根的判别式及根及系数的关系专题

./第4周根的判别式与韦达定理典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是。例2、关于x的方程有实数根,则m的取值范围是<>A.B.C.D.例3、已知关于x的方程<1>求证：无论k取何值时,方程总有实数根；<2>若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。例4、已知二次三项式是一个完全平方式,试求的值.说明：若二次三项式为一个完全平方式,则其相应方程的判别式即：若,则二次三项式为完全平方式；反之,若为完全平方式,则.例5、为何值时,方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：★1、当k时,关于x的二次三项式是完全平方式。★2、当取何值时,多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？★3、已知方程有两个不相等的实数根,则m的值是.★★4、为何值时,方程组★★★5、当取何值时,方程〔1有两组相等的实数解,并求此解；〔2有两组不相等的实数解；的根与均为有理数？〔3没有实数解.跟踪训练：一、填空题：1、下列方程①；②；③；④中,无实根的方程是。2、已知关于的方程有两个相等的实数根,那么的值是。3、如果二次三项式在实数范围内总能分解成两个一次因式的积,则的取值范围是。4、在一元二次方程中,若系数、可在1、2、3、4、5中取值,则其中有实数解的方程的个数是。二、选择题：1、下列方程中,无实数根的是〔A、B、C、D、2、若关于的一元二次方程有两个不相等的实根,则的取值范围是〔A、B、≤C、且≠2D、≥且≠23、在方程〔≠0中,若与异号,则方程〔A、有两个不等实根B、有两个相等实根C、没有实根D、无法确定.三、试证：关于的方程必有实根。四、已知关于的方程的根的判别式为零,方程的一个根为1,求、的值。..五、已知关于的方程有两个不等实根,试判断直线能否通过A〔－2,4,并说明理由。六、已知关于的方程,问：是否存在实数,使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由。.七、已知＞0,关于的方程有两个相等的正实根,求的值。一元二次方程根与系数的关系〔韦达定理专题计算对称式的值例若是方程的两个根,试求下列各式的值：<1>； <2>； <3>； <4>．说明：利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形：,,,,,等等．韦达定理体现了整体思想．[课堂练习]1．设x1,x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根,则x12＋x22的值为_________2．已知x1,x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根,则x1＋x2＝,x1·x2＝,〔x1－x22＝3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2EQ\F<1,2>,则k=;4．若方程x2+<a2－2>x－3=0的两根是1和－3,则a=;5．若关于x的方程x2+2<m－1>x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根,7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,求下列各式的值：利用根与系数的关系,求下列各式的值：<1>x12x2+x1x22<2>EQ\F<1,x1>－EQ\F<1,x2>例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根,则这个直角三角形的斜边是〔 A.B.3C.6D.说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系,必须熟练掌握、、、之间的运算关系.例2、解方程组：例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根,〔1求k的取值范围；〔2是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由。例4、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程〔二次项系数为1时,小明因看错常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例5、已知,,,求变式：若,,则的值为。例6、已知是方程的两个根,那么.针对练习：解方程组2．已知,,求的值。3、已知是方程的两实数根,求的值。根与系数关系的三大用处〔1计算对称式的值〔2构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例解方程组

解：显然,x,y是方程z2-5z+6＝0①的两根由方程①解得z1=2,z2=3∴原方程组的解为x1=2,y1=3或x2=3,y2=2显然,此法比代入法要简单得多。〔3定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求k的取值范围。一元二次方程根与系数的关系练习题A组1．一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是< > A． B． C． D．2．若是方程的两个根,则的值为< > A． B． C． D．3．已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于O点,且OA、OB的长分别是关于的方程的根,则等于< > A． B． C． D．4．若是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式的关系是< > A． B． C． D．大小关系不能确定5．若实数,且满足,则代数式的值为< > A． B． C． D．6．如果方程的两根相等,则之间的关系是______7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根,则这个直角三角形的斜边长是_______．8．若方程的两根之差为1,则的值是_____．9．设是方程的两实根,是关于的方程的两实根,则=_____,=_____．10．已知实数满足,则=_____,=_____,=_____．11．对于二次三项式,小明得出如下结论：无论取什么实数,其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若,关于的方程有两个相等的的正实数根,求的值．13．已知关于的一元二次方程． <1>求证：不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根； <2>若方程的两根为,且满足,求的值．14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长． <1>取何值时,方程存在两个正实数根？ <2>当矩形的对角线长是时,求的值．B组1．已知关于的方程有两个不相等的实数根． <