专题02 三角函数的图象与性质（原卷版）

专题02三角函数的图象与性质（新高考）目录目录【备考指南】 2 【真题在线】 3【基础考点】 6【基础考点一】三角函数的图象的变换 6【基础考点二】三角函数的图象与解析式 7【基础考点三】三角函数的单调性与参数问题 10【基础考点四】三角函数的对称性（奇偶性）与参数问题 11【综合考点】 12【综合考点一】三角函数性质的综合应用 12【综合考点二】三角函数图象的实际应用 13【综合考点三】三角函数性质与其他知识交汇 15【培优考点】 16【培优考点一】三角函数中极值（最值）与w、φ关系 16【培优考点二】三角函数中零点与w、φ关系 17【培优考点三】三角函数中图象平移与w、φ关系 18【总结提升】 20【专项检测】 21备考指南备考指南考点考情分析考频三角恒等变换2023年新高考Ⅰ卷T82023年新高考Ⅱ卷T72022年新高考Ⅱ卷T62021年新高考Ⅰ卷T62021年全国甲卷T93年5考三角函数的图象与性质2023年新高考Ⅰ卷T152023年新高考Ⅱ卷T162023年全国乙卷T62022年新高考Ⅰ卷T62022年新高考Ⅱ卷T92022年全国甲卷T112022年全国乙卷T152021年新高考Ⅰ卷T42021年全国甲卷T163年9考解三角形及应用2023年新高考Ⅰ卷T172023年新高考Ⅱ卷T172023年全国乙卷T182022年新高考Ⅰ卷T182022年新高考Ⅱ卷T182022年全国甲卷T162022年全国乙卷T172021年新高考Ⅰ卷T192021年新高考Ⅱ卷T183年9考三角函数的图象变换与解析式2023年全国甲卷T102021年全国乙卷T72年2考同角三角函数的基本关系2023年全国甲卷T7三角函数的诱导公式2023年全国甲卷T13预测：的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或作为解答题其中一问考查.近三年全国卷多次考察，试题难度整体适中，其中2021年全国甲卷T16，2023年新高考Ⅱ卷T16难度相对大一些.二轮复习时建议做好基础知识的查缺补漏，全面拓展学生的思维素养，关注三角函数与其他知识点的交汇情况.真题在线真题在线一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．3．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．4．（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．5．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．10．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度11．（2021·全国·统考高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A． B．C． D．12．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2二、多选题13．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线三、填空题14．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．15．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．16．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为．基础基础考点【考点一】三角函数的图象的变换【典例精讲】（多选）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，下列结论中正确的有（

）A．若，则是的整数倍B．函数的图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移单位得到C．函数的图象关于点对称D．函数在上单调递增【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）为了得到函数的图象，可将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，它的两个相邻的极值点之间的距离为．若先将函数的图像向左平移个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则在上的零点个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．8二、多选题3．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数的初相为，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．函数的一个单调递减区间为C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数D．若函数在区间上的值域为三、填空题4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的的4倍，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的对称中心为.【考点二】三角函数的图象与解析式【典例精讲】（多选）（2022上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（

）A．函数在上单调递增B．函数的图象关于点成中心对称C．函数的图象向右平移个单位后关于直线成轴对称D．若圆半径为，则函数的解析式为【变式训练】一、单选题1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式为（

）A． B． C． D．2．（2023·河南·校联考模拟预测）某次实验得交变电流（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数解析式为，其中且，其图象如图所示，则下列说法错误的是（

）A． B．C．当时， D．当时，二、多选题3．（2021·全国·统考二模）函数的部分图象如图所示，则（

）A．该函数的解析式为B．该函数的单调递增区间为C．在区间上不存在、，使得D．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到的图象三、填空题4．（2023上·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数解析式为．【考点三】三角函数的单调性与参数问题【典例精讲】（多选）（2023上·河北·高三校联考阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．C．将曲线向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称D．若在区间上单调递增，则【变式训练】一、单选题1．（2023·江西·统考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川自贡·统考一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·浙江宁波·统考一模）函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则（

）A．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称B．函数在上单调递减C．若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是D．若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是三、填空题4．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则m的最大值为.【考点四】三角函数的对称性（奇偶性）与参数问题【典例精讲】（多选）（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（

）A．的最小正周期为B．C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数D．函数在上有且仅有一个零点【变式训练】一、单选题1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·四川绵阳·统考二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（

）A．在区间上为增函数 B．C． D．二、多选题3．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）已知函数在区间上有且仅有3个对称中心，则下列说法不正确的是（

