)先利用余弦定理求出a的值，再利用三角形的面积公式可求得结果

［详解］解：(1)因为b=布,8=m，cssC=空,

45

所以sinC=^^,

5

bc

由正弦定理得

smBsinC

77V5

j•「5/5x—

故，

sinBV2

~T

⑵由余弦定理得cosC=——，

2ab

2\/5ci~+5-2

故----=——7=-，

52yj5a

整理得，4_4〃+3=0，

解得a=1或“=3,

1

-X]_

当"1时，S^BC2IX"舟

2

当a=3时，SA,„r=—acsinB=—x3xV2x^-=—

△ABC2222

18.如图1所示，在直角梯形ABC。中，ZADC=90°,AB//CD,AD=CD=-AB=2,£为AC的

2

中点，将AAC。沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直,得到如图2所示的几何体D-ABC.

(1)求证：8CJ■平面ACD：

⑵点尸在棱CZ)上，且满足AD〃平面班广，求几何体尸-3CE的体积.

［答案］(1)证明见解析：⑵旦.

3

［解析1

［分析］(1)由已知条件可得AC2+BC2=AB2，从而有AC±BC,^AC中点£,连接。E,则DE1AC,

再由面面垂直的性质可得互>，平面ABC,则E£>_LBC，而=所以由线面垂直的判定定理

可证得结论；

(2)当尸为QC的中点时，可证得AD〃平面弼'，由(1)知，BC为三棱锥8—AC。的高，所以

VF-BCE=VR-CEF=2S^CEF'BC,从而可求得结果

［详解J(l)证明：由图1可知4C=BC=2a，

所以AC2+BC2=AB2,所以ACL3C,

取AC中点E，连接OE，则£>E_LAC,又平面ACD_1"平面ABC,

又平面AC£>D平面A5C=AC,D£u平面AC。，所以EDI.平面ABC,

而BCu平面A8C,所以又AC_L8C,AC^ED=E,

所以3CL平面AC。；

(2)解：取0c中点连接E/,BF,因为E是AC的中点，所以砂〃AD,

又EFu平面BEF，ADZ平面所以AD〃平面8石尸，

由(D知，8C为三棱锥3—ACD的高，即为三棱锥3—CEE的高，

因为瓦厂分别为AC,。。的中点,

所以SKEF=WS/CD=1x万x2x2=5,

所以VF-BCE=VH-CEF=1S“即.8C=gXgX2行=当

19.改革开放以来，我国经济持续高速增长.如图给出了我国2010年至2019年第二产业增加值与第一产业增

加值的差值（以下简称为：产业差值）的折线图，记产业差值为y（单位：万亿元）.

注：年份代码1-10分别对应年份2010-2019.

12345678910年份代码t

（1）求出y关于年份代码t的线性回归方程；

（2）利用（1）中回归方程，分析2010-2019年我国产业差值的变化情况，并预测我国产业差值在哪一年约为

34万亿元;

（3）结合折线图，试求出除去2014年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差（结果精确到0.1）.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：》=/=1街=5—标.样本方差

2

1n__11010__10_

公式：益=一工（丁-y）2.参考数据:y=—^y*=10,8,_y）=132,2=211.6.

n/=11Ui=ii=ii=i'

［答案］（Dy=L6/+2；（2）2010-2019年我国产业差值逐年增加，平均每年增加1.6万亿元，预测我国产业

差值在2029约为34万亿元；（3）平均值为10.8,方差为23.5.

［解析］

［分析］（1）求出回归系数，求出回归方程即可；

（2）根据》的值，即可分析变化情况，令1.61+2=34即可求解；

（3）结合折线图求出平均值和方差即可.

