高考数学一轮复习 讲义空间点直线平面之间的位置关系 教师

课题：空间点、直线、平面之间的位置关系知识点1．平面的概念：几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的．2．平面的画法：常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①．如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②．3．平面的表示法：图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．4．点、线、面之间的位置关系图①中,点在直线上,记作；点不在直线上,记作

图②中,点在平面内,记作；点不在平面内,记作

图③中,直线在平面内,记作

图④中,直线不在平面内,记作；直线不在平面内,记作

5．平面的基本性质及作用公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论：①经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面②经过两条相交直线，有且只有一个平面③经过两条平行直线，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）符号语言：公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：6．定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）7．空间两直线的位置关系异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线．（2）异面直线的画法（衬托平面法）如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．（3）判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交．空间两条直线的三种位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点,平行直线：在同一平面内，没有公共点)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))8．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示9．平面与平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点（在一条直线上）符号表示α∥βα∩β＝l图形表示典型例题例1点A在直线l上，直线l在平面内，用符号表示，正确的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】点A在直线l上，则，l在平面内，则故选：D例2若直线和没有公共点，则与的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面【答案】D【解析】因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选：D．例3下列命题中正确命题的个数是（

）①三角形是平面图形；

②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】在①中，有不共线的三点确定一个平面，得三角形是一个是平面图形，故①为真命题；在②③中，若这四条边不在同一平面内，例如空间四边形，则该四边形则不是平面图形，∴②③为假命题；在④中，圆是平面图形，∴④为真命题；故选：B．例4（多选）下列叙述中正确的是（

）A．三点能确定一个平面B．若点且，则C．若直线，则直线与直线能够确定一个平面D．若点，且，则【答案】BCD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于B，若点且，则由公理二知，故B正确；对于C，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确；对于D，若点，且，则由公理一知l⊂α，D正确．故选：BCD．例5如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论：①A、M、O三点共线；

②A、M、O、不共面：③A、M、C、O共面；

④B、、O、M共面，其中正确的序号为_________．【答案】①③【解析】连接，因为是的中点，所以，平面与平面有公共点A与，则平面平面，对于①，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以①正确，对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②错误，③正确；对于④，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面，所以平面，显然平面，所以④错误，故答案为：①③例6如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（

）直线与直线异面 B．直线与直线共面 C．直线与直线异面 D．直线与直线共面【答案】B【解析】如图，点与点重合，故A错误；∵，且，∴四边形是平行四边形，∴，∴与是共面直线，故B正确；∵，∴与相交，故C错误；∵，不在一个平面内，且与既不平行也不相交，∴，是异面直线，故D错误．故选：B．例7如图，长方体的12条棱中与异面的共有（

）A．4条 B．5条 C．6条 D．7条【答案】C【解析】由题意，长方体的12条棱中与异面的有共6条故选：C例8如图，在三棱柱中，是正三角形，E是的中点，则下列叙述中正确的是（

）A．与是异面直线 B．与共面C．与是异面直线 D．与所成的角为【答案】C【解析】对于A，由于与都在平面内，故与是共面的，故错误对于B，由于在平面内，而与平面相交于点，点不在上，故与是异面直线，同理，与是异面直线，所以B错误，C正确．对于D，与所成角就是与所成角，且E是的中点，也为正三角形，所以，即与所成的角为，故错误．故选:C．例9（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（

）A．直线与直线共面 B．直线与直线异面C．直线与直线共面 D．直线与直线异面【答案】ACD【解析】如图，点与点重合，则与相交，故A正确；在正方体中，且，故四边形为平行四边形，，则、共面，故B错误；因为，故、共面，故C正确；由图可知，、不在同一个平面，且、既不平行也不相交，、为异面直线，故D正确．故选：ACD．例10（多选）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（）A．直线AM与是相交直线B．直线BN与是异面直线C．AM与BN平行D．直线与BN共面【答案】BD【解析】A选项，∵四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线AM与是异面直线，故选项A错误；B选项，∵四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线BN与是异面直线，故选项B正确；C选项，取的中点E，连接AE、EN，则有，所以四边形是平行四边形，所以，∵AM与AE交于点A，∴AM与AE不平行，则AM与BN不平行，故选项C错误；D选项，连接，因为，分别为棱，的中点，所以，由正方体的性质可知：，所以，∴四点共面，∴直线与BN共面，故选项D正确．故选：BD．例11下列说法正确的是（

）A．三点确定一个平面 B．两个平面可以只有一个公共点C．三条平行直线一定共面 D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面【答案】D【解析】对于A，因为不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于B，若两个平面有一个公共点，那么就有一条经过该点的公共直线，即交线，该交线上有无数个公共点，故B错误；对于C，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条确定的平面外，故C错误；对于D，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面，当三条直线两两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面，此时其中任意两条直线都可确定一个平面，即可确定3个平面，故D正确，故选：D举一反三1．下列条件中不能确定一个平面的是（