）A．在区间上至多有3条对称轴B．的取值范围是C．在区间上单调递增D．的最小正周期可能为三、填空题4．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为.综合考点综合考点【考点一】三角函数性质的综合应用【典例精讲】（多选）2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C．函数的最小正周期为D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若锐角三角形的内角成等差数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·广东·统考二模）如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的为（

）A．的最小正周期为B．的图象关于对称C．的最小值为D．在区间上单调递增三、填空题5．（2023·陕西西安·校考三模）设函数，则不等式的解集为.【考点二】三角函数图象的实际应用【典例精讲】（多选）（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．离水面的距离不小于的时长为20s【变式训练】一、单选题1．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（

）A． B． C． D．2．（2023·海南·统考模拟预测）如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为，此表挂在墙上，最高点距离地面的高度为，最低点距离地面的高度为，以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边沿），若4个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的高度约为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·山西·校考模拟预测）如图，扇形是某社区的一块空地平面图，点在弧上（异于两点），，垂足分别为，米.该社区物业公司计划将四边形区域作为儿童娱乐设施建筑用地，其余的地方种植花卉，则下列结论正确的是（

）A．当时，儿童娱乐设施建筑用地的面积为平方米B．当时，种植花卉区域的面积为平方米C．儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为平方米D．种植花卉区域的面积可能是平方米三、填空题4．（2023下·江西南昌·高一南昌十中校考阶段练习）如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为米．【考点三】三角函数性质与其他知识交汇【典例精讲】（多选）（2023·海南海口·校联考一模）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（

）A． B．C．存在最小值 D．的最大值为【变式训练】一、单选题1．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B．C． D．2．（2023·四川攀枝花·统考一模）已知函数，设甲：；乙：函数在上恰有两个零点，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题3．（2023·河北保定·统考二模）如图，正方形的边长为，、分别为边、上的动点，若的周长为定值，则（

）A．的大小为 B．面积的最小值为C．长度的最小值为 D．点到的距离可以是三、填空题4．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知函数，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且为函数的一个极大值点.若方程在上的所有根之和等于2024，则满足条件中整数的值构成的集合为培优考点培优考点【考点一】三角函数中极值（最值）与w、φ关系【典例精讲】（多选）（2023·浙江·校联考三模）已知函数，则下列判断正确的是（

）A．若，则的最小值为B．若将的图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为C．若在单调递减，则D．若在上只有1个零点，则【变式训练】一、单选题1．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（

）A．（0，5] B．（0，5）C．（0，） D．（0，]2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知函数，则（

）A．若在区间上为增函数，则实数的取值范围是B．若在区间上有两个零点，则实数的取值范围是C．若在区间上有且仅有一个极大值，则实数的取值范围是D．若在区间上有且仅有一个最大值，则实数的取值范围是三、填空题4．（2023·四川泸州·四川省叙永第一中学校校考一模）函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是.【考点二】三角函数中零点与w、φ关系【典例精讲】（多选）（2023·湖北·模拟预测）已知函数，则（

）A．若的最小正周期为，则B．若，则在上的最小值为C．若在上单调递增，则D．若在上恰有2个零点，则【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数在内恰有一个零点，其图象在内恰有一条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023上·浙江杭州·高三统考期中）设函数．若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为（

）A． B． C． D．12二、多选题3．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值.下列结论正确的有（

）A．B．的最小值为C．若函数在上存在零点，则的最小值为D．函数在上一定存在零点三、填空题4．（2023·全国·模拟预测）已知函数在区间上恰有2023个零点，则a的取值范围是．【考点三】三角函数中图象平移与w、φ关系【典例精讲】（多选）（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是（

）A．的最小正周期为B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称C．图象的一个对称中心为D．在区间上单调递增【变式训练】一、单选题1．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的可能值为（

）A． B． C． D．2．（2023上·北京·高三北京二十中校考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（

）A．为偶函数B．C．当时，在上有3个零点D．若在上单调递减，则的最大值为9二、多选题3．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数的图象，若在上有且仅有两个不同实数满足，则的取值可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．8三、填空题4．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数（）的图象与的图象的两相邻公共点间的距离为，将的图象向左平移（）个单位长度得到的图象，则的最小值为.总结提升总结提升1.沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移.2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq\f(1,ω)倍.沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍.3.已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.4.单调性：由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间.5.对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)可得对称轴.6.奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数.7.讨论三角函数的单调性，研究三角函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.8.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间).专项专项检测一、单选题1．（2022下·福建·高二校联考期末）已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数（且），则其大致图象为（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）若函数，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（202