动态电路的复域分析

第十一章动态电路的复频域分析§11-1拉普拉斯变换及其基本性质

§11-2

拉普拉斯反变换§11-3动态电路的复频域模型

§11-4动态电路的复频域分析

§11-5网络函数

§11-1拉普拉斯变换及其基本性质

拉氏变换法是一种数学变化，可将高阶微分方程变换为代数方程以便求解。例1:对数变换乘法运算简化为加法运算例2:相量法正弦运算简化为复数运算一、拉氏变换(Laplace

transformation)的定义1.拉氏变换的定义：s为复频率f(t)与F(s)一一对应

拉氏变换:将时域函数f(t)（原函数：originalfunction）变换为复频域函数F(s)（象函数：transformfunction）。t<0，f(t)=0f(t)=

(t)时此项

0正变换反变换F(s)称为象函数，用大写字母表示，如I(s)，U(s)。

f(t)称为原函数，用小写字母表示，如

i(t)，u(t)。

2.存在条件对于一个函数f(t)，如果存在正的有限值常数M和c，使下式成立则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。因为[][]îíì==-)s(FL)t(f)t(fL)s(F1

简写正变换反变换傅氏积分公式存在的条件是ƒ(t)需满足狄里赫列条件，且是收敛的。这后一个条件的限制性较强，致使工程上常用的一些函数不能进行傅立叶变换，其原因大体是由于t→∞时过程中ƒ(t)的减幅太慢。为了扩大傅氏变换的使用范围，选正实数σ，用收敛因子e–σt乘ƒ(t)。只要ƒ(t)随时间的增长不比指数函数快，则可使收敛。当t﹤0时，e–σt将起发散作用。故ƒ(t)仅限于t≥0的情况。这在电路理论中是可行的，因为换路常发生在t＝0时刻，换路前的历史可用t＝0时的初始条件概括地表示。于是对e–σtƒ(t)进行傅氏变换，并引入复变量s＝σ＋jω，便可得到拉氏变换公式。拉氏变换式的积分下限记为0-，如果ƒ(t)包含t＝0时刻的冲激，则拉氏变换也应包括这个冲激。复变量s＝σ＋jω的实部σ应足够大，使e

–σt

ƒ(t)绝对可积，ƒ(t)的拉氏变换才存在。有些函数tt，e

t2等，不论σ多大都不存在拉氏变换，这些函数在电路理论中用处不大。原函数ƒ(t)是以时间

t为自变量的实变函数，象函数F(s)是以复变量s为自变量的复变函数。ƒ(t)与F(s)之间有着一一对应的关系。原函数ƒ(t)的拉氏变换，实际上就是ƒ(t)ε(t)e

–σt

的傅氏变换。在t﹤0时，ƒ(t)＝0的条件下，拉氏变换可看作傅氏变换把jω换成s的推广，而傅氏变换（如果存在）则可看作拉氏变换s＝jω的特例。因为ƒ(t)拉氏变换就是将e

–σt

ƒ(t)进行傅氏变换，即把信号ƒ(t)展开为复频域函数F(s)。复变量s＝σ＋jω常称为复频率，称分析线性电路的运算法为复频域分析，而相应地称经典法为时域分析。3.典型函数的拉氏变换(2)单位阶跃函数(1)指数函数(3)冲激函数=1

二、拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质(linearity)2-1时域微分(time

differentiation)性质

若则推广：2-2频域微分性质则若3.时域积分(time

integration)性质若则4-1时域平移(time

shift)性质

f(t)

(t)tt

f(t-t0)

(t-t0)t0f(t)

(t-t0)tt0若则

例12：1Ttf(t)T1f(t)?Tt例13：例14：周期函数的拉氏变换...tf(t)1T/2T设f1(t)为第一周函数4-2频域平移(frequency

shift)性质若则5.初值定理和终值定理初值定理：若f(t)在t=0处无冲激，则终值定理：若存在，则证：利用导数性质积分微分小结：§11-2拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法：(1)利用公式：(2)对F(s)进行数学处理象函数的一般形式：利用部分分式可将F(s)分解为：令s=p1，则同理可得……因此

