北京市朝阳区九年级上册期中数学试卷 含解析

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九年级（上）期中数学试卷

一.选择题（共8小题）

1.下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A=B=cTTDOO

2.将二次函数y=9图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是

（）

A,y=(A+1)2+2B.y=(.x-1)2-2C.y=(A+1)2-2D.y=(x-1)2+2

3.如图，四边形被力内接于£为少延长线上一点，如果N4%120°,那么N5等

A.a>09b>09c>QB.a<0,b<09c<Q

C.a<0,b>09c<0D.a>09b<09c>0

5.半径为7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是()

A.(3,4)B.(4,4)C.(4,5)D.(4,6)

6.如图，把菱形ABOC绕息0顺时针旋转得到菱形DFOE,则下列角中不是旋转角的为（）

A.NBOFB.NAODC.Z.COED.NCOF

7.《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以

锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”用数学语言可表述为：“如图，切为。0

的直径，弦血1比于耳磔=1寸，心=10寸，求直径皮的长则或=（）

8.如图，Rt△被7中，AC=BC=2,正方形颂F的顶点D、尸分别在4C、比边上，设CD

的长度为％△被7与正方形龙印重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之

间的函数关系的是（）

二.填空题（共8小题）

9.请写出一个开口向上，且对称轴为直线x=3的二次函数解析式.

10.点尸(1,-2)关于原点的对称点的坐标是.

11.如图，把△嫉■绕点。按顺时针方向旋转35°,得到△/S'C,A'B'交ZC于点。若

12.颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州

拙政园、苏州留园并称为中国四大名园.该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2

米的正六边形，那么这个地基的面积是米2.

13.如图，抛物线尸苏与直线尸如c的两个交点坐标分别为Z(-2,4),B(1,1),

则关于x内方鞋城-bx-c=0的解为.

14.如图，PA,用是。0的切线，/、8分别为切点，网交圆于点C,若三60°,PC

15.阅读下面材料：

在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题:

尺规作图：过圆外一点作圆的切线.

巳知：尸为。。外一点.

求作：经过点夕的。0的切线.

小敏的作法如下：

如图，

(1)连接多作线段8的垂直平分线邮交8于点C；

(2)以点C为圆心，切的长为半径作圆，交。。于4,B两点;

(3)作直线*,PB.所以直线总，阳就是所求作的切线.

老师认为小敏的作法正确.

请回答：连接出，0B后,可证N4l4/-Ng=90°,其依据是;由此可证明直

线切，阳都是。。的切线，其依据是.

16.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点0逆时针旋转45°后得到正方形OAM,

依此方式，绕点。连续旋转2019次得到正方形6M期曲19GM9,如果点A的坐标为(1,0),

那么点用(H9的坐标为.

三.解答题(共12小题)

17.已知：二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式.

18.巳知二次函数尸f-6A+8.

(1)将尸6外8化成尸a(x-hi)?+”的形式;

(2)画出这个二次函数的图象；

(3)当0WxW4时，y的取值范围是.

109-

8

7

6

5

4

3

2

1

1II[1I111

.12345678910x

19.如图，A,。是半圆上的两点，。为圆心，比是直径，/力=35°,求/物。的度数.

20.如图，在平面直角坐标系中，阳的三个顶点坐标分别为4(1,0),0(0,0),8(2,

2).以点0为旋转中心，将如逆时针旋转90°,得到△出阳.

(1)画出△出阳；

(2)直接写出点4和点名的坐标；

(3)求线段隔的长度.

21.一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此件文物进行复

原，因此把残片抽象成了一个弓形，如图，经过测量得到弓形高3=工米，/优=30°,

5

请你帮助文物学家完成下面两项工作：

(1)作出此文物轮廓圆心0的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)求出弓形所在圆的半径.

22.如图，在等边△布中，点〃是四边上一点，连接切，将线段如绕点C按顺时针方

向旋转60。后得到您连接版求证：AE//BC.

