青岛理工大学高等数学(二)期末复习题及参考答案

PAGE1第7页《高等数学Ⅱ》练习题一．填空题1.设级数收敛，且，则级数2u-u1．2．设幂级数的收敛半径为，幂级数的收敛半径为，且，则幂级数的收敛半径为．3.设，则．4.微分方程=的通解为．5．交换累次积分的顺序．6.设级数收敛，且，则级数．7．设幂级数的收敛半径为，幂级数的收敛半径为，且，则幂级数的收敛半径为．8.设，则．9.微分方程=的通解为．10．交换累次积分的顺序．二．选择填空题1．函数在该点处存在偏导数是函数在点处连续的(D)．（A）．充分条件；（B）．必要条件；（C）．充分必要条件；（D）．既不是必要，也不是充分条件．2．所表示的曲面是（D）．(A)．锥面；(B)．柱面；（C）．球面；(D)．旋转抛物面．3．下列级数中，属于条件收敛的是(D)．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．4．与在点处连续是的(B)．（A）．充分条件；（B）．必要条件；（C）．充分必要条件；（D）．既非充分条件，又非必要条件．5．下列方程中，（C）是一阶线性微分方程．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．D、．6.设，则当时，的（B）A)等价无穷小B)同阶但非等价无穷小C)高阶无穷小D)低阶无穷小7.若曲线在点处相切，其中为常数，则（D）A)（B)C)D)8.（C）A)B)C)D)9.二元函数当时的极限（C）A)为0B)不为0C)不存在D)无法判断10.当（A）A)有且仅有水平渐进线B)有且仅有铅垂渐进线C)水平渐进线与铅垂渐进线都有D)不存在水平和铅垂渐进线11．函数在点处连续是函数在该点处存在偏导数的(D)．（A）．充分条件；（B）．必要条件；（C）．充分必要条件；（D）．既不是必要，也不是充分条件．12．所表示的曲面是（D）．(A)．锥面；(B)．柱面；（C）．球面；(D)．旋转抛物面．13．下列级数中，属于条件收敛的是(D)．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．14．与在点处连续是的(B)．（A）．必要条件；（B）．充分条件；（C）．充分必要条件；（D）．既非充分条件，又非必要条件．15．下列方程中，（C）是一阶线性微分方程．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．D、．三．求幂级数的收敛半径。解：由幂级数的系数得出（故收敛半径为四．计算二重积分的值．解：作极坐标变换：，则有（3分）．五．设解：六．某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为台和台，成本函数为（万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数在条件下的最小值构造辅助函数解方程组解得这唯一的一组解即为所求，当这两种型号的机床分别生产台和台时，总成本最小，最小成本为：（万）七．（本题满分8分）求微分方程的通解．解：该方程为一阶线性微分方程因此，，．代入一阶线性微分方程的求解公式，有所以，原方程的通解为八．设数列单调减小，且，又级数发散，证明：级数收敛．证明：因为单调减小，且，即单调减小有下界，故收敛，设其极限为，即，又因为发散，所以（否则交错级数收敛）。于是对于任意的有，而等比级数收敛，故由比较判别法知级数收敛九．当轮船的前进速度为时，推进器停止工作，已知受水的阻力与船速的平方成正比（比例系数为，其中为常数，而为船的质量）．问经过多少时间，船的速度减为原速度的一半？解：由题意，得方程，，解方程，得，由初始条件，得，因此，有．当时，，即经过时间，船的速度减为原速度的一半．十．设函数所确定，求解：令，等式两边对x求导：等式两边对y求导：十一.求解下列常微分方程1.2.解：(1)令代入齐次方程：，齐次方程解：令代入非齐次方程：方程解：(2)令，故14．设z=ey(x2解：dz=∂z∂xdx+∂z∂y15．设D为矩形，则二重积分Dy解：D十二、求曲线和直线所围成图形的面积．解曲线和直线的交点满足方程组解得交点为．