求极限法因此

法一法二

一般形式：k1、k2也是一对共轭复根。例19：求的原函数f(t)。法一极点为法二：配方法同理可得若为

q重根，则小结：1)n

=m时将F(s)化成真分式；1.由F(s)求f(t)的步骤解：2)求真分式分母的根，确定分解单元；3)求各部分分式的系数；4)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。2.拉氏变换法分析电路正变换反变换相量形式KCL、KVL

元件复阻抗、复导纳相量形式电路模型§11-3动态电路的复频域模型

类似地元件运算阻抗、运算导纳运算形式KCL、KVL

运算形式电路模型二、电阻元件的运算形式R：u(t)=Ri(t)一、运算形式的电路定律+

u

-iR+

U(s)

-I(s)Ri(t)=Gu(t)L:

+

U(s)

-sL

I(s)i+

u

-

L1/sL+-I(s)U(s)

三、电感元件的运算形式C:+

uC

-iC

IC(s)1/sC+

U(s)

-

1/sC

IC(s)+

U(s)

-

四、电容元件的运算形式ML1i1i2L2+u1_+u2__+_++

_+

_sM

I1(s)I2(s)sL1sL2U1(s)+_+_U2(s)五、耦合电感

的运算形式mRI(s)U1(s)+_U2(s)+_U1(s)+_Ri+u1

_+u2_

+_运算阻抗运算形式欧姆定理iRLC+u1_

+-I(s)RsL

1/sC

U1(s)六、RLC元件串联的复频域形式七、运算电路运算电路如L、C

有初值时，初值应考虑为附加电源。

时域电路物理量用象函数表示元件用运算形式表示Ri1i2LCRL+_RL

R+_I1(s)I2(s)A/ssL

1/sC

时域电路运算电路例22:

5Ω1F20Ω10Ω10Ω0.5H50VuC+

-iL+_时打开开关200.5s+-1/s25/s2.55IL(s)UC(s)+__+§11-4动态电路的复频域分析步骤：1.由换路前电路计算uC(0-)，iL(0-)。2.画运算电路图。3.应用电路分析方法求象函数。4.反变换求原函数。例23：RC并联电路如图(a)所示，换路前处于零状态。现将该电路接通于单位阶跃电流源，试求uC(t)

和iC(t)。解：作等效运算电路如图(b)所示。其运算导纳为：则

+-a

+

-b

在未求出uC(t)

之前，可用初值和终值定理检验结果的正确性。即：符合电路情况。+-b

对UC(s)进行拉氏反变换，得：又故得：+-b

t=0时闭合k，求i1，uL。(2)画运算电路200/s300.1s0.5101000/s100/s_+I2(s)I1(s)+__+例24：200V30Ω0.1H10Ω-+1000μFi1uC

k+_uL+-200/s300.1s0.5101000/s100/s_+I2(s)I1(s)+__+(4)反变换求原函数求UL(s)UL(s)

?200/s300.1s0.5101000/s100/s_+I2(s)I1(s)+__+例25：电路如图(a)所示，开关闭合前处于零状态。试求电流i1(t)。a

10Ω

10Ω

10Ω

t=0

1H

1H

+

-

100V

i1(t)10

s+10+

-

b

s＋10解：采用戴维南定理，如图(b)所示，开路电压及内阻抗为：Z0(s)+

-

c

s＋10U0(s)I1(s)故电流得象函数为：所以例26：电路如图(a)所示，已知R=10Ω，β

=0.9，L=0.05H，iL(0-)=0，e(t)=100sin(2000t+60o)V，试求电感中的过渡电流。

选讲R

+

-

e(t)

a

iL(t)i1(t)βi1

LR0

+

-

e0(t)

b

iL(t)L解：电感L除外的部分可以用戴维南等效电路替代，如图(b)所示。其中R0可根据图(c)所示电路计算。R

c

i

(t)i1(t)βi1

u+-

选讲不接电感时由图(d)可得：i10=βi10

则

i10=0

由图(b)得：对于正弦电源除直接变换为象函数之外，在计算技巧上也可以用复数指数Eme

j(ωt+ψ)