23.如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三

角形，使其一个顶点与抛物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角

24.如图，割线被7与。。相交于8、。两点，〃为。。上一点，£为弧死的中点，OE交BC

于F,应交47于G,NADG=NAGD.

(1)求证明：物是。〃的切线；

(2)若N4=60。，。。的半径为4,求助的长.

25.吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数尸一^一的图象和性质进行了如

X2-4X+5

下探究，请帮他把探究过程补充完整

(1)该函数的自变量X的取值范围是.

(2)歹悚：

X・・・-2-10123456•••

y•・・5m-15-5n-1_A5・・・

"TFF2~TF

表中H=,n=.

(3)描点、连线

在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系S中，描出上表中各对对应值为坐标

的点(其中x为横坐标，y为纵坐标)，并根据描出的点画出该函数的图象：

①;

②.

26.在平面直角坐标系xCy中，抛物线y=-f+2㈤r-zz^+l的对称轴是直线x=l.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点〃(A,yi),£(3,乃)在抛物线上，若请直接写出A的取值范围；

(3)设点“(p,(?)为抛物线上的一个动点，当-1V0V2时，点〃关于y轴的对称点

都在直线y=Ax-4的上方，求A的取值范围.

27.已知：在△被7中，Z.BAC=^°,AB=AC.

(1)如图1,将线段ZC绕点4逆时针旋转60°得到似连结卬、BD,N54C的平分线

交朋于点反连结出

①求证：NAED=NCEDi

②用等式表示线段被CE、加之间的数量关系(直接写出结果)；

(2)在图2中，若将线段47绕点Z顺时针旋转60°得到期连结CD、BD,N班C的平

分线交出的延长线于点£连结出请补全图形，并用等式表示线段被CE、加之间

的数量关系，并证明.

D

图1

28.定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆

如图，抛物线y=9-2x-3与x轴交于点4B,与y轴交于点。，以四为直径，在x

轴上方作半圆交y轴于点G半圆的圆心记为〃,此时这个半圆与这条抛物线x轴下方部

分组成的图形就称为“蛋圆”.

(1)直接写出点A,B,。的坐标及“蛋圆”弦皮的长；

A,B,C,CD=；

(2)如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

①求经过点。的“蛋圆”切线的解析式；

②求经过点，的“蛋圆”切线的解析式；

(3)由(2)求得过点〃的“蛋圆”切线与x轴交点记为E,点F是“蛋圆”上一动点,

试问是否存在心片5△衣，若存在请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)点P是“蛋圆”外一点，且满足NgX60°,当即最大时，请直接写出点户的坐

备用图

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

=B=D

ACITOO

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案.

【解答】解：A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

员不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

G是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确.

故选：D.

2.将二次函数尸步图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是

()

A.y=(A+1)2+2B.y=(x-1)2-2C.y=(jf+1)2-2D.y=(x-1)2+2

【分析】抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果.

【解答】解：原抛物线的顶点为(0,0),向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那

么新抛物线的顶点为(-1,-2),

可设新抛物线的解析式为：y=(x-K)2+k,

代入得：尸(户1)2-2.

.•.所得图象的解析式为：y=(户1)2-2；

故选：C.

3.如图，四边形被力内接于。0,£为应延长线上一点，如果N4乃一120。，那么N8等

【分析】由四边形被笫内接于可得/»■/小%-180°,又由/四丹/延乃-180°,

即可求得N8=N4®=120°.

【解答】解：加6N4®=180°,N班N37=180°,

:・NB=NADE=1200.

故选：B.

4.二次函数尸薮的图象如图所示，则下列结论正确是()

A.a>0,A>0,c>0B.a<0,8V0,c<0

C.a<0,b>09c<QD.a>0,b<09c>Q

【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定aVO,再根据对称轴在，轴右，可确定

a与6异号，然后再根据二次函数与y轴的交点可以确定c>0.

【解答】解：•.•抛物线开口向上，

：.a>0,

•对称轴在y轴右侧，

...a与6异号，

：.b<Q,

•.•抛物线与y轴交于正半轴，

；.c>0,

故选：D.

