第四章 农业投入产出的边际分析理论1

第四章农业投入产出的边沿分析实际第一节农业消费函数概述第二节单项变动要素的合理利用第三节多项变动要素的合理配置第四节多项农产品的合理组合第五节农业消费函数模型的建立及其运用重点提示：本章主要引见了农业投入产出的边沿分析方法以及农业消费函数模型的建立与运用。经过本章学习，要求学生在了解农业消费函数、边沿分析、总产量、平均产量和边沿产量、产出弹性、等产量曲线、边沿替代率、消费能够性曲线等根本概念的根底上，掌握单项变动要素最正确投入点确实定方法、多项变动要素的合理配合方法、产品最正确组合方法以及如何建立和运用农业消费函数等知识点。第一节农业消费函数概述一、农业消费函数的根本原理〔一〕农业消费函数概念及表示方法1．农业消费函数的概念农业消费函数是指在特定的农业技术条件下，农业消费要素的投入量和农产品的最大产出量之间的物质技术关系。如图4—1所示，阴影部分为消费集，消费集的边境称为消费函数消费集农业消费要素投入量农产品产出量消费函数O图4-1农业消费函数2．农业消费函数的普通方式农业消费函数的普通方式可以写成：y＝ƒ〔x1，x2，x3，…，xn〕其中，y为农产品产出量，x1…xn为消费中投入的各种消费要素，包括劳力、种子、化肥、农药、农机具等。消费函数可表示为：y＝ƒ〔x1∣x2，x3，…，xn〕括号中竖线左侧的x1代表可变消费要素，右侧的x2，x3，…，xn代表固定不变的消费要素。此函数反映了在x2，x3，…，xn各种消费要素投入量固定不变的条件下，y与x1之间的函数关系，亦可用以下简式表示：y＝ƒ〔x1〕假设调查消费中两种可变要素投入量与产出量之间的关系，那么消费函数可简单表示为：y＝ƒ〔x1，x2〕3．农业消费函数的详细表示方法〔1〕列表法表4—1消费函数的列表法饲料投入x牲畜增重y(TP)00519.37510451573.1252010025121.8753013535135.625〔2〕图示法图4-2消费函数图示法〔3〕数学表达式法数学表达式法是根据上述表列中要素投入量〔x〕与产品产出量〔y〕之间一一对应的关系，采用回归方法建立起的一个方程式，比如y＝3x＋0.2x2－0.005x3。这种消费函数表示方法可以反映任何微小的变化，可以准确计算某一点的要素投入与相应的产品产出。〔二〕农业消费函数研讨的问题总的来说农业消费函数是研讨农业消费中的各种数量关系。详细说，狭义的农业消费函数研讨农业消费中的三种数量关系：第一种是研讨农业消费要素与农产品之间的数量关系，或称为投入—产出关系。第二种是研讨消费一定数量的农产品时，消费要素与消费要素之间的配置关系。第三种是研讨利用一定数量的某种消费要素来消费多种农产品时，各种农产品之间的数量关系。广义的农业消费函数研讨的内容那么更为广泛，如研讨农业消费的规模经济效益，分析各种消费要素〔不仅限于消费要素〕对农业消费开展的影响程度，确定科学技术提高对消费的促进作用，研讨农业消费和各种社会技术要素的变动趋势及其规律性等。〔三〕农业消费函数的特点农业消费函数一方面具有数学中函数的性质，一方面又要正确反映农产品产量同消费要素投入量之间数量关系的变化规律，这就构成了农业消费函数的许多特点。1．农业消费函数反映农业消费的周期性。2．消费函数阐明的投入—产出关系是一种统计相关关系。3．农业消费函数反映的是既定的农业消费技术条件下的投入—产出关系。4．农业消费函数是对农业消费过程高度简化的数学模型5．农业消费函数中变量的纯质性。6．上述所说的农业消费函数通常应该采用延续可导的函数，以便运用边沿分析方法。经过以上对农业消费函数特点的描画，可以看出，消费函数作为数量分析的一个重要工具，有着鲜明的适用性。应该根据不同问题、不同产品和消费要素、不同地域和时间、不同的研讨目的，去建立相顺应的消费函数。不存在适用于处理许多问题的一致的消费函数。处理某一详细问题就要建立一个或数个详细的消费函数。二、边沿分析与农业消费函数的三个阶段〔一〕边沿分析的概念边沿分析(Marginalanalysis)是以增量的概念来研讨农业消费中的投入产出问题。