工程力学-弯曲内力

第

10

章弯曲内力

梁的剪力、弯矩方程

梁的剪力、弯矩图

载荷与弯曲内力间的微分关系本章主要研究:单辉祖:工程力学1

§1

引言

§2

梁的计算简图

§3

剪力与弯矩

§4

剪力、弯矩方程与图

§5

FS,M

与

q

间的微分关系

§6

非均布载荷梁的剪力与弯矩

单辉祖:工程力学2§1

引言

弯曲实例

弯曲及其特征单辉祖:工程力学3

弯曲实例单辉祖:工程力学4

弯曲及其特征外力或外力偶的矢量垂直于杆轴变形特征：杆轴由直线变为曲线弯曲与梁：以轴线变弯为主要特征的变形形式－弯曲以弯曲为主要变形的杆件－梁外力特征：画计算简图时，通常以轴线代表梁计算简图：单辉祖:工程力学5§2

梁的计算简图

约束形式与反力

梁的类型单辉祖:工程力学6

约束形式与反力主要约束形式与反力固定铰支座，支反力FRx

与FRy可动铰支座，垂直于支承平面的支反力

FR固定端，支反力

FRx

,FRy与矩为

M

的支反力偶单辉祖:工程力学7

梁的类型简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁常见静定梁静不定梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁单辉祖:工程力学8§3

剪力与弯矩

剪力与弯矩

正负符号规定

剪力与弯矩计算

例题单辉祖:工程力学9

剪力与弯矩

FS－剪力M－弯矩剪力－作用线位于所切横截面的内力弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩单辉祖:工程力学10

正负符号规定

使微段沿顺时针方向转动的剪力为正使微段弯曲呈凹形的弯矩为正使横截面顶部受压的弯矩为正单辉祖:工程力学11剪力符号判断的左手定则首先，进行整体平衡求出支座反力；然后，再取截面、求内力。把左手放在外力作用处伸直，四指方向与外力方向一致，左手掌心向着截面，左手大拇指方向即表示该处的外力在截面上所产生的剪力的正负号。当左手大拇指向上时，剪力为正；反之，大拇指向下时，剪力为负。构件任一截面上的剪力等于该截面任意一边（左边或右边）上所有外力在该截面上所产生的各个剪力的总代数和的值。单辉祖:工程力学12弯矩符号判断的左、右手定则首先，整体平衡求出支反力；然后，取截面、求内力。当我们保留截面左半段梁作分析时，则应当用左手定则；反之，如果保留截面右半段梁时，则应当用右手定则分析。以下以保留截面左半段梁时的左手定则为例予以说明。把左手放在外力作用处伸直，四指方向与外力方向一致，左手掌心向着截面，左手大拇指方向即表示该处的外力在截面上所产生的弯矩的正负号。当大拇指向上时，弯矩为正；反之，当大拇指向下时，弯矩为负。当遇到梁上作用的外力偶矩时，左右手不变，掌心向截面的要求取消；手势由掌变拳，四指握拳方向与外力偶矩的转向保持一致。当大拇指向上时，弯矩为正；反之，当大拇指向下时，弯矩为负。梁上任一截面处的弯矩等于该截面任意一边（左边或右边）所有外力和外力偶在该截面上产生的各个弯矩的总代数和。

注意：如果分析对象由左半段梁变换为右半段梁后，分析手法也应及时地由左手变换为右手，切记之！单辉祖:工程力学13内力符号判断手则小结扭矩——左手定则；左、右半段梁变换时，不存在换手判断问题。当左手拇指与截面外法线方向一致时为正。剪力——左手定则；左、右半段梁变换时，不存在换手判断问题。但是，必须牢记左手掌心始终要向着截面。弯矩——左、右手定则；左半段梁用左手，右半段梁用右手。左、右半段梁互相变换时，存在着换手判断的问题。轴力——无手则；拉为正，压为负。单辉祖:工程力学14