5.半径为7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是()

A.(3,4)B.(4,4)C.(4,5)D.(4,6)

【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系.本题

可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,则时，点在圆外；当</=/•时，点在

圆上，当dVr时，点在圆内.

【解答】解：4d=5<r,所以在圆内；

B、d=4y/2<r,所以在圆内；

C、占'历Vr,所以在圆内；

D、d=2yfl3>r,所以在圆外.

故选：D.

6.如图，把菱形被心绕点。顺时针旋转得到菱形加阳则下列角中不是旋转角的为（)

A.Z.BOFB.Z.AODC.Z.COED.Z.COF

【分析】两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案.

【解答】解：4如旋转后的对应边为第故N9可以作为旋转角，故本选项错误；

B、如旋转后的对应边为阳，故N4即可以作为旋转角，故本选项错误；

C、比旋转后的对应边为何故应可以作为旋转角，故本选项错误；

D、笫旋转后的对应边为龙不是阳故NQ用不可以作为旋转角，故本选项正确；

故选：D.

7.《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以

锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”用数学语言可表述为：“如图，龙为。0

的直径，弦但L%于我，初=1寸，-10寸，求直径皮的长则折（）

【分析】连接如构成直角三角形，先根据垂径定理，由龙垂直也得到点£为血的中

点，由340可求出血的长，再设出圆的半径由为我表示出好根据勾股定理建立

关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可

得到答案.

【解答】解：连接如，且相=10,

：.AE=BE=5,

设圆o的半径总的长为%则比三折X

■:DE=\,

：.OE=x-1,

在直角三角形/龙中，根据勾股定理得:

X-(x-1)2=52,化简得：x-x+2z-l=25,

即2x=26,

解得：x=13

所以07=26(寸).

8.如图，Rt△被7中，AC=BC=2,正方形CZffiF的顶点D、尸分别在4C、■边上，设CD

的长度为x,△胸与正方形。厮重叠部分的面积为人则下列图象中能表示y与x之

间的函数关系的是()

【分析】分类讨论：当0V41时，根据正方形的面积公式得到尸步；当1V42时,

初交班于乂斯交协于M利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形例也

的面积得到尸¥-2(x-1)②，配方得到尸-(X-2)2+2,然后根据二次函数的性质

对各选项进行判断.

【解答】解：当OVxWl时，y=x,

当1<M2时，ED费AB于M,EF交AB于N,如图，

CD=x,则AD=2-x,

•；Rt△被7中，AC=BC=2,

...△儿必为等腰直角三角形，

：.DM=2-x,

：.EM=x-(2-x)=2x-2,

:(2X-2)，(A-1)2,

2

'.y=-x-2(x-1)2=-x+4x-2--(x-2)2+2,

.x2,(O<x<1)

•,t-(x-2)2+2,(l<x<2)^

9.请写出一个开口向上，且对称轴为直线尸3的二次函数解析式y=f-6K6.

【分析】因为开口向上，所以a>0；根据对称轴为段2可知顶点的横坐标为3,纵坐标

可任意选择一个数，由顶点式写出二次函数解析式.

【解答】解：依题意取a=l,顶点坐标（3,-3）,

由顶点式得尸（x-3）2-3.

即y=x-6A+6.

故答案为：y=x-6A+6（答案不唯一）.

10.点尸（1,-2）关于原点的对称点的坐标是（-1,2）.

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号

相反，即点尸（£,y）关于原点0的对称点是户（-x,-y）可以直接得到答案.

【解答】解：•.,点尸（1,-2）,

...关于原点的对称点的坐标是：（-1,2）

故答案为：（-1,2）.

11.如图，把△胸绕点C按顺时针方向旋转35°,得到△/!'ffC,A'B'交ZC于点。.若

【分析】根据题意得出N4。'=35°,则N4=90°-35°=55°,即可得出N4的

度数.

【解答】解：•.•把△胸绕点C按顺时针方向旋转35°,得到B'C,A'B'交AC

于点。，ZA'况-90。，

/.ZACA'=35°,则=90°-35°=55°,

则N4=N/'=55".