增量也就是指变化量，是在原有根底上添加的数量。当投入的消费要素添加某一数量时，产品产出量也会随之改动。用这种增量的比率研讨农业消费中的投入产出变化规律，便是边沿分析。通常用数学式表示为△y／△x〔平均变化率〕或dy／dx〔准确变化率〕。当要素投入量x0添加到x0＋△x时，那么产量y相应的改动量为△y＝其变化率为：假设消费要素投入量△x→0，其变化率写成：==〔二〕边沿报酬递减规律所谓边沿报酬递减规律是指在技术不变、其它消费要素的投入数量不变的情况下，随着某一种消费要素的投入量不断添加，起初，添加该要素投入所带来的产量增量是递增的，但过了一定点之后，添加该要素投入所带来的产量增量就会越来越小，甚至为负数。这一经济景象被称为边沿报酬递减法那么，也称边沿报酬递减规律。在了解该规律时应留意：第一，边沿报酬递减规律在某点之前是不适用的，只需求素投入到达某点之后才会出现；第二，边沿报酬递减规律具有严厉的限制条件，即技术程度不变、其它消费要素的投入数量不变；第三，技术提高会推迟报酬递减的出现，但不会消灭报酬递减规律。在农业消费中，由于存在着消费要素投入报酬变动规律，使得消费的经济效益随着要素投入量不同而发生变化。因此，有必要研讨农业消费要素投入最适度，也即经过研讨要素投入与产出之间的变化关系，寻求要素利用的最正确形状，从而提高农业消费的经济效益。〔三〕总产量、平均产量、边沿产量1．总产量、平均产量、边沿产量的概念总产量〔totalproduct，通常简称TP〕，是指在其他投入要素坚持不变的条件下，随着变动要素投入量变化而变化的产品总量。总产量有时也用y来表示。平均产量〔averageproduct，通常简称AP〕是指在各种不同的投入程度下，平均每一单位变动要素所获得的产品数量。用公式表示为：边沿产量〔marginalproduct，通常简称MP〕是指在延续向某项消费追加要素的过程中，每添加一单位变动要素所引起的总产量的变化量，或者说最后一单位要素投入所获得的产品数量。其计算公式为：当消费函数以确定的函数式表示时，可以计算准确的边沿产量，计算公式为:例：表4-2饲料投入与家畜增重关系表处理编号饲料投入x牲畜增重y(TP)边际产量(MP)平均产量(AP)0123456705101520253035019.3754573.125100121.875135135.6253.8755.1255.6255.3754.3752.6250.1253.8754.54.87554.8754.53.875y＝3x＋0.2x2－0.005x3式中，y表示家畜增重，x表示饲料投入量。那么MP方程为：MP＝yx＇＝3＋0.4x－0.015x2根据上面的计算式，每确定一个x的投入量，即可计算出相应的准确边沿产量值。比如，当x＝25时，准确的边沿产量MP＝3.625。2．总产量、平均产量、边沿产量之间的关系〔1〕总产量与边沿产量之间的关系。总产量与边沿产量之间的数学关系是导数与积分的关系，总产量曲线上任何一点的斜率值就是边沿产量。二者的关系详细表现为：yOxA〔拐点〕yBCTPAPMPOx0x1x2x图4-3TP、AP、MP之间的关系a．当边沿产量大于零时，总产量上升。当边沿产量处于上升阶段时，总产量以递增的速度上升；当边沿产量处于下降阶段时，总产量以递减的速度上升。b．当边沿产量等于零时，总产量到达最大。c．当边沿产量小于零时，总产量下降〔2〕平均产量与边沿产量之间的关系当MP＞AP时，AP上升；当MP＜AP时，AP下降；当MP=AP时，AP达最大。总产量、平均产量和边沿产量之间的关系可以从图4—3中得到更直观的表示。〔四〕产出弹性与消费的三个阶段1．产出弹性〔Elasticityofoutputs，简称Ep〕产出弹性，又称消费弹性，是产量变化率与消费要素投入量变化率的比率，反映产品产量变化对消费要素投入量变化的敏感程度。