［详解］解：⑴由题意可得，i=1-x(l+2+3+…+10)=5.5,亍=10.8,工［一)=82.5,

10/=i'

犯T

/=1_____________________132

所以〃=-ioZ-825=1.6,

Z；=1M

故。=y-Br=10.8-1.6x5.5=2，

所以回归直线为y=L6/+2；

⑵由⑴值，5=1.6>0，

故2010-2019年我国产业差值逐年增加，平均每年增加1.6万亿元，

令16+2=34,解得。=20,

故预测我国产业差值在2029约为34万亿元；

(3)结合折线图，2014年产业差值为10.8万亿元，

除去2014年"=5时)产业差值外的9年的产业差值的平均值为Jx(10x10.8—10.8)=10.8,

又£(%一亍丫=211.6，故除去2014年(f=5时)产业差值外的9年的产业差值的方差为

/=I'

«211.6-(10.8-10.8)2a23.5.

20.已知椭圆C:二+£=l(a>b〉0)的离心率为孚，点£,E分别为其下顶点和右焦点，坐标原点

为。，且△EOF的面积为J5.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/与椭圆相交于A,3两点，若点尸恰为△E48的重心，求直线/的方程.

22

［答案］(1)二+2=1;(2)0x+y-4=0.

64

［解析］

［分析J(l)根据椭圆离心率公式与的面积列方程求得b=2,即可求解方程；

—2—

(2)延长E厂交直线/于点。，由=-求得点。坐标，再根据点差法列式可求得斜率从而求得直

3

线/的方程.

£=也

a3

［详解］解：(1)依据题意得，^bc=y/2,解得a=娓,b=2,c=&,

a2^b2+c2

所以椭圆。的方程为工+)-=l.

64

(2)延长EF交直线/于点。，

因为点尸为AEAB的重心，

所以点。为线段AB的中点，设。(x,y)

由点E(0,-2),川及,0),则访=［而，所以(后,2)=|(x,y+2)得。［半,1

设A(X［，M),B(x2,y2),

则卜+“3及

〔X+%=2

f22

JJ

,64

由，2,

强+互=］

I64

得i)=。，

o4

所以30(%「々)+2(»—%)=0,

64

所以^^二上三二一夜，

王一々

所以直线/的方程为y—1=—&x~2),

即y/2x+y-4=0.

［点睛］关键点点睛：本题关键求出点O坐标，然后结合点差法求取直线斜率.

21.已知函数/(x)=x-lnx.

(1)求的最小值:

［1+4)<力，求机的最小值.

(2)设，〃为整数，且对于任意正整数〃，+…x

［答案］⑴1;(2)2.

［解析］

1分析］(1)对函数进行求导，判断函数的单调性，最后求出最小值;

(1+妥)进行放缩，最后利用裂项相消法

(2)由(1)可得，f(x)=%-lnxNl即InxKx—1,对此可以对In

求出tn的最小值.

［详解懈：⑴，(x)=l-

XX

当X€(O,1)时，r(x)<0,故/(X)在(0,1)单调递减；

当xw(i,+8)时，r(x)>o,在。,内)单调递增；

故〃X)N/(I)=I,故f(x)的最小值为i.

(2)由(1)可得，/(x)=x-lnx21即InxWx—l,

所以对任意ZwN*,有ln[l+£)W1_44_22

上2-4左2((2%-1)(2々+1),2Z-12Z+1'

则In(l+!)+ln(l+?)+L+山(1+〃2卜13一5卜(5一7卜1+(2〃_1-2〃+1)'

即In(l+*)+ln(l+5)+L+ln(l+1、2222

—<---~~-<7)因为e?<8所以;<ln2，

nJ32T?+133

所以ln(l+委~卜(1+于上L+—)<ln2,所以(l+5)x(l+康卜Lx[l+J)<2.

又因为+(■卜Lx^l+—

故对任意正整数〃，[1+*卜(1+—jx...xfl+—j<m的整数”的最小值为2.

［点睛］本题考查了利用导数研究函数的单调性并求最小值问题，考查了通过放缩法求不等式恒成立时参数的

取值问题.

x=V2sin(7+V2cosa