故答案为：55°.

12.颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州

拙政园、苏州留园并称为中国四大名园.该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2

米的正六边形，那么这个地基的面积是」强一米:

【分析】首先根据题意画出图形，易得△砥7是等边三角形，继而可得正六边形的边长，

由SJE大边用=6治潮求得结果即可.

【解答】解：如图所示：

连接阳OC,过点。作皿况■于小

:六边形ABCDEF是正六边形,

二工X360°=60°,

6

'：OB=OC,

二△败1是等边三角形，

：.BC=OB=OC,

2

：.OH=M，

S正大边形=6SX@c=6xlx2XA/3=6A/3«

2

故答案为：673.

13.如图，抛物线尸a?与直线尸仆c的两个交点坐标分别为力(-2,4),5(1,1),

则关于x的方程ax-bx-c=0的解为为=-2,苞;=1.

【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组了、X~的解为

Ly=bx+c

"xi=-2fx2=l

,，于是易得关于x的方程a?-"-c=0的解.

y『4[y2=l

【解答】解：•.•抛物线尸a?与直线尸如C的两个交点坐标分别为4(-2,4),8(1,

1),

f_2X[=-2(x2=l

.•.方程组.了T乂的解为

力=4，[丫2=[

y=bx+c

即关于x的方程a/-bx-c=0的解为为=-2,x2=l.

故答案为X1=-2,至=1.

14.如图，PA、而是。。的切线，45分别为切点，小交圆于点C,若N"ff=60°,PC

=6,则4C的长为」料

A

B

【分析】如图，设⑦交。。于点。，连接4?.由切线的性质易证是含30度角的直

角三角形，所以该三角形的性质求得半径=2；然后在等边勿中得到初=如=2；最

后通过解直角△力5来求4c的长度.

【解答】解：如图，设CP交。。于点〃，连接M设。。的半径为r.

TPA、PB是。。的切线,ZAPB=6Q°,

：.OA±AP,ZAPO=^ZAPB=30a.

2

：.OP=2OA,4冉60°,

：.PC=2OA^-OC=3r=6,则r=2,

VZAOD=60°,AO=DO,

...△4如是等边三角形，则〃>=a=2,

又是直径，

：.ZCAD=9Q0,

二4g30°,

.MO砂cot30°=2，m，

故答案为2次.

15.阅读下面材料：

在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题:

尺规作图：过圆外一点作圆的切线.

已知：尸为。。外一点.

求作：经过点尸的。。的切线.

小敏的作法如下：

如图，

(1)连接8,作线段8的垂直平分线的交。于点G

(2)以点C为圆心，C0的长为半径作圆，交。。于4,5两点；

(3)作直线处，PB.所以直线*,所就是所求作的切线.

老师认为小敏的作法正确.

请回答：连接以，0B后,可证/。1跟=/嬲X90°,其依据是直径所对的圆周角是直

角；由此可证明直线叫，也都是。。的切线，其依据是经过半径外端，且与半径垂

直的直线是圆的切线.

【分析】分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案.

【解答】解：连接以，如后，可证NCI4P=/第三90°,其依据是：直径所对的圆周角

是直角；

由此可证明直线处，心都是。。的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直

线是圆的切线.

故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线.

16.如图，在平面直角坐标系中，将正方形614交绕点。逆时针旋转45°后得到正方形如心氏

依此方式，绕点0连续旋转2019次得到正方形四oi闻19coi9,如果点A的坐标为(1,0),

那么点的坐标为(-J20).

【分析】根据图形可知：点5在以0为圆心，以必为半径的圆上运动，由旋转可知：将

正方形OABC绕息0逆时针旋转45°后得到正方形OAM,相当于将线段如绕点0逆时

针旋转45°,可得对应点3的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.