详细测算时是以要素投入量添加百分之一，由它引起的产品产量添加百分之几来计算，其计算公式为：利用前面的例1，计算不同投入程度下的产出弹性〔表4-3〕表4-3产出弹性的计算饲料投入x牲畜增重y(TP)边际产量(MP)平均产量AP产出弹性05101520253035019.3754573.125100121.875135135.6253.8755.1255.6255.3754.3752.6250.1253.8754.54.87554.8754.53.87511.1391.1541.0750.8970.5830.032假设以准确的边沿产量来计算产出弹性，那么有：经过计算可知，当x＝20时，EP＝0.725；当x＝25时，EP＝1.026。可以看出，利用消费函数计算出的产出弹性是要素投入某一点的弹性。根据MP和AP之间的大小关系，有：〔1〕当MP＞AP时，EP＞1，阐明产出添加的比例大于消费要素投入量添加的比例；〔2〕当0＜MP＜AP时，0＜EP＜1，阐明产出添加的比例小于消费要素投入量添加的比例。2．消费的三个阶段根据产出弹性的大小，可以将消费函数分为三个阶段：消费弹性大于1的要素投入区域为消费函数第一阶段，即从原点起到平均产量最高点止；消费弹性大于零且小于1的要素投入区域为消费函数的第二阶段，即从平均产量最高点起到总产量最大止；消费弹性小于零的要素投入区域为消费函数第三阶段，即总产量下降区域。消费函数的三阶段划分见图4－4。MP图4-4消费函数三个阶段CA〔拐点〕BTP第三阶段第二阶段第一阶段OyxyAPOx0x1x2x第二节单项变动要素的合理利用根据上一节消费函数三阶段的分析，第二阶段是变动要素投入量的合理区间。但哪一点是变动要素投入量的最正确点，即变动要素投入到什么程度才干使消费者获取最正确的经济效益呢？这还要取决于产品和消费要素的价钱。一、单项变动要素的最正确投入量要素的最正确投入量是指获得最大利润时的要素投入量，在确定单项要素的最正确投入量时，假设其它消费要素固定不变，仅改动一种可变要素的投入量。为了确定最大利润时的要素投入量，我们首先构建利润函数。令利润函数为：∏＝TR－TC＝Pyy－Pxx－TFC当利润到达最大时，有：d〔∏〕／dx＝0即：Pyy＇－Px＝0整理得：也可以写作：当MP＞Px／Py时，阐明要素用量缺乏，应继续添加投入。随着要素投入量的添加，边沿产量下降，直至与价钱比相等；当MP＜Px／Py时，阐明要素投入过量，应减少要素投入，使边沿产量上升，直至与价钱比相等。Py*△y=px*△x［例2］现以表4—4的资料研讨要素最正确投入量问题假设每单位饲料价钱Px＝9，畜产品价钱Py＝3，价钱比为3。表4—4饲料投入量与对应的利润程度处理编号饲料投入x牲畜增重y(TP)边际产量（MP）平均产量(AP)利润(∏)0001519.3753.8753.8751210455.1254.51.13931573.1255.6254.8751.1544201005.37551.075525121.8754.3754.8750.8976301352.6254.50.583735135.6250.1253.8750.032该例的消费函数为：y＝3x＋0.2x2－0.005x3根据：有：解得：x＝26.667即饲料的最正确投入量应为26.667单位。那么，究竟x＝26.667是不是位于消费函数的第二阶段呢？我们可以经过分别计算平均产量〔AP〕最大时的饲料投入量x1和总产量〔TP〕最大时的饲料投入量x2，然后看26.667能否位于x1和x2之间来判别。根据前面的分析，平均产量〔AP〕最大时，有：MP＝AP所以有：3＋0.4x－0.015x2＝3＋0.2x－0.005x2解得：x1＝20而总产量〔TP〕最大时，对应边沿产量〔MP〕为0，所以有：3＋0.4x－0.015x2＝0解得：x2＝32.77可见，x＝26.667确实位于x1和x2之间，即位于消费函数的第二阶段，验证了前面第一节的结论。当然，也可以经过分析表4—4中的相关数据进展判别。二、有限要素的合理分配有限要素的合理分配是指对于一定量的限制要素应该如何分配于消费同一产品的不同技术单位，从而获得最大的收益。〔一〕边沿产量最大法边沿产量最大法，是把每单位的投入要素投放在边沿产量最大消费单位上，直至要素分配终了，最终可到达要素的最正确分配。