替代Emsin(ωt+ψ)

。这样，实际电源只是复数电源的虚部。计算结果也将是复数，但其虚部才是真正的答案。现设R

+

-

e(t)

d

i10(t)βi10

e0(t)+-

选讲于是故

选讲其原函数为：最后得：RC+uC

iS

(t)例27：求冲激响应。已知(t≥

0)(t≥

0)

R1/sC+UC(s)

IS(s)1tuC0tiC例28：已知uS1=10V，uS2=2V，C1=C2=C3=2F，R=2

，

uC1(0-)=uC2(0-)=5V，t=0时S合向2，求uC2。RuS1

C2+-iC2

+uC2-S2+-iC3

uS2

+-C1C3uC1iC1

解：uC3(0-)=2V，运算电路为：节点法:10/s21/2s5/s1/2s1/2s5/s2/sU(s)I2(s)I3(s)I1(s)+-+++---3.5452tuC2、uC310/s21/2s5/s1/2s1/2s5/s2/sU(s)I2(s)I3(s)I1(s)+-+++---t=0时打开开关S,求电流

i1(t)。0.1H例29.

+_USSR1L1L2R2i1i20.3H10V2Ω3Ω20.3s1.530.1sI1(s)+_10/s_+ti1523.750UL1(s)20.3s1.530.1sI1(s)+_10/s_+UL2(s)uL1-6.56t-0.375

(t)0.375

(t)uL2t-2.19ti1523.750小结：A.运算法直接求得全响应C.运算法分析动态电路的步骤B.

用0

_

初始条件，跳变情况自动包含在响应中磁链守恒：1.由换路前电路计算

uC(0-),iL

(0-)。2.画运算电路图。3.应用电路分析方法求象函数。4.反变换求原函数。§11-5网络函数零状态e(t)r(t)激励响应一、网络函数的定义电路在单一激励作用下，其零状态响应r(t)的象函数R(s)与激励e(t)的象函数E(s)之比为该电路的网络函数H(s)。1.定义例30：图示电路，uC为响应，试求电路的网络函数。RC+_+_uS

uC

R1/sC+_+_US(s)UC(s)解：2.驱动点函数驱动点阻抗驱动点导纳激励与响应在同一个端口上。

若I(s)为激励若U(s)为激励U(s)I(s)+_零状态3.转移函数(传递函数)激励与响应不在同一个端口上。

转移导纳转移阻抗电压转移函数电流转移函数U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+_+_零状态4.激励为冲激函数时的网络函数

网络函数是单位冲激响应的象函数。

1R(s)零状态

(t)h(t)=r(t)激励响应5.网络函数的应用1)由网络函数求取任意激励的零状态响应零状态e(t)r(t)

激励响应若则单位阶跃响应为2)由网络函数确定正弦稳态响应在H(s)中令s=jω就可得正弦稳态下的传递函数。

响应相量激励相量图(a)：解：例31

P中初始值为零。图a中，uoc(t)=(1-e

-100t)ε(t)V；图b中，isc(t)=5e-50tε(t)A；求图c(R

=30Ω)中：图(b)：图(d)：图(c)：例32

图示电路中，11/

两端接恒定电压源U。已知在t=0时，将一未充电的电容C=1F/3接至22/后(图a)，33/两端电压现将此未充电的电容与一无储能的电感L＝1H串联，在t=0时接入22/端(图b)。求LC接入后33/两端的电压u02。清华大学1999年硕士生入学考试电路原理试题。线性无源电阻网络图(a)

C＋－线性无源电阻网络图(b)

C＋－L解法一图(c)

C＋－Req＋－L图(d)

C＋－Req＋－图c、图d分别是图a、图b中22/端下侧的戴维南等效电路。(1)在图c中，由题意得则有(2)在图d中，列写KVL方程，得代入数据得解此微分方程，得uC2得通解为