【解答】解：•四边形物必是正方形，且以=1,

：.B(1,1),

连接见

由勾股定理得：0B=j2,

由旋转得：0B=0氏=0氏=0员=•“=啦,

•.•将正方形6M死绕点。逆时针旋转45°后得到正方形如由4,

相当于将线段如绕点0逆时针旋转45°,依次得到/4梦=/夕阳=/氏%=-=45°,

:.氏(0,&),展(-1,1),为(一弧,0),

发现是8次一循环，所以2019+8=252…余3,

二点屋。19的坐标为(-V2,0)

故答案为(-&,0).

三.解答题(共12小题)

17.已知：二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式.

【分析】根据函数图象知，该函数经过点(3,0)(-1,0)(0,-1).所以利用待定系

数法可求得该二次函数的解析式.

【解答】解：由对称性，函数图象与x轴另一个交点为(-1,0),

设二次函数解析式为尸a(A+1)(A-3)(aWO),

将(0,-1)代入，解得：a=l,

3

二二次函数解析式为尸工(A+1)(x-3),

3

即二次函数解析式为y=±^-lx-l.

33

18.巳知二次函数尸3-6K8.

(1)将y=f-6户8化成尸a(x-hi)?+A•的形式；

(2)画出这个二次函数的图象；

(3)当0WxW4时，y的取值范围是--1WK8.

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

-_12345678910x

-2

3

一

4

-«

【分析】(1)利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全

平方式，把一般式转化为顶点式；

(2)确定其对称轴、顶点坐标及与坐标轴的交点坐标后即可确定函数的图象；

(3)分别令x=0和4求得函数值后即可确定y的取值范围.

【解答】解:⑴y=x2-6户8

=-6A+9)-9+8

=(x-3)'-I；

(2)令;r=0,得尸=8,

令尸0,得『-6升8=0,解得尸2或L4,

则抛物线与x轴的交点为：(2,0),(4,0)；与y轴的交点为：(0,8).

由(1)题得：对称轴为x=3,顶点坐标为(1,-1),开口向上，故图象为：

(4)•.•当x=0时，尸8；当x=4时，y=0,

又•.•当L1时，y有最小值-8,

...当时，y的取值范围是-1WK8,

故答案为-1WK8.

19.如图，A,。是半圆上的两点，。为圆心，比是直径，NO=35。，求/如。的度数.

【分析】首先根据圆周角定理得到N5的度数，再求出N4必的度数，结合三角形内角和

或者等腰三角形的性质即可求出NaC的度数.

【解答】解法一：

：.ZB=ZD=35°,

•a1是直径,

AZBAC=90°.

/.ZACB=900-ZABC=55°,

,：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=55°.

解法二：

解：VZZ?=35O,

：.ZAOC=2ZD=70°,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

'：Z0AaZ0CA^ZA0C=180o,

：.ZOAC=55°.

20.如图，在平面直角坐标系中，△46®的三个顶点坐标分别为4(1,0),0(0,0),8(2,

2).以点0为旋转中心，将△力必逆时针旋转90°,得到阳.

(1)画出△由阳；

(2)直接写出点出和点瓦的坐标;

【分析】(1)分别作出点4和点5绕点。逆时针旋转90°所得对应点，再与点0首尾顺

次连接即可得；

(2)由所得图形可得点的坐标；

(3)利用勾股定理可得答案.

【解答】解：(1)画出阳，如图.

(2)点4(0,1),点>(-2,2).

(3)04=0B=Q之？+22=2

21.一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此件文物进行复

原，因此把残片抽象成了一个弓形，如图，经过测量得到弓形高切=工米，NG4/=30°,

5

请你帮助文物学家完成下面两项工作：

(1)作出此文物轮廓圆心0的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)求出弓形所在圆的半径.

【分析】(1)利用垂径定理可知，圆心。是47的中垂线与直线切的交点；

(2)连接Z0.首先利用"直角中的30度所对的直角边等于斜边的一半“求得47

=25=2,然后推知△?!必是等边三角形，则米.

55

【解答】解：(1)如图所示，点。即为所求作的点；

(2)连接40.

•.,在RtA4勿中，NG4ZH30。，

：.AC=2CD=^,467=60°

5

:.AgCO

：.AO=CO=AC=^.