利用边沿产量最大法进展要素最正确分配，仅适宜于消费函数的第二阶段，即边沿产量应处于递减趋势；假设在消费函数的第一阶段，边沿产量处于上升形状，此时边沿产量最大法失效。〔二〕边沿产量相等法边沿产量相等法与边沿产量最大法本质上是一回事，只是运用的条件不同。边沿产量最大法仅能用于表格式的消费函数方式，而边沿产量相等法主要用于延续的消费函数，即以数学模型表示的消费函数。在要素有限的条件下，只需使得各消费单位要素利用的边沿产量相等，此时的要素分配便是最正确的要素分配。［例3］某农户现有100单位的磷肥，要把这有限的磷肥分配在两块土壤肥力不同的地块上消费小麦，那么每块地应各分配多少，才干获得最大的经济效益？知磷肥的价钱为0.4元，小麦的价钱也是0.4元。经过实验，得到小麦和磷肥的消费函数〔表4-5〕：表4-5不同土壤肥力地块的消费函数要素投入单位地块A地块ByMPyMP0352540204133.05568.91.445404642.55591.41.12560504.72.04607.50.80580535.41.535617.50.485100556.11.035620.50.165［例4］利用表4－5中的数据，分别建立两个地块的消费函数：yA＝352＋3.301x－0.0126x2yB＝540＋1.605x－0.008x2根据上面的两个消费函数可利用边沿产量相等的原那么进展要素分配。为了区别于不同地块上施用的磷肥，分别以xA表示施用于A地块的磷肥量，xB表示施用于B地块的磷肥量，要素分配的最正确方案可用以下方程组求得：MPPA＝MPPB〔边沿产量相等〕xA+xB＝100〔磷肥总量为100〕那么：3.301－0.0252xA＝1.605－0.016xBxA＋xB＝100解得：xA＝80xB＝20也就是说，当A地块施用80单位的磷肥，B地块施用20单位的磷肥时可以获取最大的经济效益。这一分配结果显然与边沿产量最大法得到的结果完全一致。第三节多项变动要素的合理配置一、本钱最低〔或产量最大〕的要素配置分析要进展本钱最低〔或产量最大〕的要素配置分析，首先必需掌握等产量曲线、要素的边沿替代率和等本钱线等根本概念。〔一〕等产量曲线等产量曲线是具有同等产量的各种能够的投入组合曲线。在延续的消费函数中，两种可变要素的投入数量可以延续的变化，不同的要素组合，可以得到各种一样或不同的产量。［例5］将消费函数y＝18x1―x12＋14x2－x22转换成表4-6：yx2x1012345678910012345678910017324556657277808180133045586978859093949324415669808996101104105104335065788998105110113114113405772859610511211712012112045627790101110117122125126125486580931041131201251281211284966819410511412112612913012948658093104131120125128129128456277901011101171221251261294057728596105112117120121120x2y2=80y1=105Ox1图4-6等产量曲线〔二〕边沿技术替代率在某一等产量曲线的合理运用范围内，假设要坚持产量不变，添加一种要素x1的投入量，可以减少另外一种要素x2的投入量。通常情况下，x1和x2变化量的比值称作消费要素的边沿技术替代率，用字母表示为MRTS(RateofMarginalTechnicalSubstitution)。边沿技术替代率分为平均边沿替代率和准确边沿替代率。平均边沿替代率反映两种要素在某一区间的替代比率，其几何意义为等产量曲线上某一段〔MN〕的平均斜率，如图4-7所示：M△x1△x2图4-7平均边沿技术替代率Ox2x1N平均边沿替代率的计算公式为：表4-7消费要素平均边沿替代率的计算组合方案要素分配要素增量边际替代率△x2/△x1x1x2△x1△x2A47B541－3－3C631－1－1D923－1－0.33阐明，每添加一单位x1的投入，所需求减少的x2的量。