剪力与弯矩计算

FS－剪力M－弯矩在保留梁段上，方向与切开截面正FS相反的外力为正，与正

M相反的外力偶矩为正单辉祖:工程力学15

假想地将梁切开，并任选一段为研究对象

画所选梁段的受力图，FS与

M

宜均设为正

由

SFy

=

0

计算

FS

由

SMC

=

0

计算

M，C

为截面形心计算方法与步骤单辉祖:工程力学16

例题

例3-1计算横截面E、横截面A+与

D-的剪力与弯矩。解：单辉祖:工程力学17§4

剪力、弯矩方程与图

剪力与弯矩方程

剪力与弯矩图

例题单辉祖:工程力学18

剪力与弯矩方程

FS,M

沿杆轴（x轴）变化的解析表达式－剪力方程－弯矩方程

单辉祖:工程力学19

剪力与弯矩图表示

FS

与

M

沿杆轴（x轴）变化情况的图线，分别称为剪力图与弯矩图－二次抛物线－直线

画剪力图

画弯矩图土建等类技术部门画法单辉祖:工程力学20

例题例

4-1

建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图解：1.支反力计算2.建立剪力与弯矩方程AC段CB段单辉祖:工程力学213.画剪力与弯矩图

剪力图:

弯矩图:

最大值:4.讨论在F作用处,左右横截面上的弯矩相同,剪力值突变单辉祖:工程力学22解：1.支反力计算2.建立剪力与弯矩方程AB

段BC

段例

4-2

建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图单辉祖:工程力学23解：1.支反力计算2.建立剪力与弯矩方程AB

段BC

段例

4-2

建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图单辉祖:工程力学243.画剪力与弯矩图4.讨论在Me作用处，左右横截面上的剪力相同，弯矩值突变

剪力图：

弯矩图：

剪力弯矩最大值:单辉祖:工程力学25例4-3

载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩解：1.FS与

M

图2.FS与

M

的最大值单辉祖:工程力学26§5

载荷集度、剪力与弯矩间

的微分关系

FS,M与q

间的微分关系

利用微分关系画

FS与

M图

例题

微分关系法要点单辉祖:工程力学27

FS,M与q

间的微分关系q向上为正x

向右为正注意：梁微段平衡方程单辉祖:工程力学28均布载荷下

FS

与

M

图特点

利用微分关系画

FS与M图单辉祖:工程力学292.计算支反力、剪力与弯矩

q=0，FS图－水平直线，M

图－直线

求FSA+

画FS图

求MA+与

MB-

画M图应用利用微分关系画梁的剪力与弯矩图1.问题分析单辉祖:工程力学303.画剪力图4.画弯矩图FS图－水平直线M图－斜直线单辉祖:工程力学31

例题例5-1

画剪力与弯矩图斜线ql/80ql2/16ql/8-3ql/8ql2/160解：1.形状判断2.FS与M计算单辉祖:工程力学329ql2/1283.画FS与M图单辉祖:工程力学33

利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩图的形状

计算各梁段起点、终点与极值点等截面的剪力与弯矩

将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩图

在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直线所构成

均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定

微分关系法要点单辉祖:工程力学34§6

非均布载荷梁的剪力与弯矩

非均布载荷的合力

线性分布载荷梁的内力

例题单辉祖:工程力学35合力大小：

非均布载荷的合力合力作用线位置:载荷集度图的面积载荷集度图形心横坐标单辉祖:工程力学36线性分布载荷集度的一般表达式为

线性分布载荷梁的内力(a、b为常数）FS

为x的二次函数，FS图为抛物线M为x的三次函数，M图为三次曲线M图的凹凸，由q

的正负确定线性分布载荷线性分布载荷梁内力单辉祖:工程力学37解:1.外力分析例

6-1

建立剪力弯矩方程,

画剪力弯矩图,用微分关系校核2.建立剪力与弯矩方程

例题单辉祖:工程力学383.画剪力与弯矩图－2次抛物线－3次曲线q0l2/(