新教材适用2023-2024学年高中数学第1章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式4.2一元二次不等式及其解法课件北师大版必修第一册

4.2

一元二次不等式及其解法自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习课标定位素养阐释1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系,会求一元二次不等式的解集.3.掌握图象法解一元二次不等式.4.体会数形结合思想、分类讨论思想的应用,加强运算能力素养的培养.

自主预习·新知导学一、一元二次不等式的概念【问题思考】1.(1)方程x2-2x-3=0的实数根是什么?提示:由x2-2x-3=0,得(x-3)(x+1)=0,解得x=3或x=-1.所以方程x2-2x-3=0的实数根为x1=3,x2=-1.(2)画出函数y=x2-2x-3的图象,并指出函数的图象与x轴交点的坐标.提示:函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4的图象如图所示.

由图可知,函数的图象与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0).(3)观察(2)中画出的图象,试写出不等式x2-2x-3>0和x2-2x-3<0的解集.提示:通过图象可知,x2-2x-3>0的解集为{x|x<-1或x>3};x2-2x-3<0的解集为{x|-1<x<3}.2.(1)定义:一般地,形如

ax2+bx+c>0,或

ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或

ax2+bx+c≤0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且

a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.(2)解集:使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.3.下列不等式一定是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数)的是(

).①x2>0;②-x-x2≤5;③ax2>2;④x3+5x-6>0;⑤mx2-5y<0;⑥ax2+bx+c>0.A.①②③⑤

B.①②④⑥C.①②

D.①②③④答案:C二、解一元二次不等式的方法【问题思考】1.一元二次不等式的解集的端点值与一元二次方程的实数根之间存在怎样的关系?提示:一元二次不等式解集的端点值即相应一元二次方程的实数根.2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是全体实数的条件是什么?提示:令y=ax2+bx+c,由题意知y>0恒成立,则一元二次函数y=ax2+bx+c的图象应开口向上,且与x轴无交点,即应满足3.一元二次函数及其对应方程、不等式解集之间的关系【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)不等式ax2+x-1>0一定是一元二次不等式.(

×

)(2)2x2+3y2+1≠0是一元二次不等式.(

×

)(3)一元二次不等式的解集可能有无穷多个.(

×

)(4)一元二次不等式的解集可能是空集.(

√

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

一元二次不等式的解法【例1】

解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x>2.分析:先求相应方程的实数根,然后根据相应函数的图象,观察得出不等式的解集.(2)原不等式可化为3x2-6x+2<0,因为方程3x2-6x+2=0的判别式Δ=(-6)2-4×3×2>0,所以该方程有两个不相等的实数根,解一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实数根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程没有实数根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.【变式训练1】

解下列不等式:(1)x2-5x-6>0;(2)-x2+7x>6.解:(1)因为方程x2-5x-6=0的判别式Δ=(-5)2-4×1×(-6)>0,所以该方程有两个不相等的实数根,解得x1=-1,x2=6.

画出函数y=x2-5x-6的图象,如图,可知该函数的图象是开口向上的抛物线,且与x轴有两个交点(-1,0)和(6,0).观察图象可得原不等式的解集为{x|x>6,或x<-1}.(2)原不等式可化为x2-7x+6<0,因为方程x2-7x+6=0的判别式Δ=(-7)2-4×1×6>0,所以该方程有两个不相等的实数根,解得x1=1,x2=6.画出函数y=x2-7x+6的图象,如图,可知该函数的图象是开口向上的抛物线,且与x轴有两个交点(1,0)和(6,0).观察图象可得原不等式的解集为{x|1<x<6}.探究二

含参数的一元二次不等式的解法【例2】

解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0.分析:根据题意,分别求出a=0,a>0和a<0时,不等式的解集.解含参数的一元二次不等式的方法(1)二次项的系数若含有参数,要分系数等于0、小于0、大于0讨论.(2)当二次项系数不等于零时,若对应方程的判别式不确定,则需讨论判别式与0的关系.(3)确定对应方程无实数根时,可直接写出解集,确定对应方程有两个实数根时,要讨论两个实数根的大小关系,从而写出解集.【变式训练2】

解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0.解:当a<0,或a>1时,有a<a2,此时,不等式的解集为{x|a<x<a2};当0<a<1时,有a2<a,此时,不等式的解集为{x|a2<x<a};当a=0,或a=1时,不等式无解.综上,当a<0,或a>1时,不等式的解集为{x|a<x<a2};当0<a<1时,不等式的解集为{x|a2<x<a};当a=0,或a=1时,不等式的解集为⌀.探究三

三个“二次”间对应关系的应用1.本例中条件不变,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.2.若将本例中的条件“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是

”变为“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|2≤x≤3}”,求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.一元二次不等式解集的逆向应用问题的解法(1)由给定的一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的两根,并确定参数符号.(2)利用根与系数的关系,确定系数之间的关系.(3)由可确定正负的参数表示其余参数,代入所求不等式.(4)解不等式,写出解集.易

错

辨

析忽视不等式成立的前提致误【典例】

解不等式x2>x.错解

由x2>x两边同时约去x,得x>1,所以原不等式的解集为{x|x>1}.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:本题因不等式两边同时约去x时,未考虑x的取值(正负性),机械应用不等式性质而出现失解现象,因此导致求解错误.正解:原不等式可化为x2-x>0,即x(x-1)>0.∵方程x(x-1)=0有两个不相等的实数根x1=0,x2=1,∴不等式x2-x>0的解集为{x|x<0,或x>1}.应将一元二次不等式化成标准形式,再由对应方程的根得出解集.

【变式训练】

不等式x(9-x)>0的解集是

.

解析:不等式x(9-x)>0变形为x(x-9)<0,解得0<x<9,故原不等式的解集为(0,9).答案:(0,9)随

堂

练

习1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为(

)A.{x|x≤-1,或x≥6} B.{x|-1≤x≤6}C.{x|-6≤x≤1} D.{x|x≤-6,或x≥1}解析:原不等式可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,故原不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.答案:C解析:A中不等式可化为x2-x-1≤0,显然解集不可能为R;B中对应方程的判别式

,解集不可能为R;C中,对应方程的判别式Δ=62-4×10<0,解集为R;D中不等式可化为2x2-3x+3<0,显然解集不可能为R.故选ABD.答案:ABD3.不等式(x+5)(1-x)≥8的解集是(

)A.{x|x≤-5,或x≥1}B.{x|x≤-3,或x≥-1}C.{x|-5≤x<1}D.{x|-3≤x≤-1}解析:不等式(x+5)(1-x)≥8可化为(x+3)(x+1)≤0,解得-3≤x≤-1,故原不等式的解集为{x|-3≤x≤-1}.答案:D答案:-6

-15.设不等式x2-4x+3<0的解集为A,不等式x2+x-6>