当△x1→0时，要素的边沿替代率可写为：这即是准确边沿技术替代率的计算公式。当然，准确边沿技术替代率还可以用边沿产量来表示并计算。由于，为了维持产量程度不变，由于一种投入要素添加而添加的产量必然等于由于另外一种投入要素减少而减少的产量，所以有：MPx1·Δx1＋MPx2·Δx2＝0即：显然，从几何意义上看，准确边沿技术替代率是等产量曲线上恣意一点的斜率，如图4-8。图4-8准确边沿技术替代率FOx2x1〔四〕等本钱线假设消费者用于购买可变要素的本钱额为C，要素x1和x2的价钱分别为P1和P2，那么有：P1x1＋P2x2＝C由于上式中C、P1、P2均为知量，那么x2可以写成x1的函数，即：把此函数在坐标上图示出来即得等本钱线，如图4-11，AB即是一条等本钱线。ABx2Ox1P1x1＋P2x2＝C图4-11等本钱线3．等本钱线斜率等于消费要素价钱之比，其值为负值，即等本钱线具有以下三个性质：1．假设消费本钱不同，可以得到不同的等本钱线，离原点越远，代表的本钱程度越高。2．同一条等本钱线上的不同点表示两种要素的不同数量组合，但每一种组合所耗费掉的本钱额是一样的。〔五〕要素合理配置在消费者追求最大利润目的下，经常遇到两种情况，其一是在既定的产量目的下，如何使其本钱最小；其二是在本钱固定的情况下，如何使其产量到达最大。不论是哪一种情况，其所需求的条件是一样的，即使用两种可变要素所得到的等产量曲线与运用这两种消费要素破费的等本钱线相切的那一点。如图4－12所示：FE图4-12消费要素的最正确组合Ox1x2等本钱线(b)产量固定等产量曲线Ox1x2(a)本钱固定由于等产量曲线的斜率为：而等本钱线的斜率为:因此，在切点E和F处应满足：上述公式阐明在x1和x2上所破费的最后一单位货币所添加的产出量均相等。假设投入的消费要素为Xi(i=1、2…n)，消费要素的价钱分别为Pi，那么消费者的平衡点为：［例6］设消费函数为：y＝18x1―x12＋14x2－x22，知资源单价P1＝2元，P2＝3元，要获得105单位的产量，资源如何组合能使本钱最低？根据最低本钱条件二、等斜线、扩展线和盈利最大的要素配置〔一〕等斜线和扩展线在同一坐标平面内有无数条代表不同产量程度的等产量曲线。这些等产量曲线上斜率相等点的连线称为等斜线，或者说等斜线是等产量曲线上边沿技术替代率相等点的连线。图4-13普通消费函数扩张道路x2Ox1EPx2Ox1EP图4-14一次齐次消费函数扩展线扩展线〔Expansionpathofproduction〕是等斜线的一个特例，扩展线是从全部等斜线中挑选出来的独一的等斜线。确切地说，扩展线是最低本钱点的连线。扩展线上任何一点都表示在某一产量程度下要素投入的最低本钱组合。因此，当产量程度不同时，合理的要素配置应沿着扩展线开展。〔二〕盈利最大的要素配置在一种产出、两种可变投入的情况下，利润方程为：R＝Pyy―P1x1―P2x2―TFC当利润最大时有：由此推得，PyMPx1＝P1PyMPx2＝P2即：MVPx1＝P1，MVPx2＝P2从而：［例7］知某农业消费函数为y＝18x1―x12＋14x2－x22，农产品y的价钱Py＝5元，要素x1的价钱P1＝2元，要素x2的价钱P2＝3元，试计算获得最大利润的要素配置。根据最大利润的要素配置规范第四节多项农产品的合理组合一、两种产品之间的关系〔一〕互竞关系〔二〕互助关系〔三〕互补关系二、消费能够性曲线表4-8要素x用于两种产品消费的能够组合生产要素投入量（x=7）生产可能性组合y1y2y1y2071625344352617004374213401836222925212712280把第二栏中的各种能够性组合转换成曲线，即可得到图4-15的消费能够性曲线MN。ONMy2y1图4-15消费能够性曲线三、产品的边沿替代率〔一〕产品边沿替代率的含义在同一条消费能够性曲线上，假设添加y1的产量，就必需减少y2的产量。通常把添加一单位y1所需求减少的y2的数量称为产品的边沿替代率〔MRPS〕，又叫边沿转换率〔MRT〕。〔二〕产品边沿替代率递增随着y1的添加，每添加一单位y1所需求减少的y2的数量亦在不断添加，这一景象被称为产品边沿替代率递增规律。〔三〕产品边沿替代率的计算根据计算的准确程度不同，产品边沿替代率分为平均边沿替代率和准确边沿替代率。