5

答：此弓形所在圆的半径为2米.

22.如图，在等边△被7中，点。是四边上一点，连接或，将线段卬绕点C按顺时针方

向旋转60。后得到皈连接烈求证：AE//BC.

AE

BC

【分析】根据等边三角形的性质得出48密NB=NACB=60°,根据旋转的性质得出

CD=CE,ZDCE=60°,求出NBCD=NACE,根据S4S推出△况陵△/◎1,根据全等得出

ZEAC=ZB=6Q°,求出NE4f=NZ",根据平行线的判定得出即可.

【解答】解：•.•△腕是等边三角形，

：.AC=BC,ZB=ZACB=6Q°.

•.•线段切绕点C顺时针旋转60°得到CE,

：.CD=CE,NDCE=60",

：.ZDCE=ZACB,

即N8办NZO=NDC给■NACE,

：.ZBCD=ZACE,

rBC=AC

在△及笫与）中，＜ZBCD=ZACE

DC=EC

:.ABC阳AACE,

：.ZEAC=ZB=60°,

：.ZEAC=^ACB,

：.AE//BC.

23.如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三

角形，使其一个顶点与抛物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角

形的边长（结果精确到0.1,73^1.732）.

【分析】以抛物线的顶点0为坐标原点，过点0作直线四的平行线和垂线分别作为x

轴和y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为尸a/（aWO）,利用已知数据求出

a的值，再利用等边三角形的性质计算即可.

【解答】解：以抛物线的顶点。为坐标原点，过点。作直线四的平行线和垂线分别作为

X轴和了轴，建立平面直角坐标系.

则〃(3,-6)

设抛物线解析式为y=a^(aWO),

'：D(3,-6)在抛物线上代入得：2=工，

3

._22

,•y-^x，

•.•△曲是等边三角形，

/.0H=V3BH,

设B(x,-虫x),

■rr22

---V3x=~yx•

.'.X1=O

二BH='|V§，AB=3A/§-5.2(dm),

答：等边三角形的边长为5.2曲.

24.如图，割线胸与。。相交于反C两点，〃为。。上一点，£为弧国的中点，OE交BC

于凡DE交AC于G,NADG=NAGD.

(1)求证明：4?是。〃的切线；

(2)若N4=60。，。。的半径为4,求初的长.

【分析】(1)要证4?是。。的切线，只要连接如，再证N37=90°即可；

(2)作0H1ED千H,根据垂径定理得到应-2题根据等边三角形的性质和直角三角形

的性质即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接以

为犯的中点，

:.0E1BC千F.

:.NAG>NODE=NEGRNOED=90",

则OD=OE,

：.Z.ODE=Z.OED,

'：ZAGD=ZADG,

:.NADG^N0DE=9Q°.

即ODLAD,

是。。的切线；

(2)作OHLED^H,

：.DE=2DH,

,:ZADG=NAGD,

：.AG=AD,

'：ZJ=60°,

/.ZADG=60°,

：.ZODE=30°,

,:0D=4,

：.DH=^OD=2y[3,

2

：.DE=2Dff=4y/3.

25.吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数尸一一的图象和性质进行了如

x-4x+5

下探究，请帮他把探究过程补充完整

(1)该函数的自变量X的取值范围是一切实数.

(2)列表：

X•••-2-10123456•••

y・・・5m-15-5n-115.・・

节T~TF

衣甲m=,n=.

~2~~2~

(3)描点、连线

在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系的中，描出上表中各对对应值为坐标

的点(其中x为横坐标，y为纵坐标)，并根据描出的点画出该函数的图象：

②该函数图象关于直线x=2对称.

【分析】(D分式的分母不等于零；

(2)把自变量的值代入即可求解；

(3)根据题意描点、连线即可；

(4)观察图象即可得出该函数的其他性质.

【解答】解：(1)由尸一知，『-4妙5W0,所以变量x的取值范围是一切实

X2-4X+5

数.

