新教材2024版高中数学第三章函数的概念与性质3.4函数的应用一课件新人教A版必修第一册

第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)学习目标素养要求1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具数学建模2．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律数学建模|自学导引|

常见的函数模型y＝kx＋b

y＝ax2＋bx＋c

【预习自测】一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为 (

)A．y＝20－x(0＜x＜10) B．y＝20－2x(0＜x＜20)C．y＝40－x(0＜x＜10) D．y＝40－2x(0＜x＜20)【答案】A

【解析】由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x．又因为20－x＞x，所以0＜x＜10．故选A．

解决函数应用问题的步骤(一)审题；(二)建模；(三)解模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：【答案】2500

|课堂互动|题型1一次函数、二次函数模型商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？解：(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k＜0)．因为0＝300k＋b，即b＝－300k，所以n＝k(x－300)，所以利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100，300])．因为k＜0，所以x＝200时，ymax＝－10000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意，得k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．一次函数、二次函数模型问题的两个注意点(1)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．1．如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_____m．【答案】0.5

【解析】若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系，则抛物线的对称轴为直线x＝1．设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋2.5，当x＝0.5时，y＝0.25a－a＋2.5＝1，解得a＝2．∴y＝2(x－1)2＋0.5．∴绳子的最低点距地面的距离为0.5m．(2)由(1)知，①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函数图象开口向下，对称轴为直线t＝5，该函数在t∈[0，5]单调递增，在t∈(5，10]单调递减，所以ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝1200(当t＝0或10时取得)．②当10＜t≤20时，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，图象开口向上，对称轴为直线t＝45，该函数在t∈(10，20]单调递减，所以ymax＜1200(当t＝10时取得1200)，ymin＝600(当t＝20时取得)．由①②知ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”)．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域)．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)．2．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠8元，并且赠送10元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为____________(代金券相当于等价金额)．题型3幂函数模型的应用某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式．(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式．(2)利用函数关系式解决相关问题．(3)回归到应用问题中去，给出答案．3．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s，求该气体通过半径为rcm的管道时，其流量R的函数解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量．|素养达成|1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题转化的过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化(体现了数学建模核心素养)．4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如右图所示．1．(题型1)一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是 (

)A．y＝2t B．y＝120tC．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)【答案】D

【解析】90min＝1.5h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是y＝120t(t≥0)．【答案】D

【解析】显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数．3．(题型3)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(单位：万元)与药品利润y(单位：万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为________万元．【答案】125