△y1△y2图4-16产品平均边沿替代率Oy2y1平均边沿替代率是指消费能够性曲线上某一段两种产品增量之比，如图4-16。平均边沿替代率的计算公式为：准确的产品边沿替代率用dy2/dy1表示，可根据消费能够性曲线函数的一阶导数来计算。从几何意义上讲，准确的产品边沿替代率是指消费能够性曲线上恣意一点切线的斜率，如图4—17。图4-17产品准确边沿替代率Oy2y1G四、等收益线收益〔revenue〕是指消费者出卖产品得到的全部货币收入，即价钱与销售量的乘积。假设用Py1和Py2分别表示两种产品y1和y2的价钱，y1和y2为两种产品的产量，那么两项产品消费的总收益函数为：TR＝Py1·y1＋Py2·y2BAOy1y2图4-18等收益线等收益线斜率为:五、最大收益的产品组合将消费能够性曲线和等收益线绘制在同一坐标平面内，如图4-19所示，等收益线与消费能够性曲线的切点E即是最大收益的产品组合点。图4-19最大收益产品组合Oy2Ey1那么，切点处应该满足什么条件呢？很显然，在该点上，消费能够性曲线的斜率和等收益线的斜率相等，即产品的边沿替代率或边沿转换率与负的产品价钱之比相等。所以，最大收益产品组合条件可以写为：上式还可以写成：Py2·△y2＝－Py1·△y1［例8］设有化肥总量60千克用于y1和y2两种作物消费，即xy1＋xy2＝60，其中xy1表示用于y1消费的化肥量，xy2表示用于y2消费的化肥量。两种产品的消费函数分别为：y1＝218＋1.79xy1－0.017xy12y2＝216＋2.68xy2－0.033xy22当Py1＝0.44元，Py2＝0.24元时，求最大收益的产品配合。根据最大收益的产品组合条件Py1·MPxy1＝Py2·MPxy2第五节农业消费函数模型的建立及其运用农业消费函数模型设定数据获取计量经济模型的参数估计利用模型进展控制或制定政策预告预测、经济分析假设检验〔经济先验检验、统计检验、计量经济学检验〕实际与假说的陈说修正模型图4－20农业消费函数建立的根本程序一、模型设定1.因变量与解释变量的设定2.设定模型的数学方式3.设定模型中参数的符号和数值4.误差项u的概率分布形状的设定二、回归模型的参数估计及运用1.一元线性回归模型的方式一元线性回归模型是回归模型的最根本方式，其总体回归模型为：其中，xi为自变量，或解释变量，yi为因变量，或被解释变量，β0、β1为总体回归系数，ui为随机扰动项，用来代表未能被xi解释的yi的变动。由于总体的真正值是不知道的，所以只以采样本模型来推断，其样本模型为：其中，、是对总体回归系数的估计值。计算的目的是要求出确定的样本回归函数，即显然，即ei是yi的实践值与估计值之差，称作样本剩余项或残值。2.规范线性回归模型的假设条件满足下面四个条件的线性回归模型称为规范或古典线性回归模型。(1)E(μi|χi)=0(2)Cov(μi,μj)=0(3)Var(μj|χi)=σ2(4)Cov(ui,xi)=0给定一个xi,yi有许多值与之相对应，但这些值与它们的均值的偏向ui的期望值或平均值为零。即恣意两个χi,χj所对应的随机扰动项μi与μj是不相关的，称随机扰动项不存在序列相关。对于每一个χi,μj的方差总是等于某一个常数σ2。扰动项与解释变量不相关。3．模型估计对数据的要求回归分析的主要目的是经过样本回归推断总体。因此，样本数据能否符合规格要求，决议着能否准确推断。估计消费函数根本线性回归模型所用的数据，有时间序列数据、截面数据或时序—截面数据之别。对于样本容量大小的要求，也主要决议于建立模型的目的和用途，但普通要求样本容量应数倍于待估计参数的个数，各解释变量的察看值之间不能存在相互线性表达的关系，数据力求准确、可靠、不思索丈量误差。4．正规方程的推导估计规范线性回归模型的参数可采用普通最小二乘法。总的目的，是要最大限制地提