故答案为：一切实数;

yui-------------------9a------------

(-1)2+4+5232-12+52

故答案为：苴；

22

(3)速立适当的直角坐标系，描点画出图形，如下图所示:

(4)观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图

象关于直线x=2对称.

故答案为：该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x=2对称

26.在平面直角坐标系x分中，抛物线y=-3+2曲一射+1的对称轴是直线尸1.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点〃(〃，yi),£(3,万)在抛物线上，若刀〈》，请直接写出〃的取值范围；

(3)设点〃(p,°)为抛物线上的一个动点，当-l〈pV2时，点〃关于y轴的对称点

都在直线尸公一4的上方，求A的取值范围.

【分析】(1)由抛物线的对称轴方程可求得片1,从而可求得抛物线的表达式；

(2)将L3代入抛物线的解析式，可求得乃=3,将尸3代入抛物线的解析式可求得

x\=-1,恁=3,由抛物线的开口向下，可知当当zr<-1或〃>3时，yi<yi;

（3）先根据题意画出点〃关于y轴对称点"的轨迹，然后根据点〃关于y轴的对称点

都在直线尸公一4的上方，列出关于A的不等式组即可求得A的取值范围.

【解答】解：（1）•••抛物线的对称轴为L1,

'.x=--^-=-―——=1.

2a-1X2

解得：2Z7=1.

二抛物线的解析式为尸-f+2x.

（2）将尸3代入抛物线的解析式得尸-3?+2义3=-3.

将y=-3代入得：-『+2JT=-3.

解得：Ai=~1,至=3.

Va=-l<0,

二当n<-1或〃>3时，y\<yi.

.•.点〃关于y轴的对称点掰'的坐标为（1,-3）.

•.•当尸=2时,g=-22+2X2=0,

二点〃关于y轴的对称点册'的坐标为（-2,0）.

①当AV0时，

•••点〃关于y轴的对称点都在直线尸左r-4的上方,

二-2A-4W0.

解得：k>-2.

②当A>0时，

,点〃关于y轴的对称点都在直线尸后一4的上方,

:.k-44-3.

解得；AWL

...4的取值范围是-2WAW1.

27.巳知：在△胸中，N54U90°,AB=AC.

（1）如图1,将线段AC绕点/逆时针旋转60°得到似连结如、BD,NBAC的平分线

交物于点£,连结圆

①求证：NAED=NCE庆

②用等式表示线段被CE、物之间的数量关系（直接写出结果）；

（2）在图2中，若将线段47绕点4顺时针旋转60°得到似连结切、BD,N班。的平

分线交加的延长线于点£连结密请补全图形，并用等式表示线段服CE、放之间

的数量关系，并证明.

图1图2

【分析】（1）①由旋转的性质可得/户必NZM入60°,由“S4S”可证阳

可得N3=N4=15°,由三角形外角的性质可得结论；

②过点A作AHLBD于点H,由等腰三角形的性质和直角三角形性质可得BD=2BH=2

（B步EH）=2BE^AE=2EOAEi

（2）以/为顶点，花为一边作NM』60°,"1交加延长线于点£通过证明的

XDAF郑XBAE乌XCAE,可得但%；BE=CE,即可得2庞-出=龙.

【解答】证明：（1）

7

B

图1

①•・,将线段/。绕点4逆时针旋转60°得到似

:.AC=AD9ZDAC=60°

：.ZBAD=ZBA&ZCAD=150°,且四=/4助

・・.N3=N5=15°

^ZBAC=90°,AB=AC,四平分N曲。

・・・N1=N2=45°,NABC=NACB=45°

又•：AE=AE,

:.XAB3XACE(弘S)

・・・N3=N4=15°

:.N6=N7=30°

:.NM?=N6+N7=60°

VN板=N3+N1=6O°

：.AAED=ACED

@BD=2CE^AE

理由如下：

过点A作A/LLBD于点H,

V/EBC=/ECB

:.BE=CE,

VZAED=60°,AHLBD

：.AE=2EH

•:AB=AD,AHLBD