）A．不共线三点 B．两条相交直线 C．两条平行直线 D．四边形【答案】D【解析】A、B、C：由共面公理，三个不共线的点可以确定一平面、两条相交直线或平行直线都可以确定一个平面；D：四边形有平面四边形和空间四边形，故不一定能确定一个平面．故选：D2．已知表示不同的点，表示直线，表示不同的平面，则下列推理中错误的是（

）A．，，，B．，，，C．，与重合D．，，【答案】C【解析】对于A，，，则上所有点均在平面内，即，A正确；对于B，，，在平面与平面的交线上，即，B正确；对于C，若三点共线，则由，，可得在平面与平面的交线上，无法得到与重合，C错误；对于D，，，，且，则与相交，即，D正确．故选：C．3．已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在A图中，分别连接，由正方体可得四边形为矩形，则，因为为中点，故，则，所以四点共面．在B图中，设为所在棱的中点，分别连接，由A的讨论可得，故四点共面，同理可得，故，同理可得，故平面，平面，所以六点共面．在C图中，由为中点可得，同理，故，所以四点共面．在D图中，为异面直线，故选：D．4．已知平面，直线，则直线a，b的位置关系为（

）A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面【答案】D【解析】平面，直线，如图在正方体中，令平面，平面，当时，显然有，当时，显然有与异面，所以直线a，b的位置关系为平行或异面，故选：D5．下列命题中正确的是（

）A．过三点确定一个平面 B．四边形是平面图形C．三条直线两两相交则确定一个平面 D．两个相交平面把空间分成四个区域【答案】D【解析】选项A：过不共线的三点有且只有一个平面，故选项A错误；选项B：四边形可能是平面图形也可能是空间图形，故选项B错误；选项C：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面，故选项C错误；选项D：平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故选项D正确．故选：D．6．如图，在长方体中，则下列结论正确的是（

）A．点平面 B．直线平面C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线【答案】D【解析】在长方体中，直线平面，点，且不重合，即点平面，A不正确；点平面，点平面，即直线平面，B不正确；直线平面，则与平面无公共点，直线平面，所以直线与直线没有公共点，C不正确；直线平面，即直线与平面无公共点，直线平面，则直线与直线没有公共点，又，直线，即直线与直线不平行，因此直线与直线是异面直线，D正确．故选：D7．（多选）如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是（

）A．点A在平面内 B．C．平面平面 D．直线EH与直线FG相交【答案】AD【解析】连接、、、，若是的中点，连接、，由题设，且，则为平行四边形，所以且，又E是中点，故且，则为平行四边形，所以且，综上，且，故共面，A正确；由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行，且，不可能有，B错误；由面，面，故面面，又面，而，故平面平面，C错误；连接，又G、H分别是AB、AD的中点，则且，E、F分别是、的中点，则且，所以，即共面，且，故直线EH与直线FG相交，D正确．故选：AD课后练习1．如图所示，用符号语言可表述为（）A．，，B．C．D．【答案】A【解析】由题可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，所以用符号语言可表示为，，，故选：A．2．下列推理错误的是（

）A．，，，B．，，，C．，D．，【答案】C【解析】由，，，根据公理1可得，A对，由，根据公理1可得，D对，由，可得或，C错，由，，，根据公理2可得，B对，故选：C3．（多选）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A：,则点A可能在面α内，也可能不在面α内．故A错误；对于B：为公理2，可判断面面相交．故B正确；对于C：为公理1，可判断出线在面内．故C正确；对于D：说明直线与平面有公共点，又，所以．故D正确．故选：BCD．4．（多选）设P表示一个点，表示两条直线，表示两个平面，下列说法不正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，，则【答案】AB【解析】当时，P∈a，，但α，A错；当a∩β=P时，,B错；∵，P∈b，∴，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又，由a与b确定唯一平面，该平面经过直线a与点P，∴该平面与α重合，∴，故C正确；两个平面的公共点必在其交线上，故D正确．故选：AB．5．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（

）A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面【答案】C【解析】因为，则，，，四点共面．因为，则平面，又平面，则点在平面与平面的交线上，同理，、也在平面与平面的交线上，所以、、三点共线，从而，，，四点共面，，，，四点共面．由长方体性质知：，是异面直线，即，，，四点不共面．故选：C．6．下列命题中①空间中三个点可以确定一个平面．②直线和直线外的一点，可以确定一个平面．③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面．④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面．⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合．真命题的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误；命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误；命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误；命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误；故选：A．7．（多选）有下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平