2024年中考数学复习：阿氏圆最值模型专项练习

阿氏圆最值模型专项练习

1半径上截取型阿氏圆最值问题（初三）

如图.在AABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以C为圆心,6为半径的圆上有一动点D.连接AD、BD、CD,则|4D+BD的最小

A.3V15B.4V10C.5V5D.6V3

2圆外倍长型阿氏圆最值问题（初三）

如图.在。O中点A、点B在。O上,ZAOB=90°,0A=6,点C在OA上,且OC=2AC,点D是OB的中点.点M是劣弧AB上的动

点则CM+2DM的最小值为一.

3半径上截取型阿氏圆最值问题（初三）

如图,在RtAABC中，ZC=90°,AC=9,BC=4,以点C为圆心,3为半径做OC,分别交AC,BC于D,E两点点P是。C上一个动点,

贝！+PB的最小值为一.

4半径上截取型阿氏圆最值问题（初三）

如图,在RtAABC中,AB=AC=4,点E,F分别是AB,AC的中点,点P是扇形AEF的EF弧上任意一点,连接BP,CP,则:BP+CP

的最小值是—.

5求差的最大值型阿氏圆最值问题（初三）

如图，已知菱形ABCD的边长为8,ZB=60°,,圆B的半径为4,点P是圆B上的一个动点，则PD-的最大值为

AD

6先提取系数型阿氏圆最值问题(初三)

如图，在AABC中，乙4cB=90。,BC=12,4C=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD,贝1|:2AD+3B

D)的最小值是—.

7平面直角坐标系中的阿氏圆最值问题(初三)

如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A,点M的坐标为(6,3),点N的坐标为(8,0),点P在圆

上运动.则PM+^PN的最小值是

8阿氏圆最小值模型(初三)

如图,半圆的半径为1,AB为直径,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为弧AB上一动点，孝PC+PD的最小值是()

A.—B.2V2C.V5P.V5-1+—

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9平面直角坐标系中隐形阿氏圆(初三)

如图，在平面直角坐标系中,A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,3),学习笔记：P是△40B外部的第一象限内一动点，且./BP4=

135。,,则2PD+PC的最小值是•一.

10阿氏圆最小值模型(初三)

已知:等腰RtAABC中，NACB=90。，AC=BC=8,0是AB上一点,以0为圆心的半圆与AC、BC均相切,P为半圆上一动点,连P

C'PB,如图，贝!JPC+孝PB的最小鳏_.

11阿氏圆模型的问题探究和推广运用(初三)

⑴初步思考:如图1,在△PCB中，已知PB=2,BC=4,N为BC上一点且BN=1,试证明:PN.PC

(2)问题提出：

如图2,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值.

(3)推广运用：

如图3,已知菱形ABCD的边长为4,NB=60。,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD-}PC的最大值.

12二次函数压轴题中的阿氏圆模型(初三)

如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=/+6久+c经过第另褊足,：与x

轴的另一交点为B.

(1)求抛物线解析式及B点坐标；

(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点

M的坐标及四边形AMBC的面积；

⑶如图2,若P点是半径为2的。B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+的值最小，请求出这个最小

值，并说明理由.

13二次函数压轴题中的阿氏圆模型(初三)

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C(2,-3),且与x轴交于原点及点B(8,0).

(1).求二次函数的表达式；

(2).求顶点A的坐标及直线AB的表达式；

(3).判断△48。的形状，试说明理由；

(4).若点P为。O上的动点,且。O的半径为2VX-动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点

P,再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值.

14二次函数几何综合阿氏圆模型压轴题(初三)

如图，抛物线y=ax?+bx+5与x轴交于A,B两点与y轴交于点C,AB=4.抛物线的对称轴x=3与经过点觉的=kx

-1交于点D,与x轴交于点E.

(1).求直线AD及抛物线的表达式；

(2).在抛物线上是否存在点M,使得AADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明

理由；

(3).以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为。B上一个动点，请求出PC+的最小值

15阿氏圆最小值模型(初三)

如图所示，在△4BC中,=90°,BA=BC=2,以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点,连接PA、PC,则.aPA

16阿氏圆模型阅读理解和应用题(初三)

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点A、B，则所有符合普=k(k)0目厚1)的点P会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿

氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标系中，在x轴,y轴上分另1］有点C(m,0),D(0,n),点P是平面内一动点且OP=r，设黑=k,求PC+k

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步:如图1,在OD上取点M,使得OM:OP=OP-,OD=k;

第二步：证明kPD=PM;第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程(部分)：

解:在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k,

又；乙POD=乙MOP,：.APOM-ADOP.

【任务】

⑴将以上解答过程补充完整.

(2)如图2,在R)A4BC中,N4CB=90。,4c=4,BC=3,D为A4BC内一动点,满足CD=2,利用⑴中的结论,请直接写出AD

+的最小值.

17阿氏圆最小值几何模型（初三）

如图，点A,B在。O上,且（OA=OB=12,0410B,,点C是OA的中点，点D在学习笔记:OB上,且（0D=10„动点P在＜30上,

求PC+5PD的最小值.

18阿氏圆最值模型的问题探究和拓展延伸（初三）问题提出：如图①，在Rt△ABC中,NC=90°,CB=4,CA=6,0C的半径为2,P

为圆上一动点,连接AP、BP,求4P+mBP的最小值.

（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP,在CB上取一点D,使CD=1,则*=m=/又

乙PCD=/BCP,所以△PCDAABCP.所以*=*=[.所以PD=^PB,所以AP+^BP=AP+PD请你完成余下的思考，并直接写出

答案：AP+：BP的最小值为一；

。）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求+8P的最小值；

（3）拓展延伸:如图3,已知在扇形C0D中，ZCOD=90°,OC=6,OA=3,0B=5,P是CD弧上一点求2PA+PB的最小值.

19阿氏圆最小值几何模型（初三）

如图，在平面直角坐标系中，已知4（-4，-4）、8（0,4）、C（0，-6）、学习笔记：D（0,-1）,AB与x